第二十八章按可靠性標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

1、 第二十八章按可靠性 標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計 前面在討論構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題時,采用的是安全因數(shù)設(shè)計法。認(rèn)為構(gòu)件的尺寸、所受的載荷與材料的性能等都是確定的，當(dāng)構(gòu)件的應(yīng)力、變形和臨界載荷分別小于應(yīng)力、變形和臨界載荷的極限值除以相應(yīng)的安全因數(shù)時，就認(rèn)為構(gòu)件分別滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性條件，因而不會失效，并且是絕對可靠的。這種設(shè)計方法雖然簡單方便，但帶有很大的經(jīng)驗性，因而不能確切回答某一設(shè)計的可靠程度。結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計的理論模式是在安全因數(shù)設(shè)計法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。它是用概率論的觀點來研究結(jié)構(gòu)的可靠性，即認(rèn)為只有當(dāng)結(jié)構(gòu)的失效概率小到可以接受的程度時、才認(rèn)為是可靠的。否則，就認(rèn)為是不可靠的。在結(jié)構(gòu)優(yōu)化

2、設(shè)計中，值得注意的是關(guān)于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計與結(jié)構(gòu)安全可靠性間的關(guān)系問題。傳統(tǒng)的設(shè)計方法是以經(jīng)驗為主的安全因數(shù)設(shè)計法，即把隨機(jī)性的問題看作為確定性的問題加以解決。隨著概率論和數(shù)理統(tǒng)計方法在研究可靠性問題中日趨廣泛的應(yīng)用，使得可靠性理論成為一門新的分支，從而大大地提高了現(xiàn)行設(shè)計規(guī)范安全度的科學(xué)水平。目前各國設(shè)計規(guī)范先后修訂，都不同程度上放棄了安全因數(shù)設(shè)計法，而更多的采用了考慮隨機(jī)性的極限狀態(tài)設(shè)計法。在這種情況下，近年來出現(xiàn)了以結(jié)構(gòu)可靠性或破壞概率為出發(fā)點的優(yōu)化設(shè)計。 §28.1可靠性設(shè)計的基本概念一、載荷與材料性能等量的分散性在零、構(gòu)件的加工圖紙上，主要尺寸都標(biāo)注公差。加工后的零、構(gòu)件尺寸只要

3、符合公差要求，就認(rèn)為是合格的。所以零、構(gòu)件的實際尺寸具有一定的分散性，它們是隨機(jī)變量。 圖28-1某地的風(fēng)速分布曲線 圖28-2某種鋼材屈服應(yīng)力的分布曲線實際上，作用在構(gòu)件上的載荷也并非總是確定的。圖28-1為某地的風(fēng)速分布曲線，由該圖可知，最常見的風(fēng)速為，但有時風(fēng)速卻很大。在設(shè)計橋梁、高層建筑與戶外大型設(shè)備時，風(fēng)載荷是必須考慮的。在很多情況下，載荷都帶有分散性或隨機(jī)性。由于構(gòu)件尺寸與載荷均具有一定的隨機(jī)性，因此根據(jù)分析計算得到的構(gòu)件的工作應(yīng)力也具有一定的隨機(jī)性。材料的力學(xué)性能也是隨機(jī)變量。圖28-2為某種鋼材屈服應(yīng)力的分布曲線，該曲線是根據(jù)6000根試樣的實驗結(jié)果繪制的。由該圖可知，屈服應(yīng)力

