血液采樣論文

1、血樣的分組化驗(yàn) 摘要本問題所述的情況在醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)、病毒檢測(cè)等諸多問題中是首要解決的問題。進(jìn)行某種疾病的調(diào)查，需要大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的取得主要靠實(shí)驗(yàn)的方法，這時(shí)候，我們就要考慮如何讓分組使得我們處理問題的效率提高，花銷最少，本文就是以找出最優(yōu)分組為主要目的。首先解決的是在陽性先驗(yàn)概率p固定情況下建立一個(gè)概率模型使化驗(yàn)次數(shù)最小的問題,我們?cè)O(shè)平均每人檢驗(yàn)次數(shù)的函數(shù)為f(x),然后通過非線性方程數(shù)值解法對(duì)其求解，找到是化驗(yàn)次數(shù)最小的每組人數(shù)；接著要解決的是陽性先驗(yàn)概率p為多大時(shí)，就不應(yīng)該再分組；再接下來，解決二次分組（即陽性組再分組檢驗(yàn)）的問題，我們采用非線性規(guī)劃模型利用LINGO軟件求使化驗(yàn)次

2、數(shù)最少的最優(yōu)解；最后通過平均概率模型討論其它類型的血樣分組情況。關(guān)鍵字：概率模型 非線性方程數(shù)值解法 非線性規(guī)劃 平均概率模型一、問題提出要在人群中（數(shù)量很大）找出某種病患者，為減少檢驗(yàn)次數(shù)，通常采用篩選的辦法。即假設(shè)人群總數(shù)為 n, 將人群分成 m 組，每組的人數(shù)為 k，將每組的 k 份血樣混在一起進(jìn)行化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則需要對(duì)該組的每個(gè)人重新進(jìn)行化驗(yàn)，以確定患者；若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則表明該組全體成員均為陰性，不需要重新化驗(yàn)。 （1）已知先驗(yàn)陽性率為 p,，當(dāng) p 固定時(shí)，如何分組可使得化驗(yàn)次數(shù)最?。?（2）找出不必分組的先驗(yàn)陽性率p的取值范圍； （3）討論兩次分組的情況，即檢測(cè)為陽性

3、的組再次分組檢驗(yàn)的情況；（4）討論其它分組方案，如半分法、三分法，這里我們采用平均概率模型進(jìn)行分組。二、基本假設(shè)血樣的檢驗(yàn)結(jié)果只存在陰性和陽性兩種結(jié)果, 即陰性與陽性的先驗(yàn)概率之和為1，即p+q=1；假設(shè)先驗(yàn)概率是對(duì)某個(gè)人檢驗(yàn)一次，結(jié)果呈陽性的概率，并假設(shè)先驗(yàn)概率在檢驗(yàn)中保持不變（即假設(shè)該概率只與疾病有關(guān)，而對(duì)同一種疾病該值為常量）；用來抽樣的隨機(jī)人群相互獨(dú)立（即不考慮是否有遺傳性與病毒的傳染）; 為了簡(jiǎn)化模型，假設(shè)能夠平均分配，進(jìn)行再分組的時(shí)候，對(duì)呈陽性的組進(jìn)行內(nèi)分組。三、 符號(hào)說明人群總數(shù)第一次分組的組數(shù)第一次分組每組人數(shù) 第二次分組的組數(shù) 第二次分組每組人數(shù)先驗(yàn)陽性概率先驗(yàn)陰性概率為一次

4、分組每人的化驗(yàn)次數(shù)的最小值第一次分組每人的化驗(yàn)次數(shù)第二次分組每人的化驗(yàn)次數(shù)x1第一次分組的平均每個(gè)人化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望第二次分組平均每個(gè)人化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望X1第一次檢驗(yàn)中化驗(yàn)為陽性的組數(shù)2第二次分組后的組數(shù)3第二次化驗(yàn)后得到的陽性組數(shù)的期望值1第一次分組的化驗(yàn)次數(shù)2第二次分組后第一步化驗(yàn)的次數(shù)3第二次化驗(yàn)結(jié)束后的化驗(yàn)次數(shù)總共需要化驗(yàn)的次數(shù)四、 問題分析1.問題一分析設(shè)人群總數(shù)為，分為組，每組的人數(shù)為)。設(shè)陽性的先驗(yàn)概率為 p，則陰性的先驗(yàn)概率為q=1-p。如果不進(jìn)行分組，則每個(gè)人都需要化驗(yàn)1次。如果分組，當(dāng)某組化驗(yàn)結(jié)果為陰性時(shí)，則不需再進(jìn)行化驗(yàn)，又因?yàn)槊總€(gè)人是否是感染者是相互獨(dú)立的，故該組平

