關(guān)于折紙的小學(xué)生數(shù)學(xué)智力題

1、.關(guān)于折紙的小學(xué)生數(shù)學(xué)智力題折紙為什么要比尺規(guī)作圖更強(qiáng)?這是一個(gè)好問題。查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)歡送大家閱讀折紙的小學(xué)生數(shù)學(xué)智力題，希望對(duì)您的學(xué)習(xí)有所幫助。要解答為何折紙如此強(qiáng)大，首先我們得解決一個(gè)問題：什么叫折紙。折紙的游戲規(guī)那么是什么?換句話說(shuō)，折紙?jiān)试S哪些根本的操作?大家或許會(huì)想到一些折紙幾何必須遵守的規(guī)那么：所有直線都由折痕或者紙張邊緣確定，所有點(diǎn)都由直線的交點(diǎn)確定，折痕一律是將紙張折疊壓平再展開后得到的，每次折疊都要求對(duì)齊某些已有幾何元素不能憑感覺亂折，等等。不過，這些定義都太“空了，我們需要更加形式化的折紙規(guī)那么。 1991 年， Humiaki Huzita 指出了折紙過程中的 6 種根本操

2、作也可以叫做折紙幾何的公理：1. A 、 B 兩點(diǎn)，可以折出一條經(jīng)過 A 、 B 的折痕2. A 、 B 兩點(diǎn)，可以把點(diǎn) A 折到點(diǎn) B 上去想象這張紙是透明的，所有幾何對(duì)象正反兩面都能看見，下同3. a 、 b 兩條直線，可以把直線 a 折到直線 b 上去4. 點(diǎn) A 和直線 a ，可以沿著一條過 A 點(diǎn)的折痕，把 a 折到自身上5. A 、 B 兩點(diǎn)和直線 a ，可以沿著一條過 B 點(diǎn)的折痕，把 A 折到 a 上6. A 、 B 兩點(diǎn)和 a 、 b 兩直線，可以把 A 、 B 分別折到 a 、 b 上容易看出，它們實(shí)際上對(duì)應(yīng)著不同的幾何作圖操作。例如，操作 1 實(shí)際上相當(dāng)于連接兩點(diǎn)，操作

3、2 實(shí)際上相當(dāng)于作出兩點(diǎn)的連線的垂直平分線，操作 3 那么相當(dāng)于作出線段的夾角的角平分線，操作 4 那么相當(dāng)于過點(diǎn)作線的垂線。真正強(qiáng)大的那么是后面兩項(xiàng)操作，它們確定出來(lái)的折痕要滿足一系列復(fù)雜的特征，不是尺規(guī)作圖一兩下能作出來(lái)的有時(shí)甚至是作不出來(lái)的。正是這兩個(gè)操作，讓折紙幾何有別于尺規(guī)作圖，折紙這門學(xué)問從此處開場(chǎng)變得有趣起來(lái)。更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一個(gè)。在大多數(shù)情況下，過一個(gè)點(diǎn)有兩條能把點(diǎn) A 折到直線 a 上的折痕。操作 6 那么更猛：把兩點(diǎn)分別折到對(duì)應(yīng)的兩線上，最多可以有三個(gè)解!一組限定條件能同時(shí)產(chǎn)生三個(gè)解，這讓操作 6 變得無(wú)比靈敏，無(wú)比強(qiáng)大。利用一些并不太復(fù)雜的解析幾何分析

4、，我們能得出操作 6 有三種解的根本原因：滿足要求的折痕是一個(gè)三次方程的解。也就是說(shuō)，給出兩個(gè)點(diǎn)和兩條對(duì)應(yīng)的線后，尋找符合要求的折痕的過程，本質(zhì)上是在解一個(gè)三次方程!讓我們來(lái)回憶一下尺規(guī)作圖里的五個(gè)根本操作：1. 過兩點(diǎn)作直線2. 給定圓心和圓周上一點(diǎn)作圓3. 尋找直線與直線的交點(diǎn)4. 尋找圓與直線的交點(diǎn)5. 尋找圓與圓的交點(diǎn)這五項(xiàng)操作看上去變化多端，但前三項(xiàng)操作都是唯一解，后兩項(xiàng)操作最多也只能產(chǎn)生兩個(gè)解。從這個(gè)角度來(lái)看，尺規(guī)作圖最多只能解決二次問題，加減乘除和不斷開方就已經(jīng)是尺規(guī)作圖的極限了。能解決三次問題的折紙規(guī)那么，勢(shì)必比尺規(guī)作圖更加強(qiáng)大。正因?yàn)槿绱?，一些尺?guī)作圖無(wú)法完成的任務(wù)，在折紙幾

5、何中卻能辦到。這就回到了文章開頭提到的問題：用折紙法可以實(shí)現(xiàn)作正七邊形，而這是無(wú)法用尺規(guī)作圖辦到的。我們有更簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明，用折紙法能完成尺規(guī)作圖辦不到的事情?！氨读⒎襟w問題是古希臘三大尺規(guī)作圖難題之一，它要求把立方體的體積擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍，本質(zhì)上是求作 2 的立方根。由于尺規(guī)作圖最多只能開平方，因此它無(wú)法完成“倍立方體的任務(wù)。但是，折紙公理 6 相當(dāng)于解三次方程，解決“倍立方體難題似乎是游刃有余。有意思的是，用紙片折出 2 的立方根比想象中的更加簡(jiǎn)單。取一張正方形紙片，將它橫著劃分成三等份方法有很多，大家不妨自己想想。然后，將右邊界中下面那個(gè)三等分點(diǎn)折到正方形內(nèi)上面那條三等分線上，同時(shí)將紙