4、的常見值為，而最小值和最大值則分別接近和。 在安全因數(shù)設(shè)計法中，構(gòu)件的實際尺寸、所受到的載荷與材料的性能等具有分散性的量均視為確定的，而所有不確定因素都用一個安全因數(shù)來描述。構(gòu)件的實際尺寸、所受到的載荷與材料的性能雖然具有一定的隨機(jī)性，但仍遵循一定的規(guī)律。實踐表明，在大多數(shù)情況下，它們的分布特性接近于正態(tài)分布。 二、構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的可靠性構(gòu)件或結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時間內(nèi)，在規(guī)定的條件下，完成預(yù)定功能的能力稱為結(jié)構(gòu)的可靠性。結(jié)構(gòu)可靠性的數(shù)量指標(biāo)稱為結(jié)構(gòu)的可靠度，其定義為結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時間內(nèi)，在規(guī)定的條件下，完成預(yù)定功能的概率。這里所說的規(guī)定時間，是指分析結(jié)構(gòu)可靠度時考慮各項基本變量與時間關(guān)系所取用的設(shè)計基準(zhǔn)期

5、；所說的規(guī)定條件，是指設(shè)計時所取定的結(jié)構(gòu)的正常設(shè)計、正常施工和正常使用的條件，即不考慮人為過失的影響；所說的預(yù)定功能一般是以結(jié)構(gòu)是否達(dá)到“極限狀態(tài)”來標(biāo)志的。若整個結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)的一部分超過某一特定狀態(tài)時，就不能滿足設(shè)計規(guī)定的某一功能要求，此特定狀態(tài)稱為該功能的極限狀態(tài)。如果結(jié)構(gòu)達(dá)到極限狀態(tài)的概率超過許可值，就認(rèn)為結(jié)構(gòu)是不可靠的。結(jié)構(gòu)的可靠度與結(jié)構(gòu)使用期的長度有關(guān)。設(shè)計基準(zhǔn)期是計算結(jié)構(gòu)失效概率的參考時間坐標(biāo)，即在這個時間域內(nèi)計算結(jié)果有效。但目前國際上各種結(jié)構(gòu)的設(shè)計基準(zhǔn)期并沒有一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)為結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面抗力，它是一個取值連續(xù)的非負(fù)隨機(jī)變量；設(shè)為相應(yīng)截面的綜合荷載效應(yīng)，它是各種荷載（如恒載、活

6、載、風(fēng)載等）單獨或組合效應(yīng)的總和，假定用非負(fù)的隨機(jī)變量描述。建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計的基本原理保證結(jié)構(gòu)在任何極限狀態(tài)下的可靠性，即在使用期間作用在結(jié)構(gòu)上的外界作用不應(yīng)超過它的承載能力。這個不破壞的條件可以寫成方程式 (28-1)顯然，當(dāng)，結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)；當(dāng)，結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)；，結(jié)構(gòu)恰處于極限狀態(tài)。若和的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為，和，通常假設(shè)和是相互獨立的，則的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)分別為， ，令的倒數(shù)作為度量結(jié)構(gòu)可靠性的尺度，并稱為可靠度因數(shù)，即 (28-2)圖28-3的物理意義從圖28-3還可看出的物理意義是從到原點（即失效狀態(tài)）的以均方差為量測單位的距離（均方差的倍數(shù)）。三、隨機(jī)變量的代數(shù)運算表28-1

7、獨立隨機(jī)變量數(shù)字特征的運算法則序號123456在進(jìn)行可靠性設(shè)計時，需要進(jìn)行各隨機(jī)變量間的代數(shù)運算，現(xiàn)將有關(guān)定理與計算公式概述如下?？梢宰C明，若與是兩個獨立無關(guān)的隨機(jī)變量，且其母體均為正態(tài)分布，則二者之和、差、積與商也必為正態(tài)分布。設(shè)隨機(jī)變量與的均值分別為與，標(biāo)準(zhǔn)差為與，并將與之和、差、積或商均用隨機(jī)變量表示，則其均值與標(biāo)準(zhǔn)差可按表29-1所述公式進(jìn)行計算。§28.2載荷和材料性能服從正態(tài)分布時的可靠度計算假設(shè)抗力和荷載效應(yīng)相互獨立，且均服從正態(tài)分布，并用與分別表示它們的均值，用與分別表示它們的均方差。這時稱為狀態(tài)函數(shù)，顯然其也服從正態(tài)分布，即。根據(jù)概率論原理，有，的概率密度函數(shù)為結(jié)構(gòu)