5、均每個(gè)人的化驗(yàn)次數(shù)為，概率為qk；若某組化驗(yàn)結(jié)果是陽性，則需要對(duì)該組的每個(gè)人進(jìn)行化驗(yàn)，該組平均每個(gè)人的化驗(yàn)次數(shù)為1+，概率為1-qk。因此，需要分組的條件是第一次分組化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望小于1。要求化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望的最小值，就是要求在滿足數(shù)學(xué)期望小于1的情況下的每組人數(shù)。2.問題二的分析不應(yīng)分組的條件就是要求陽性的先驗(yàn)概率某一范圍內(nèi)，使分組后平均每個(gè)人化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望大于1。3.問題三的分析 在第一次分組化驗(yàn)的基礎(chǔ)上結(jié)果顯示為陽性的組再次進(jìn)行分組化驗(yàn)。對(duì)于第一次分組化驗(yàn)為陽性的組，重新分為組，每組人。以二次分組時(shí)每個(gè)人的平均檢驗(yàn)次數(shù)為目標(biāo)，建立非線性規(guī)劃模型，取不同的，求出第一次分組的最佳分

6、組人數(shù)和第二次分組的最佳分組人數(shù)。4.問題四的分析我們引入平均概率模型，把血樣檢驗(yàn)中可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行細(xì)化分析，最后得出，在實(shí)際情況當(dāng)中，我們可以近似認(rèn)為當(dāng)血樣檢驗(yàn)位陽性的人數(shù)等于分組后每一組的人數(shù)時(shí)，可以使得我們的模型達(dá)到很好的優(yōu)化。五、模型建立與求解1、模型一的建立與求解（問題一和問題二）1模型的建立由以上分析我們可以得出隨機(jī)變量X 的分布律為:由此可以算出X的數(shù)學(xué)期望為：即一次分組每人的化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。又因?yàn)殛栃缘南闰?yàn)概率p是固定的，故而是求當(dāng)k是多少時(shí)此期望值為最小值，并且E（X）值不能超過1。2.模型求解（1）、由可知，只要選取適當(dāng)?shù)膋，使得取得最小值，也就能得到到次數(shù)最小的分配

7、方法，數(shù)學(xué)期望可以看成是一個(gè)關(guān)于k（k是自變量）的一個(gè)函數(shù)，記作：f( x) = 1 qx+ ( x 2, 0 < q < 1)，只要其在定義域內(nèi)連續(xù)且任意階導(dǎo)數(shù)存在，求f ( x)的極值點(diǎn)，只需令f(x)=0即可，即：因?yàn)?，?duì)P（x）求導(dǎo)可得 由此可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)P（x）單調(diào)減少，當(dāng)時(shí)，函數(shù)P（x）單調(diào)增加，在時(shí)取得最大值。畫出P（x）的圖像如下：又因?yàn)閗是離散的，只能取整數(shù)，故k取3時(shí)，P（x）取得最大值P（3）=0.3066故由，也就是只有在p0.3066時(shí)，調(diào)整k的值總能滿足。即此時(shí)分一次組才比不分組每人平均檢驗(yàn)次數(shù)少。而對(duì)于大于此值的p，并不滿足，因而不分組比分一次組