6、片的右下角頂點(diǎn)折到正方形的左邊界。那么，紙片的左邊界就被分成了radic;2: 1 兩段。利用勾股定理和相似三角形建立各線段長(zhǎng)度的關(guān)系，我們不難證明它的正確性。強(qiáng)烈建議大家自己動(dòng)筆算一算，來(lái)看看三次方程是如何產(chǎn)生的。本文寫到這里，大家或許以為故事就完畢了吧。 10 年以后也就是 2019 年，事情又有了轉(zhuǎn)折： Koshiro Hatori 發(fā)現(xiàn)， Humiaki Huzita 的 6 個(gè)折紙公理并不是完好的。 Koshiro Hatori 給出了折紙的第 7 種操作。從形式上看，第 7 公理與已有的公理如出一轍，并不出人意料，很難想象這個(gè)公理整整十年里竟然一直沒被發(fā)現(xiàn)。繼續(xù)閱讀之前，大家不妨先

7、自己想想，這個(gè)缺失的操作是什么。這段歷史背景無(wú)疑讓它成為了一個(gè)非常有趣的考慮題。Koshiro Hatori 補(bǔ)充的公理是：7. 點(diǎn) A 和 a 、 b 兩直線，可以沿著一條垂直于 b 的折痕，把 A 折到 a 上。后來(lái)，這 7 條公理就合稱為了 HuzitaHatori 公理，你可以在Wikipedia上讀到這個(gè)條目。在 2019 年的一篇文章中， Robert J. Lang 對(duì)這些公理進(jìn)展了一番整理和分析，證明了這 7 條公理已經(jīng)包含折紙幾何中的全部操作了。Robert J. Lang 注意到了，上述 7 項(xiàng)根本操作其實(shí)是由一些更根本的操作要素組合而成的，例如“把點(diǎn)折到線上、“折痕經(jīng)過點(diǎn)

8、等等。說(shuō)得更貼切一些，這些更加根本的操作要素其實(shí)是對(duì)折痕的“限制條件。在平面直角坐標(biāo)系中，折痕完全由斜率和截距確定，它等價(jià)于一個(gè)包含兩個(gè)變量的方程。不同的折疊要素對(duì)折痕的限制力是不同的，例如“把點(diǎn)折到點(diǎn)上就同時(shí)要求 x1 = x2并且 y1 = y2，可以建立出兩個(gè)等量關(guān)系，一下子就把折痕的兩個(gè)變量都限制住了。而“折痕經(jīng)過點(diǎn)那么只能列出一個(gè)方程，只能確定一個(gè)變量形式上通常表示為與另一個(gè)變量的關(guān)系，把折痕的活動(dòng)范圍限制在一個(gè)維度里。不難總結(jié)出，根本的折疊限制要素共有 5 個(gè)：1 把點(diǎn)折到點(diǎn)上，確定 2 個(gè)變量2 把點(diǎn)折到線上，確定 1 個(gè)變量3 把線折到線上，確定 2 個(gè)變量4 把線折到自身上，

9、確定 1 個(gè)變量5 折痕經(jīng)過點(diǎn)，確定 1 個(gè)變量觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f(shuō)得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說(shuō)話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云

10、是什么樣子的，有的孩子說(shuō)：烏云像大海的波浪。有的孩子說(shuō)“烏云跑得飛快。我加以肯定說(shuō)“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來(lái)，我抓住時(shí)機(jī)說(shuō)：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說(shuō)大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來(lái)，在開展想象力中開展語(yǔ)

11、言。如啄木鳥的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動(dòng)形象地描繪觀察對(duì)象。而折痕本身有 2 個(gè)待確定的變量，因此符合要求的折紙操作只有這么幾種： 1 ， 2+2 ， 3 ， 4+4 ， 5+5 ， 2+4 ， 2+5 ， 4+5 。但是，這里面有一種組合需要排除掉： 4+4 。在絕大多數(shù)情況下， 4+4 實(shí)際上都是不可能實(shí)現(xiàn)的。假如給出的兩條直線不平行，我們無(wú)法折疊紙張使得它們都與自身重合，因?yàn)闆]有同時(shí)垂直于它們的直線。其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語(yǔ)文學(xué)科涉

12、獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語(yǔ)、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無(wú)限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。另外 7 種那么正好對(duì)應(yīng)了前面 7 個(gè)公理，既無(wú)重合，又無(wú)遺漏。折紙幾何至此便有了一套完好的公理。我國(guó)古代的讀書人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識(shí)記幾千個(gè)漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩(shī)文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語(yǔ)文教學(xué)效果差,中學(xué)語(yǔ)文畢業(yè)生語(yǔ)文程度低,十幾年上課總時(shí)數(shù)是9160課時(shí),語(yǔ)文是2749課時(shí),恰好是30%,十年的時(shí)間,二千七百多課時(shí),用來(lái)學(xué)本國(guó)語(yǔ)文,卻是大多數(shù)不過關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無(wú)物。特別是寫議論文,初中程度以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素是論點(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本構(gòu)造:提出問題分析問題解決問題,但真正動(dòng)起筆來(lái)就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無(wú)“米下“鍋。于是便翻開作文集錦之類的書大段抄起來(lái),抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書就