8、失效的概率為（圖28-3）， (28-3)作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換（即），令， (28-4)則上式可寫成： (28-5)式中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，按上節(jié)的定義： (28-6)從而式(28-5)可寫成： (28-7)或 (28-8)式(28-7)和(28-8)表明，與具有數(shù)值上的一一對應(yīng)關(guān)系，已知，即可求得，反之也然。由于越大，就越?。ū?9-2），即結(jié)構(gòu)越可靠，因此稱為可靠度指標(biāo)。表28-2 可靠度因數(shù)與失效概率的關(guān)系1.001.642.002.703.003.093.203.704.004.264.505.00§28.3載荷和材料性能服從對數(shù)正態(tài)分布時的可靠度計算由于抗力和荷載效應(yīng)具有明顯的偏

9、態(tài)分布情況，按正態(tài)分布計算將會產(chǎn)生較大的誤差。因此，羅森勃魯斯（E.Rosenblueth）和伊斯特勒（L.Estera）于1972年提出了對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量模式，即假定抗力和荷載效應(yīng)相互獨立且均服從對數(shù)正態(tài)分布，這時狀態(tài)函數(shù)可寫成 (28-9)其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為根據(jù)的基本表達(dá)式，有 (28-10)可見，是，統(tǒng)計參數(shù)表達(dá)。根據(jù)概率論原理可換算成、的統(tǒng)計參數(shù)則可得 (28-11)同理 (28-12)抗力的平均值為兩邊取對數(shù)，可得改寫成 (28-13)同理 (28-14)將式（28-11） （28-14）代入式（28-10）并整理可得 (28-15)上式過于繁雜，可作適當(dāng)簡化：當(dāng)和均小于時，

10、其誤差僅。又當(dāng)、很小或接近相等時，有將上述結(jié)果代入式(28-15)，可得簡化的對數(shù)分布時的計算公式為 (28-16) §28.4按可靠性標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計考慮可靠性的優(yōu)化問題，可以寫成求選擇質(zhì)量條件極值的形式： (28-17a)滿足 (28-17b)式中為最優(yōu)參數(shù)向量，為可靠性容許值，它與結(jié)構(gòu)的重要程度和使用要求有關(guān)，可以按照關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)可靠性的概念得到，是事件（）的概率。限制條件(28-17b)表示按可靠性求解，即在整個使用期間結(jié)構(gòu)不發(fā)生工程事故。條件(28-17b)可以表示為按強(qiáng)度、穩(wěn)定和變形等條件對結(jié)構(gòu)可靠性的要求。一、正態(tài)分布隨機(jī)變量模式假定抗力和荷載效應(yīng)相互獨立，且均服從正態(tài)分

11、布，這時亦服從正態(tài)分布，即ZN（），根據(jù)概率論原理，有或 (28-18)式中，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。式(28-18)表明，和具有數(shù)值上的一一對應(yīng)關(guān)系，已知，即可求得，反之亦然。由于越大，就越大，即結(jié)構(gòu)越可靠，因此稱為可靠指標(biāo)。這樣，按價格標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題(28-17)，或是考慮按材料用量標(biāo)準(zhǔn)的可靠性限制條件，有如下形式： (28-19a)滿足 (28-19b)式中為設(shè)計可靠指標(biāo)。二、對數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量模式假定抗力和荷載效應(yīng)相互獨立且均服從對數(shù)正態(tài)分布，這時狀態(tài)函數(shù)可寫成 (28-20)按此模式可靠性標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題(28-17)式，可寫成如下形式： (28-21a)滿足 (28-21b

