計(jì)算方法考題B06答案

1、計(jì)算方法（B）答案 2006-12-24 考查 成績學(xué)院 姓名 學(xué)號 1、（4分），則近似值：有 6 位有效數(shù)字，有 7 位有效數(shù)字；2、（4分）設(shè) （均為實(shí)數(shù)），則差商：= 12 ，= 2 ；3、（4分）具有個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型數(shù)值積分公式的代數(shù)精度至少是 n 階，至多是 2n+1 階；4、（4分）已知函數(shù)是單峰函數(shù)，在 1，2 區(qū)間有極小點(diǎn)，利用0.618法進(jìn)行一維優(yōu)化：函數(shù)值：，則刪去部分區(qū)間后保留區(qū)間： ，下次計(jì)算函數(shù)值的點(diǎn)是： 1.764 ；5、（4分）按數(shù)值積分的復(fù)化Simpson公式計(jì)算得：，由此可估計(jì)誤差： ；6、（6分）三階矩陣及其逆矩陣如下，則的范數(shù)意義下的條件數(shù)： 748 ；又

2、，解方程組，若殘量的范數(shù)，則可估計(jì)解的誤差 4.08 ； 7、（8分）函數(shù)有形式，測試數(shù)據(jù)如下表：-1.06-0.5671.431.77 請給出用最小二乘法確定系數(shù)的法方程（取3位有效數(shù)字計(jì)算）： 得： 8、（10分）用Gauss消去法解以下方程組，并將其系數(shù)矩陣 分解為形式（單位下三角、對角、單位上三角矩陣）： ； 答： 主元：9、（10分）方程組： 考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解方程組的收斂性； 解：方法（1）將原方程第3行兩邊除2，便為對稱： 正定， 正定， 因此，Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收斂；完 方法（2）若對方程不作改變，Jacobi迭代

3、矩陣： 記 ，又由 及，因此，方程 在，及 中各有一解，因此，因此Jacobi迭代收斂； Gauss-Seidel迭代的迭代矩陣：或：迭代矩陣 譜半徑是以下特征多項(xiàng)式的根： 解得： ，所以Gauss-Seidel迭代收斂；完10、（10分）已知方程在區(qū)間中有唯一解，給出包含此解的長度不超過0.5的區(qū)間，及一個(gè)簡單迭代，使之在此前定的區(qū)間中任取初值，迭代收斂于； 解：由 可知 令 ，迭代， 因 ，而 ，又 由，因此，由定理可知，迭代 收斂。11、（12分）試給出計(jì)算以下積分的兩點(diǎn)求積公式，使之具有盡可能高的代數(shù)精度，并請給出此時(shí)公式的誤差： 令 ， 解：1、確定公式 正交多項(xiàng)式：所以，節(jié)點(diǎn)， 公式： 或 待定系數(shù)法： 利用對稱區(qū)間性質(zhì)：令由此可得與上相同的公式。為得到誤差，考察代數(shù)精度：令：因此，代數(shù)精度為3。2、誤差：由于代數(shù)精度為3，故 令 若用廣義Peano定理： ?。?12、（12分）解常微分方程初值問題 的算法：1）確定系數(shù)，使算法具有盡可能高的精度，并給出局部截?cái)嗾`差；2）請將所得公式與以下公式結(jié)合，組成“預(yù)估-修正-校正”公式： ；解：1）數(shù)值積分方法： 令，有： 或 待定系數(shù)法： 得： 2）取 由 及 得 ，因此有 13、（12分）設(shè)，函數(shù) 求區(qū)間上滿足以上插值條件的分段三次插值多項(xiàng)式（自然樣條）；解：設(shè) 令，故有 由此