2020年中考數(shù)學二輪核心考點講解第15講非常規(guī)思維問題解析版

1、【中考數(shù)學二輪核心考點講解】第15講非常規(guī)思維問題知識儲備、軸對稱/翻折的性質(zhì)1. 關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；2. 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應(yīng)點連線段的垂直平分線;3. 對稱軸上的任意一點與每一對對應(yīng)點所連線段相等；4. 若對應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長線相交，則交點一定在對稱軸上、梯形常見輔助線的作法作STff、圓幕定理和交弦定理AP BP=DP * CP(dpr=apc)PTjPA PB(PAT-PTRlD割純定理PA PB=PC * PD(PACPD)托勒密壬理Ae - BD=AD ' BC + AB DC（內(nèi)接四邊形對角線之積二對邊乘積之和）四、

2、正弦定理與余弦定理正弦定理Sin A Sin B Sin Cr為ABC 接圓半徑）余妾定理Or - b' +e" -2ccos4b 二丁 +c- - 2ac s B= a1 + 2ab COS C五、阿基米德折弦定理阿基米新弦趣M是弧ABC的中j BOABJ LID丄哉則有:CD=AB+BD例題精講 ¾ i 可認【例題1】（1）如圖1,四邊形ABCD是菱形， BAD= BCD=60 ° ,當AC=12時，則厶BCD的周長=（2）如圖2,若四邊形 ABCD不是菱形， BAD=2 ACB=2 ACD=60 ° , AC=12 ,判斷 BCD的周長是

3、否發(fā)生變化，并說明理由。（3）如圖 2,在四邊形 ABCD 中，/ BAD= ACB= ACD=45 °，AC=12 ,求 BCD 的周長。國冊 的軸對tfh1 井UJ不變.LjI AS >J時稱軸.In出AJBC的ft劉ABC 1!5f4ZX'' 連揍rc, I Ar=-ACAC1=-M IZC-UJ-ZCiw3 分c,ri.-r ZW64J , Zfrl,l2Oe Z4ct d = j jr,r-jtfi:點F D段CrM h:、ZCD的周快等于CC"的¾. CCtt *3JC *<? 12占譏MCD的岡氐不變.C#(碇轉(zhuǎn)方注也龍撰

4、f不過比枚奴雜)g j I )4bkkhkkh * bbbkkkkb h Hbdfr ”甘 Id【歸納，本題重點巧用 作軸對稱/翻折的方法進行解題】【變式1】已知：如圖(1)在Rt ABC中， BAC = 90° AB= AC,點D、E分別為線段 BC上兩動點， 若 DAE = 45°(1) 探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；(2) 已知：如圖(2),等邊三角形 ABC中，點D、E在邊AB上，且 DCE = 30°請你找出一個條件, 使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù).圖【解析】(1) DE2= BD2+EC2

5、;(2)當AD = BE時，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形.如圖，與(2)類似，以 CE為一邊，作 ECF = ECB ,在CF上截取CF = CB ,可得 CFE也厶 CBE, DCFDCA. AD = DF , EF = BE . DFE = 1+ 2= A+ B = 120°若使 DFE為等腰三角形，只需 DF = EF ,即AD = BE,當AD = BE時，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形，且頂角 DFE為120°【例題 2】如圖，四邊形 ABCD 中，AD / BC, ABC+ DCB = 90°,且 BC = 2AD ,以 AB、B

6、C、DC 為邊 向外作正方形，其面積分別為Si、S2、S3,若S= 3, S3= 9,則S2的值為.S【解析】 Si = 3, S3= 9, AB= _ ：, CD = 3,過A作AE/ CD交BC于E,則 AEB = DCB , AD / BC,四邊形AECD是平行四邊形， CE= AD, AE = CD= 3, ABC+ DCB = 90°, AEB+ ABC = 90°, BAE = 90 ° , BE= J, ： , L - ；：= 2:， BC= 2AD , BC= 2BE = 4 :， S2=（ 4：）2= 48,故選：D.【變式 2-1 】如圖所示.