8、平均每人檢驗(yàn)次數(shù)少。對(duì) f( x) = 1 qx+ ( x 2, 0 < q < 1)求導(dǎo)可得：如果對(duì)于給定的（必須滿足約束條件p0.3066）值，可以通過非線性方程數(shù)值解法求得f（x）最小的xm值。由于本題變量（每組人數(shù)）均為離散變量，故取與最相近的兩個(gè)整數(shù)值(上取整和下取整)xa(xaxm),xb(xbxm)，代入，比較兩個(gè)值，其中較小的那個(gè)值即為只分一次組總次數(shù)最少的k值。下表即為對(duì)應(yīng)不同的先驗(yàn)概率，相應(yīng)的最小檢驗(yàn)次數(shù)的每組人數(shù)：0.000010.000030.000050.000080.00010.00050.00131718314211210145320.00630.01

9、090.01410.01780.02000.04480.06280.0050.010.020.030.040.050.081511866540.13910.19560.27420.33370.38390.42620.5336p0.100.200.300.3060.30660.3080.443333330.59390.82130.99030.99901.00051.00201.1173由此可以看出當(dāng)p<0.3066時(shí)，E（x）<1, 所以分組可以減少檢驗(yàn)的工作量，并且能夠達(dá)到減小檢驗(yàn)費(fèi)用的目的。從上面的E（x）p圖像可以分析出：平均每個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)隨的增大而增大。因此，當(dāng)陽性的先驗(yàn)概

10、率增大時(shí)，進(jìn)行再次分組可以減小檢驗(yàn)的次數(shù)，達(dá)到降低檢驗(yàn)費(fèi)用的目的。從上面的Kp圖像我們可以看出：從整體上看，最佳分組人數(shù)隨的增大而呈現(xiàn)先急劇減小，后趨于水平的趨勢(shì)。當(dāng)時(shí)，最佳分組人數(shù)隨著陽性先驗(yàn)概率的增大而急劇減小，當(dāng)，最佳分組人數(shù)幾乎不變，結(jié)合圖1，當(dāng)增大到一定程度而繼續(xù)增大時(shí)，分組反而增加了檢驗(yàn)費(fèi)用，故而沒有必要在進(jìn)行分組了。2、二次分組（即陽性組再分組檢驗(yàn)）的情況1.模型假設(shè)（1）在進(jìn)行第二次分組時(shí)，將第一次分組時(shí)檢驗(yàn)為陽性的組的k個(gè)人分為m組是隨機(jī)的；（2）第二次分組時(shí)，陽性的先驗(yàn)概率仍然為2.模型建立與求解第一次分組化驗(yàn)：第一次分組組數(shù)為m，所以化驗(yàn)需要的化驗(yàn)次數(shù)為次 ，這m組中，化

11、驗(yàn)出陽性的組數(shù)應(yīng)為：組。再給陽性組進(jìn)行第二次分組化驗(yàn)。我們把化驗(yàn)出為陽性的歸為一類，以前的個(gè)人隨機(jī)分為組，每組人，所以有。第二次化驗(yàn)：通過以上的分組方法，可以得到的總小組數(shù)為：組，故第二次化驗(yàn)需要的次數(shù)次。第二次分組化驗(yàn)時(shí)，若檢驗(yàn)出某組為陰性，表明該組全體成員全為陰性，不需要重新化驗(yàn)，如為陽性，需要對(duì)該組的每個(gè)人進(jìn)行化驗(yàn)，以確定誰是病毒感染者。第二次化驗(yàn)后得到的陽性組數(shù)的期望值為：組，每組的人數(shù)為人。所以再需要的化驗(yàn)次數(shù)次。所以要進(jìn)行兩次分組，總共需要的化驗(yàn)次數(shù)y為：又由于總?cè)藬?shù)，所以可得平均每人需要的化驗(yàn)次數(shù)數(shù)學(xué)模型為： 令E（x）=E(x)可以得出時(shí)取K ，代入式子可以得出。由此可見，只要

12、所給的值小于0.2929（而且滿足假設(shè)（4），分兩次組就比分一次組要好。使用LINGO編程（見附件）求出當(dāng)P在（0.00001，0.40）之間變化滿足以上條件的最優(yōu)解,下面給出幾組有代表性、：0.0050.010.020.030.040.050.0842241412101051412765550.05020.08390.13910.18550.22890.2710.38440.10.20.30.3060.3070.3080.4633333333333330.44980.73410.9840.99851.00091.00331.2093根據(jù)上面表分析得：當(dāng),可以進(jìn)行兩次分組，分組能夠減小平均每個(gè)

