立體幾何中的有關計算

1、數(shù)學高考綜合能力題選講14立體幾何中的有關計算題型預測立體幾何中的計算主要是求角和距離.其中二面角的平面角和點到平面的距離(體積) 常常作為考查的重點.范例選講例 1 長方體 ABCD AiBiCiDi 中，AB BCAA12, E是側棱BBi中點.(1)求直線AAi與平面AiDi E所成角的大?。?2)求二面角E ACi B的大??；(3)求三棱錐A CiDiE的體積.講解：(i)要求線面所成角，首先需要找到這個角，為此，我們應該先作 出面ADJ的一條垂線.不難發(fā)現(xiàn)，AE正為所求.由長方體 ABCD AiBiCiDi 知：Di Ai 面 ABBiA ,又 AE 面 ABBiAi ,所以,Di

2、Ai AE .在矩形ABBiA中，E為BBi中點且AAi 2 , AB i ,所以，AE AE J2 ,所以，AiAE為等腰直角三角形，EAi AE .所以，AE面ADJ.所以， AAE就是直線AA與平面a1D1E所成的角，為45 .(2)要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一個面的一條 垂線，則可利用三垂線定理(或逆定理)將其作出.注意到 AB 面B1BCC1 ，所以，面ABCi 面BiBCCi ,所以，只需在 面BiBCCi內過點E作EFBCi 于 F,則 EF 面 ABCi .過F作FG ACi于G,連面角E ACi B的平面角.在EBC1中,2SEF EBCiEB C1B1

3、EG,則 EGF就是二所以，CiF在ABC1中,BCiBCi,CiE2 EF2FG C1F sin3.55FCiGCiFABAC13010.EF 、. 6在 RtEFG 中，tan EGF 一 FG 36所以，二面角E ACi B的平面角的大小為arctan.3(3)要求三棱錐A CiDiE的體積，注意到(2)中已經求出了點E到平面ACiDi的距離EF.所以,、，、，111Va c d eVe ac d_ S ac dEF - ADiCDiEF .1 11131166另一方面，也可以利用等積轉化.因為AB/ D1cl,所以，AB/面C1D1E .所以，點A到平面C1D1E的距離就 等于點B到平

4、面CiDiE的距離.所以,iiiVa c1 d1eVbc1d1eVd1ebc1 S ebc1DCi EBCiBiDiCi366點評：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形.利用三垂線定 理作出二面角的平面角是很常用的方法.例2 如圖：三棱臺ABC AB1c1中，側棱CC1Ci，底面 ABC , ACB 120 , AC a,BCBiCi a,直線ABi與CCi所成的角等于60(1)求二面角Bi AC B的大??；(2)求點B到平面BiAC的距離.講解 無論從已知(直線 AB1與CC1 所成的角等于60。)的角度還是從所求 (二面角Bi AC B)的角度，過Bi作CCi的平行線都是當然之舉

5、.在平面B1C1CB中，過B1作B1DC1c交CB于點D ,連接AD ,則 ADB1就是直線AB1與CC1所成的角.所以，ADBi 60 .又因為CCi，底面ABC ,所以，BiD，底面ABC .在平面ABC內過點D作DE AC于E,連B1E ,則B1E AC,所以，B1ED就是二面角B1 AC B的平面角.在 ACD 中，AD Vac2 CD2 2AC CDcos120 73a.在 Rt ABiD 中，BiD AD cot60 a . f- 3 在 Rt CED 中，DE CE sin 60 一 a .2a 23 在 Rt EBiD 中，tan BiED.33-a所以，二面角B1 AC B的

6、平面角的大小為：arctan 2四3(2)由D為BC中點，故點B到平面B1AC的距離等于點D到平面B1AC的距離的2倍，作DHB1E 于 H.由（1）知 AC 面B1ED ,所以，AC DH ,所以，DH 面B1AC ,所以，DH就是點D到平面B1AC的距離.在RtDE DB1 DE DB1EB1D 中，DH 1.1 =EB1DE2 DB12所以,另外,2 21點B到平面BAC的距離等于 一a我們也可以用體積法求出這個距離.設點B到平面B1AC的距離為h .則由VB 1ACBVBACB1VB1 ACB1 c3 S ABC B1D1-AC BC sin 2ACB B1DS ACB11AC 21

7、-B1E -AC222,EDB1 D- 7 2a4可得:3VBh SACBiACBi2 21a .7所以，點B到平面BAC的距離等于 T1a .點評等積變形是求體積和求距離時常用的方法.1. ( 1998年全國高考)已知斜三棱柱 ABG- A'B'C'的側面A'ACC'與底面ABC垂直，/ABC=90 ,BC= 2,AC= 2<3 且 AAA'C,AA' = A'C.求側棱AA'與底面ABC所成角的大??；B求側面A'ABB'與底面ABC所成二面角的大??；求頂點C到側面A'ABB'的距離.2. ( 1999年全國高考)如圖,已知四棱柱 ABCD-A'B'C'D',點E在棱D'D上，截面EAC D'B,且面EACf底面ABC所成的角為45°,AB = a(1)求截面EAC勺面積；(2)求異面直線A'B'與AC之間的距離;(3)求三棱錐B' - EAC勺體積.S3. (2001年全國高考)如圖：在底面是直角梯形的四棱錐 S-ABCD 中，/ABC=90