12、)式中設(shè)計可靠指標(biāo)；，變異系數(shù)。三、常規(guī)安全因數(shù)法與可靠性設(shè)計的關(guān)系常規(guī)安全因數(shù) (28-22)只與與的相對位置有關(guān)，而與與的離散程度無關(guān)，即僅用到隨機(jī)變量，的一階原點矩和的信息，而沒有用到，的二階中心矩和的信息?？煽啃灾行陌踩驍?shù)不僅用到和，而且還用到二階中心矩（即，）的信息： (28-23)傳統(tǒng)的中心安全因數(shù)沒有定量地考慮抗力和荷載效應(yīng)的隨機(jī)性，一般是以工程實踐經(jīng)驗或判斷為基礎(chǔ)而確定的。因此，免不了帶有人為的因素甚或主觀臆斷的成分。§28.5隨機(jī)非線性規(guī)劃當(dāng)包含在目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)中的若干個參數(shù)在均值周圍變化時，一個一般性優(yōu)化問題必須表示為一個隨機(jī)非線性規(guī)劃問題。對此，我們假設(shè)所

13、有隨機(jī)變量是獨立的，并服從正態(tài)分布。隨機(jī)非線性規(guī)劃問題可以標(biāo)準(zhǔn)形式敘述如下： 求X，使極小 (28-24) 滿足于 ， (28-25)這里是維隨機(jī)變量的向量，它包含著決策變量。為確定性時的情況只是上述問題的一種特殊形式。式(28-25)表示小于或等于零的概率必須大于或等于規(guī)定的概率?；?28-24)和(28-25)所述問題可用下面機(jī)遇約束規(guī)劃方法變換為一個等價的確定性非線性規(guī)劃問題。目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)函數(shù)可對的均值展開成 高級偏導(dǎo)數(shù)項 (28-26)若的標(biāo)準(zhǔn)偏差較小，則可用式(28-26)的前面兩項來近似： (28-27)若所有服從正態(tài)分布，則是的一個線性函數(shù)，且亦服從正態(tài)分布。的均值和方差為 (

14、28-28)及 (28-29)這是因所有是獨立的。為了進(jìn)行優(yōu)化，一個新的目標(biāo)函數(shù)可構(gòu)造為 (28-30)式中及，其數(shù)值表示和對優(yōu)化的相對重要程度。處理的標(biāo)準(zhǔn)偏差的另一方法是求的極小，滿足于約束（這里為一常量）及其它約束。約束 若有幾個參數(shù)的特性是隨機(jī)的，則約束亦是概率性的，因而要求滿足一個給定約束的概率應(yīng)大于某值。這正好亦是式(28-25)所述內(nèi)容。約束不等式(28-25)可寫為 (28-31)式中是隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)（若干個隨機(jī)變量的函數(shù)亦是一個隨機(jī)變量），其范圍假設(shè)是至。約束函數(shù)可對隨機(jī)變量的均值向量展開為 (28-32)由這個方程式，可求得的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差為 (28-33)及 (28

15、-34)引入一個新變量 (28-35)并注意到 (28-36)式(28-31)可表示為 (28-37)式中是相應(yīng)于概率的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的值。故有亦即 (28-38)式(28-38)可改寫為 , (28-39)因此，式(28-24)和(28-25)的優(yōu)化問題可以其等價的確定性形式敘述為:對式(28-30)給出的求極小，滿足于式(28-39)的個約束。§28.5例題編程例 28-1 一圓截面桿承受正態(tài)分布的軸向載荷，其均值，標(biāo)準(zhǔn)差，材料為合金鋼，屈服應(yīng)力的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差。若規(guī)定可靠度為，試確定桿的半徑，設(shè)其公差為。已知：，,，。求：。解：建模 求桿件橫截面面積的均值與標(biāo)準(zhǔn)差。在正態(tài)分布的情