7、梯形 ABCD 中，AB / CD , A+ B= 90°, AB = P, CD = q, E, F 分別為 AB, CD 的中點，求EF.【解析】過點F分別作FG / AD , FH / BC交AB于G , H ,（如圖） A= FGH , B= FHG , B+ A= 90 ° , FGH+ FHG = 90°, FGH是直角三角形， FG / AD, FH / BC, AB/ CD ,四邊形ADFG、FHBC都是平行四邊形, 又 E、F分別是兩底的中點， AE= EB, BH = AG, GE = EH , DF = AG =斗 FC = HB =斗 FG

8、 = AD , FH = BC,在Rt FGH中，即EF是Rt FGH斜邊的中線， EF = GH = ( AB - CD)2 25,【變式 2-2 】如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AB : BC :CD : DA 3:8: 3 3:2 ,求 B、/ D解：過A作AE/ DC,設(shè)AB=3a (a> 0)根據(jù)勾股定理逆定理可得BAE=90°, AEB=30°,可推出 B=60°, D=150°【例題3】如圖，F(xiàn)A切O于A, PBC是 O的割線，如果 PB= 2, PC = 4 ,貝U RA的長為.【解析】 PA切O于A, PBC是 O

9、的割線，PB = 2, PC= 4, PA2 = PB× PC, FA=J：= 2 二故答案為：2.'：.【變式3-1】如圖，CD是 O的直徑，以D為圓心的圓與 O交于A、B兩點，AB交CD于點E, CD交 D 于 P,已知 PC= 6, PE : ED = 2: 1 ,貝U AB 的長為()C. ： :【解析】延長PD交 D于F. 設(shè) PE = 2x, DE = X.根據(jù)相交弦定理，得：CE× ED = AE × BE= PE × EF,(6+2x)× X= 2x× 4x,解得X= 1 .所以AE = BE= 2丄所以 AB

10、 = 4 ：.故選：B.【變式3-2】九年級學生小剛是一個喜歡看書的好學生，他在學習完第二十四章圓后，在家里突然看到爸爸的初中數(shù)學書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦， 被交點分成的兩條線段長的積相等），非常好奇，仔細閱讀原來就是：PA?PB= PC?PD ,小剛很想知道是如何證明的，可已證明部分污損看不清了，只看到輔助線的做法，分別連結(jié)AC、BD .聰明的你一定能幫他證出，請在圖1中做出輔助線，并寫出詳細的證明過程.小剛又看到一道課后習題，如圖2, AB是 O弦，P是AB上一點，AB = 10cm, PA = 4cm, OP= 5cm,求O的半徑，愁壞了小剛，樂于助人的你肯定會幫助他

11、，請寫出詳細的證明過程.【解析】（1）圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等.已知，如圖1, O的兩弦AB、CD相交于E, 求證：AP?BP = CP?DP .證明如下：連結(jié)AC, BD,如圖1 , C= B, A= D, APCsA DPB , AP： DP = CP : BP, AP?BP= CP?DP ;所以兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等.(2)過P作直徑CD ,如圖2, AB= 10, FA = 4, OP = 5,. PB= 10 4= 6, PC = OC+OP = R+5, PD = OD - OP = R由(1)中結(jié)論得，F(xiàn)A?PB = PC?PD ,.