13、人的化驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)，分組反而增加了平均每個(gè)人的化驗(yàn)次數(shù)。3.結(jié)果分析血樣分組檢驗(yàn)的方式不同，就會(huì)導(dǎo)致檢測(cè)次數(shù)的不同，在實(shí)踐情況當(dāng)中，我們會(huì)對(duì)檢測(cè)的方式進(jìn)行分析，得出最合適的方式。下面我們來分析一次分組檢驗(yàn)與二次分組檢驗(yàn)平均檢驗(yàn)次數(shù)與的關(guān)系：當(dāng)陽性的先驗(yàn)概率時(shí)，不分組每個(gè)人一次一次的檢驗(yàn)可以使總次數(shù)最少；當(dāng)所給時(shí)，進(jìn)行一次檢驗(yàn)比分二次組和不分組均可使總次數(shù)最少；當(dāng)時(shí)，分兩次組總次數(shù)比分一次組總次數(shù)要少。由于題給條件是人群數(shù)量很大，基本是健康人，所以可以認(rèn)為先驗(yàn)概率很小，不分組的情況在實(shí)際當(dāng)中可以不予考慮（此時(shí)的概率在0.3左右，相當(dāng)大），故而我們可以認(rèn)為當(dāng)時(shí)，二次分組更好。綜上所述，當(dāng)時(shí)，即一次分

14、組血樣化驗(yàn)的平均檢驗(yàn)次數(shù)大于二次分組血樣化驗(yàn)的平均化驗(yàn)次數(shù)，因此一次分組化驗(yàn)的費(fèi)用比兩次分組化驗(yàn)的費(fèi)用要大，在實(shí)際的血樣分組化驗(yàn)過程中，應(yīng)該選擇二次分組化驗(yàn)；當(dāng)時(shí)，即不管是一次分組化驗(yàn)還是二次分組化驗(yàn)，平均化驗(yàn)次數(shù)都大于不分組時(shí)平均化驗(yàn)次數(shù)，反而提高了化驗(yàn)費(fèi)用，因此，在實(shí)際的血樣分組檢驗(yàn)中，不需要分組化驗(yàn)。3.討論其它分組方案-平均概率模型首先我們先給出一個(gè)假定陽性血樣的人群有5個(gè)小組檢測(cè)為陽性，10人患病，求共有多少組情況的MATLAB編程示例。示例：假定陽性血樣的人群有5個(gè)小組時(shí)的Matlab的程序如下:clear;clc;counter=0;z=input('請(qǐng)輸入病人數(shù)： &#

15、39;)for r1=1:z for r2=r1:z-r1 for r3=r2:z-r1-r2 for r4=r3:z-r1-r2-r3 for r5=r4:z-r1-r2-r3-r4 if r1+r2+r3+r4+r5=z r1,r2,r3,r4,r5 counter=counter+1; end end end end endendcounter輸入z的值為10,輸出計(jì)算結(jié)果: z = 10ans = 1 1 1 1 6ans = 1 1 1 2 5ans = 1 1 1 3 4ans = 1 1 2 2 4ans = 1 1 2 3 3ans = 1 2 2 2 3ans = 2 2 2

16、 2 2counter = 7這表示如果有5個(gè)組為陽性，有10個(gè)人患病的話，可能會(huì)有7種分組情況，分組情況如上。假定總?cè)藬?shù)為1000，p=1%時(shí)分組情況的討論：1. n=1000,p=1%,分100組,每組10人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗(yàn)次數(shù)平均檢驗(yàn)次數(shù)1991P1=1/421102.6192985P2=5/4212014.2863978P3=8/4213024.7624969P4=9/42140305957P5=7/42150256945P6=5/4216019.0487933P7=3/4217012.1438922P8=2/421808.5719911P9=1/421904.5241