16、況下，數(shù)據(jù)偏離三倍標(biāo)準(zhǔn)差的可能性極?。ǜ怕蕛H），因而在一般強(qiáng)度計算中，通常取公差等于三倍標(biāo)準(zhǔn)差。，。求工作應(yīng)力的均值與標(biāo)準(zhǔn)差。， 解聯(lián)結(jié)方程確定桿的半徑?？煽慷扰c失效概率。 Maple程序> restart: #清零。> sr:=0.015*r1/3: #桿的半徑的標(biāo)準(zhǔn)差。> A1:=Pi*r12: #桿件橫截面面積的均值。> sA:=2*Pi*r1*sr: #桿件橫截面面積的標(biāo)準(zhǔn)差。> sigma1:=F1/A1: #工作應(yīng)力的均值。> ssigma:=sqrt(F12*sA2+A12*sF2)/A12: #工作應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差。> eq1:=beta=

17、(sigma0s-sigma1)/sqrt(ss2+ssigma2): #聯(lián)結(jié)方程。> beta:=3.09: Ps:=0.999 #已知條件。> F1:=30*103: sF:=5.0*103: #已知條件。> sigma0s:=880*106: ss:=40*106:#已知條件。> solve(eq1,r1); #解聯(lián)結(jié)方程確定桿的半徑。> Pf:=1-Ps; #失效概率。答：桿的半徑，失效概率即在一千根桿中僅可能有一桿失效。如果要進(jìn)一步減小失效概率，則可將可靠度的規(guī)定值提高。例 28-2有一鋼拉桿，已知抗力和荷載效應(yīng)均服從對數(shù)正態(tài)分布，, ，, 。試求可靠指

18、標(biāo)和相應(yīng)的失效概率。已知：, ，, 。求：，。解：建模 計算抗力和荷載效應(yīng)的變異系數(shù)。，。計算對數(shù)分布時的可靠指標(biāo)值。計算可靠度與失效概率。 Maple程序> restart: #清零。> beta:=(ln(muR)-ln(muS)/sqrt(VR2+VS2): #可靠指標(biāo)。> VR:=sigmaR/muR: #抗力的變異系數(shù)。> VS:=sigmaS/muS: #荷載的變異系數(shù)。> muR:=907.20: sigmaR:=136.00: #已知條件。> muS:=544.30: sigmaS:=113.40: #已知條件。> beta:=eval

19、f(beta,4); #可靠指標(biāo)的值。> with(stats): #加載統(tǒng)計庫。> Ps:=statevalfcdf,normald(beta);#可靠度。> Pf:=evalf(1-Ps,4); #失效概率。答：鋼拉桿可靠指標(biāo)，失效概率，可靠度。例28-3正方形橫截面的單跨簡支梁，跨長，在梁上作用均布荷載，它是隨機(jī)值（平均值為），變異因數(shù)，即正態(tài)分布。梁的材料（木材）的計算強(qiáng)度同樣是有特征，的高斯隨機(jī)值?？煽扛怕嗜菰S值?，F(xiàn)確定梁體積最小時的值。解：建模 對這一結(jié)構(gòu)不破壞的條件是，式中為標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力。因為，而彎距，即同樣是高斯隨機(jī)值。 按可靠概率容許值，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得設(shè)計可

20、靠指標(biāo)。 計算，。 建立按可靠性標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計模型設(shè)計變量一個：求橫截面尺寸，目標(biāo)函數(shù)：使材料體積消耗最小 (a)約束條件：可靠性的表達(dá)式 (b) (c) Maple程序> restart: #清零。> with(stats): #加載統(tǒng)計庫。 > Kbeta0:=(1+betak*sqrt(VR2+VS2-(betak*VR*VS)2)> /(1-(betak*VR)2): #可靠性中心安全因數(shù)。> K0:=muR/muS: #常規(guī)設(shè)計安全因數(shù)。> VR:=sigmaR/muR: #抗力的變異系數(shù)。> VS:=sigmaS/muS: #荷載的變異

21、系數(shù)。> v:=l*b2: #目標(biāo)函數(shù)，梁的體積。> ineq1:=beta0>=betak ,b>0: #約束條件，可靠性指標(biāo)條件。> beta0:=(muR-muS)/sqrt(sigmaR2+sigmaS2): #可靠性指標(biāo)。> muS:=3*muq*l2/(4*b3): #荷載的平均值。> sigmaS:=(3*l2*sigmaq)/(4*b3): #荷載的方差值。> betak:=statevalficdf,normald(ps): #設(shè)計可靠性指標(biāo)。> ps:=0.99: l:=8: #已知條件。> muR:=3.1392