12、 4 × 6=( R+5) ×( R 5),解得R= 7 ( R=- 7舍去).所以O(shè)的半徑R= 7cm.【例題4】問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1, AB和BC是 O的兩條弦(即折線 ABC是圓的一條折弦)，BC > AB, M是X的中點，則從M向BC所作垂線的垂足 D是折弦ABC的中點，即CD = AB+BD .下 面是運用“截長法”證明 CD = AB+BD的部分證明過程.BE= CE+AC;證明：如圖 2,在CB上截取 CG= AB ,連接 MA, MB , MC和MG . M是須的中點，.MA = MC(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分; 實

13、踐應(yīng)用：(2)如圖3,已知 ABC內(nèi)接于 O, BC> AB> AC, D是，的中點，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為BE= CE+AC .(3)如圖4 ,已知等腰 ABC內(nèi)接于 O , AB= AC, D為AB上一點，連接 DB , ACD = 45°, AE CD于點E , BDC的周長為4. ：_：+2, BC = 2 ,請求出 AC的長.【解析】(1)證明：如圖2,在CB上截取CG = AB,連接MA , MB , MC和MG , M是訂的中點， MA = MC .rBA=GC 在厶MBA和厶MGC中, A是門的中點, 厶二ZG ,JA=MC M

14、BA MGC (SAS) , MB = MG , 又 MD 丄 BC, BD = GD, DC = GC+GD = AB+BD;實踐應(yīng)用(2) 如圖3,依據(jù)阿基米德折弦定理可得： 故答案為：BE= CE+AC;(3) AB = AC, AE CD ,根據(jù)阿基米德折弦定理得，CE= BD+DE , BCD的周長為4二+2, BD+CD + BC = 4：?+2 , BD+DE+CE+BC = 2CE+BC = 4 二+2 , BC= 2, CE= 2!,在 Rt ACE 中， ACD = 45°, AE= CE= 2 一AC= 4.【變式4-1】我們知道，如圖1 , AB是O的弦，點F

15、是的中點，過點F作EF丄AB于點E,易得點E是AB的中點，即AE= EB. O上一點C (AC> BC),則折線ACB稱為 O的一條“折弦”.(1) 當點C在弦AB的上方時(如圖2),過點F作EF丄AC于點E,求證：點E是“折弦ACB”的中 點，即 AE = EC+CB .(2) 當點C在弦AB的下方時(如圖3),其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說明理由；若不成立，那么 AE、EC、CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出，不必證明.(3) 如圖4,已知Rt ABC中， C = 90°, BAC = 30°, Rt ABC的外接圓 O的半徑為2,過O 上一點P作P

16、H丄AC于點H ,交AB于點M ,當 FAB = 45°時，求 AH的長.(3)如圖3,在 AC 上截取 AG= BC,連接 FA, FG , FB, FC ,點F是丨的中點，F(xiàn)A= FB,(FA=FB在厶 FAG 和 FBC 中，.卜亠，LG=BC FAG FBC (SAS), FG = FC , FE 丄 AC,： EG = EC,： AE= AG + EG = BC+CE;(2)結(jié)論AE = EC+CB不成立，新結(jié)論為： CE = BC+AE,理由：如圖3,在CA上截取 CG= CB,連接FA, FB, FC,點 F 是罕 的中點， FA = FB, Z- -, FCG = F

17、CB,CG=CBZFCG=ZFCB,FC=FC FCG FCB ( SAS), FG = FB , FA= FG, FE 丄 AC,： AE = GE,： CE= CG + GE= BC+AE ;在 Rt ABC 中，AB = 2OA = 4, BAC = 30°,S在CA上截取 CG= CB,連接PA, PB, PG, v ACB= 90 °,. AB 為 O 的直徑， APB = 90° ,v FAB = 45°, PBA = 45°= PAB, FA= PB, PCG = PCB,. BC =B = 2, AC= 2 ；當點P在弦AB上方

18、時,SCCG=CBZPCG=ZPCBPC=PC PCG PCB ( SAS), PG= PB, PA= PG ,V PH 丄 AC , AH = GH , AC= AH + GH+CG = 2AH + BC , 2 _ ；= 2AH+2 , AH =:- 1,當點P在弦AB下方時，如圖5 ,在AC上截取 AG= BC ,連接PA , PB , PC ,v ACB= 90 ° , AB 為 O 的直徑，v FAB = 45°, PBA = 45°= PAB ,AG=BCZPZPBC(同弧所對的圓周角相等，PA=PB FAG PBC (SAS) , PG= PC ,V