17、0901P10=1/422004.762平均檢驗(yàn)次數(shù):= 145.715個(gè)人平均檢驗(yàn)次數(shù)：E=N/1000= 0.14572. n=1000,p=1%,分125組,每組8人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗(yàn)次數(shù)平均檢驗(yàn)次數(shù)1124000021235P1=5/4114117.19531228P2=8/4114929.07341219P3=9/4115734.46351207P4=7/4116528.17161195P5=5/4117321.09871183P6=3/4118113.24481172P7=2/411899.2291161P8=1/411974.805101151P9=1/412055

18、平均檢驗(yàn)次數(shù):= 162.269個(gè)人平均檢驗(yàn)次數(shù)：E=N/1000= 0.16233. n=1000,p=1%,分50組,每組20人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗(yàn)次數(shù)平均檢驗(yàn)次數(shù)1491P1=1/42701.6672485P2=5/429010.7143478P3=8/4211020.9524469P4=9/4213027.8575457P5=7/4215025.0006445P6=5/4217020.2387433P7=3/4219013.5718422P8=2/4221010.0009411P9=1/422305.47610401P10=1/422505.952平均檢驗(yàn)次數(shù):= 141.

19、427個(gè)人平均檢驗(yàn)次數(shù)：E=N/1000= 0.14144. n=1000,p=1%,分40組,每組25人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗(yàn)次數(shù)平均檢驗(yàn)次數(shù)1391P1=1/42751.7857142385P2=5/4210011.904763378P3=8/4212523.809524369P4=9/4215032.142865357P5=7/4217529.166676345P6=5/4220023.809527333P7=3/4222516.071438322P8=2/4225011.904769311P9=1/422756.54761910301P10=1/423007.142857平均

20、檢驗(yàn)次數(shù):= 164.2857個(gè)人平均檢驗(yàn)次數(shù)：E=N/1000= 0.1643結(jié)果分析根據(jù)上述圖表我們可以知道，總數(shù)為1000人，患病率為1%的群體，選擇每組人數(shù)為10到25之間的分組情況為宜。對(duì)于群體總量比較少的檢驗(yàn)我們可以盡量選取多的如上面所述的模型進(jìn)行計(jì)算進(jìn)而得出期望檢驗(yàn)次數(shù)最少且比較合理的分組方案。但對(duì)于數(shù)量比較大的總體應(yīng)該重新考慮。根據(jù)上面各表以及我們對(duì)期望檢驗(yàn)次數(shù)的計(jì)算，可以知道每組人數(shù)為10的期望檢驗(yàn)人數(shù)為145.715，其前即每組分8個(gè)人方案的期望檢驗(yàn)人數(shù)為162.8，而之后到了第組25即期望檢驗(yàn)人數(shù)為164.2857變化比較小，雖然中間有每組20人的檢驗(yàn)人數(shù)比其小但為了方便

21、對(duì)于數(shù)量比較大的總體每組人數(shù)我們選擇可以選擇np(n代表總量，p代表患病概率)六、模型評(píng)價(jià)和推廣在實(shí)際操作中，由于多次分組需要多次混合血樣，在操作中會(huì)帶來很大的麻煩；而且，在混合當(dāng)中可能會(huì)造成很大的誤差，特別是當(dāng)多次混合血樣比一次混合或不分組的平均每人檢驗(yàn)次數(shù)不是少很多的時(shí)候，進(jìn)行一次分組或不分組效果可能會(huì)更好。本模型可以說在所給定的假設(shè)內(nèi)解決了該問題。假設(shè)（1）在實(shí)際當(dāng)中可能不會(huì)被作為分組與不分組的判斷標(biāo)準(zhǔn)；假設(shè)（2）與（3）是可以接受的，直觀上可以認(rèn)為以陽性的先驗(yàn)概率至于不同疾病有關(guān)，而不會(huì)與檢驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，同時(shí)在沒有遺傳病的情況下，做出假設(shè)（3）也是合理的；假設(shè)（4）在人群數(shù)目較小時(shí)是很容易實(shí)現(xiàn)的