22、*107: sigmaR:=6.2097*106: #已知條件。> muq:=3.924*104: sigmaq:=5.1012*103: #已知條件。> solve(ineq1,b); #解不等式求橫截面邊長。> v1min:=evalf(subs(b=.4886432101,v),4); #時梁的最小體積。> betak:=evalf(betak,4); #設(shè)計可靠性指標(biāo)的數(shù)值。> Kbeta0:=evalf(Kbeta0,4);#可靠性中心安全因數(shù)的數(shù)值。> eq2:=K0=2: #時常規(guī)設(shè)計條件。> solve(eq2,b); #時解方程求橫截

23、面邊長。> v2min:=evalf(subs(b=.4932424148,v),4); #時梁的最小體積。> eq3:=K0=3: #時常規(guī)設(shè)計條件。> solve(eq3,b); #時解方程求橫截面邊長。> v3min:=evalf(subs(b=.5646216173,v),4); #時梁的最小體積。答：梁承受均勻壓力，具有可靠率為的正方形橫截面尺寸的最優(yōu)值為：，耗用材料的最小量為。為了便于比較，將此問題結(jié)果列于表29-3。根據(jù)計算結(jié)果，我們可以得到如下結(jié)論： 按常規(guī)安全因數(shù)法優(yōu)化設(shè)計出來的梁，過于保守，沒有充分挖掘潛力（時，相當(dāng)可靠度；時，相當(dāng)可靠度；顯著高于題

24、目規(guī)定的要求，）；而按可靠性優(yōu)化設(shè)計的梁，在滿足實際要求的情況下，重量還可進(jìn)一步減小，能夠取得較好的經(jīng)濟(jì)效益，由此可見，可靠性優(yōu)化設(shè)計能使優(yōu)化結(jié)果更趨向合理。當(dāng)材料和結(jié)構(gòu)的特性，足夠準(zhǔn)確地服從正態(tài)（或?qū)?shù)正態(tài)）法則時，它是可以采用的，但是如果和之中的一個指標(biāo)的分布不是正態(tài)（或?qū)?shù)正態(tài)）的，則本章方法便不能簡化，需要采用其它方法，進(jìn)一步的學(xué)習(xí)可讀工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計方面的文獻(xiàn)。表29-3 梁優(yōu)化設(shè)計結(jié)果比較指標(biāo)常規(guī)優(yōu)化設(shè)計結(jié)果可靠性優(yōu)化設(shè)計結(jié)果安全因數(shù)0.49320.56460.48861.94602.5501.9100.99180.99950.99例28-4設(shè)計一個如圖28-4所示的空心截面均勻

25、柱，使承受載荷，要求價格最小。柱用彈性模量為、密度為的材料制成，柱長為。柱中引起的應(yīng)力應(yīng)小于屈曲應(yīng)力及屈服應(yīng)力。平均直徑（中徑）限制在至厘米之間，柱的壁厚不能超出至厘米范圍。柱的價格包括材料價格和制作價格，可用（元）表示，這里是重量，是中徑。約束必須滿足的概率至少為。下列各數(shù)量是概率性的，服從正態(tài)分布，其均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差如下：壓縮載荷：；楊氏模量：；密度：；屈服應(yīng)力：；柱長：；截面中徑：。 (a) (b)圖28-4例28-4解：建模 我們?nèi)」茏又袕胶凸茏颖诤駷樵O(shè)計變量。，應(yīng)注意，此時有一個設(shè)計變量是概率性的，因可根據(jù)得到，我們假設(shè)是未知量。隨機(jī)變量的向量標(biāo)記為目標(biāo)函數(shù)可表示為。約束可表示為強(qiáng)度條