19、 PH 丄 AC , CH = GH , AC = AG+GH+CH = BC+2CH , 2 : = 2+2CH , CH =.：- 1 , AH = AC - CH = 22 -(V- 1)=+1,即:當 PAB= 45° 時，AH 的長為 :- 1 或.>1 .【例題5】閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù).托勒密定理：托勒密(Ptolemy)(公元90年公元168年)，希臘著名的天文學家，他的要著作天文學大成被后,托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著在厶PCG和厶PCB中,在厶FAG和厶PBC中,PGAPB= 90°, .FA= PB,人稱為“偉大的數(shù)學書”，托勒密

20、有時把它叫作數(shù)學文集 名的托勒密（Ptolemy）定理.托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和. 已知：如圖 1四邊形ABCD內(nèi)接于O,求證：AB?CD + BC?AD = AC?BD下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖 2,作 BAE = CAD ,交BD于點E. r. . ABE = ACDAC CD.AB?CD = AC?BEC3?V -I 一 ACB= ADE （依據(jù) 1） BAE = CAD BAE+ EAC = CAD + EAC即 BAC = EAD ABCsA AED （依據(jù) 2）任務(wù)：(1)請繼續(xù)完成上面的證明過程，并回答上述過程中的“依據(jù)1 ”和“依

21、據(jù)2”分別是什么.(2)當圓內(nèi)接四邊形 ABCD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：.(3)如圖3,四邊形 ABCD內(nèi)接于O , AB = 3, AD = 5, BAD = 60° ,點C為丨的中點，求 AC的長.【解析】(1 ) ABC AED AD?BC = AC?ED AB?CD+AD?BC = AC?( BE+ED) AB?CD +AD ?BC = AC?BD上述證明過程中的“依據(jù) 1”是同弧所對的圓周角相等.“依據(jù)2”是兩角分別相等的兩個三角形相似.(2) 當圓內(nèi)接四邊形 ABCD是矩形時，則 AB = CD , AD = BC, AC= BD , AB?CD

22、+AD?BC = AC?BD ,2 2 2 AB2+AD2= bd2,托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：勾股定理， 故答案為勾股定理.(3) 連接BD ,作CE丄BD于E.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形， BAD+ BCD = 180°, BAD = 60°, BCD = 120°,. =， CD = CB, CDB = 30°,ff在 Rt CDE 中，cos30°=,CD DE = - CD,2 BD = 2DE =:CD,由托勒密定理：AC?BD = AD?BC+CD?AB, AC? CD = 3CD+5CD ,答：AC的長為【變式5-

23、1】問題探究：（1） 已知：如圖， ABC中請你用尺規(guī)在 BC邊上找一點D ,使得點A到點BC的距離最短.（2） 托勒密（Ptolemy）定理指出，圓的內(nèi)接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.如圖， P是正 ABC外接圓的劣弧 BC上任一點（不與 B、C重合），請你根據(jù)托勒密（Ptolemy）定理證明：FA =PB+PC問題解決：（3）如圖，某學校有一塊兩直角邊長分別為30m、60m的直角三角形的草坪，現(xiàn)準備在草坪內(nèi)放置一對石凳及垃圾箱在點 P處，使P到A、B、C三點的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點P?若存在，請作出點P的位置，并求出這個最短距離（結(jié)果保留根號）；若不存在，請說

24、明理由.5【解析】（1）利用尺規(guī)作圖，過點 則點D即為所求；（2）由托勒密定理得， PA?BC= PB?AC+PC?AB, ABC為正三角形，. AB= BC= AC, PA?BC= PB?BC+PC?BC, FA= PB+PC;（3）以BC為邊作正厶BCD ,使點D與點A在BC兩側(cè)，作厶BCD的外接圓，連接 AD交圓于P,連接PB,作DE丄AC交AC的延長線于 E, 則點P即為所求，由（2）得，PD = PB+PC, P到A、B、C三點的距離之和= DA ,且距離之和最小，. CD = BC= 30, DCE = BCE- BCD = 30°,A作BC的垂線，交BC于D , DE