26、件：穩(wěn)定條件：幾何條件： 幾何條件：幾何條件：幾何條件： Maple程序（長度單位取）> restart: #清零。> f:=0.51*W+2*d: #目標(biāo)函數(shù)。> W:=10(-6)*Pi*g*rho*d*t*l: #重量。> f0:=k1*psi+k2*sigmaps: #極小化的新目標(biāo)函數(shù)。> dfdy3:=diff(f,rho): #。> dfdy5:=diff(f,l): #。> dfdy6:=diff(f,d): #。> sigma2ps:=dfdy32*sigmay32+dfdy52*sigmay52> +dfdy62*sig

27、may62: #。> psi:=subs(rho=rho0,l=l0,d=d0,f): #。> sigmaps:=sqrt(subs(rho=rho0,l=l0,d=d0,sigma2ps):#。> g1:=F*104/(Pi*d*t)-fy: #強(qiáng)度約束函數(shù)。> g2:=F*104/(Pi*d*t)-Pi2*E*(d2+t2)/(8*l2): #穩(wěn)定約束函數(shù)。> g3:=-d+2: #幾何約束函數(shù)。> g4:=d-14: #幾何約束函數(shù)。> g5:=-t+0.2: #幾何約束函數(shù)。> g6:=t-0.8: #幾何約束函數(shù)。> dg1dy1

28、:=diff(g1,F): #。> dg1dy4:=diff(g1,fy): #。> dg1dy6:=diff(g1,d): #。> dg2dy1:=diff(g2,F): #。> dg2dy2:=diff(g2,E): #。> dg2dy5:=diff(g2,l): #。> dg2dy6:=diff(g2,d): #。> dg3dy6:=diff(g3,d): #。> dg4dy6:=diff(g4,d): #。> G1:=g1+beta*(dg1dy12*sigmay12+dg1dy42*sigmay42> +dg1dy62*si

29、gmay62)(1/2): #轉(zhuǎn)換為確定性的強(qiáng)度約束函數(shù)。> G1:=subs(F=F0,d=d0,fy=fy0,G1): #確定性強(qiáng)度約束函數(shù)。> G2:=g2+beta*(dg2dy12*sigmay12+dg2dy22*sigmay22> +dg2dy52*sigmay52+dg2dy62*sigmay62)(1/2):> #轉(zhuǎn)換為確定性的穩(wěn)定約束函數(shù)。> G2:=subs(F=F0,d=d0,E=E0,l=l0,G2): #確定性的穩(wěn)定約束函數(shù)。> G3:=g3+beta*(dg3dy62*sigmay62)(1/2):#轉(zhuǎn)換為確定性約束函數(shù)。>

30、; G3:=subs(d=d0,G3): #確定性的幾何約束函數(shù)。> G4:=g4+beta*(dg4dy62*sigmay62)(1/2):#轉(zhuǎn)換為確定性約束函數(shù)。> G4:=subs(d=d0,G4): #確定性的幾何約束函數(shù)。> g:=9.8: #重力加速度。> F0:=24.5e3: E0:=83.3e9: #已知條件。> rho0:=2500: fy0:=49e6: #已知條件。> l0:=250: #已知條件。> sigmay1:=4.9e3: sigmay2:=8.33e9:#已知條件。> sigmay3:=0.00025e6: s

31、igmay4:=4.9e6: #已知條件。> sigmay5:=2.5e-2: sigmay6:=0.01*d0:#已知條件。> k1:=0.7: k2:=0.3: #給定條件。> beta:=1.645: #可靠指標(biāo)。> f0:=simplify(f0,symbolic): #化簡。> f0:=evalf(f0,4): #新目標(biāo)函數(shù)數(shù)值。> f0:=simplify(f0,symbolic): #化簡。> f0:=evalf(f0,4); #新目標(biāo)函數(shù)。> G1:=evalf(G1,4): #計算數(shù)值結(jié)果。> G1:=simplify(G1,symbolic): #化簡。> G1:=expand(G1): #展開。>