25、=15,圖由勾股定理得，CE = I I ； ：.：= 15 :,則 AD =,：-；-：；-= 30 . - I ：；,答：P到A、B、C三點的距離之和最小值為 30 J :m.【例題6】如圖，在Rt ABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法:sinA SinB/ SinA = C=,C=bSinB根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識在圖 的銳角 ABC中，探究b之間的關(guān)系，并寫出探究過程.園【解析】,理由為:abCSLnASLnBSinC過 A 作 AD 丄 BC, BE AC,在 Rt ABD 中,在 Rt ADC 中,ADCSinC= ,即 AD = bsinC,bSinB =,即 AD = CS

26、inB,CbCSLnBSLnC. CSinB = bsinC,aCSLnASLrLC=b C即同理可得aSinA SLnB SiIlC【變式6-1】觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題在銳角 ABC中， A、/ B、/ C的對邊分別是 a、b、c,過 A作 AD丄BC于 D （如圖（1）,則 _SinB SLnC,即 AD = CSinB, AD = bsinC,于是 CSinB= bsinC,即,同理有:SinC sinA SirA SinB說 _ b _ usinA SirIB SinC所以即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條 邊

27、），運用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個未知元素.根據(jù)上述材料，完成下列各題.A（1）如圖（2）, ABC 中， B = 45°, C = 75°, BC = 60,則 A=; AC =;（2）自從去年日本政府自主自導“釣魚島國有化”鬧劇以來，我國政府靈活應(yīng)對，現(xiàn)如今已對釣魚島執(zhí) 行常態(tài)化巡邏.某次巡邏中，如圖（3 ），我漁政204船在C處測得A在我漁政船的北偏西 30°的方向上,隨后以40海里/時的速度按北偏東 30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得釣魚島 A在的北偏西75°的方向上，求此時漁政204船距釣魚島A的距離AB.（結(jié)果

28、精確到0.01 , .廠八：）【解析】（1）由正玄定理得： A= 60°, AC = 20'故答案為：60°, 20 I,;（2）如圖，依題意：BC= 40 × 0.5= 20 （海里） CD / BE, DCB+ CBE = 180°. DCB = 30°, CBE= 150°. ABE = 75°, ABC = 75°. A= 45°.在厶ABC中,AB 二 BCinZCB SLnZAAB20sin0esin45s即解之得：AB = 10 . I 24.49海里.所以漁政204船距釣魚島A的距

29、離約為24.49海里.【變式6-2】在厶ABC 中,定理，請用余弦定理完成下面的問題請用余弦定理完成下面的問題:我們稱為余弦(1)如圖，已知 DEF , E = 60°, DE = 4, DF = .:,求 EF 的長度;（2）通過合理的構(gòu)造，試求cos1052_2 2【解析】(1)由余弦定理，可得 CoSE = 匚'2 DE-EF E= 60°, DE = 4, DF =：；, 1垃+國於-132X4EF ，解得EF = 1或3;AD 丄 BC, AD = 1.(2)如圖，在 ABC 中， B = 45°, C= 30°,在 RTAADC 中，

30、AD = 1 . AC= 2, CD = 3,在 RTAADB 中，AD = 1 , AB=，BD = 1 ,ABC 中，AB = AC = 2, BC = ；： ：+1 , BAC = 180° - 30°- 45°= 105° ,ab2+ac2-bc2+4- (3 T ) 22 AB-AC2×22利用余弦定理可得 cos105= /. J巧題狂練讓>ls!*1.如圖，AB是圓O的直徑，弦 CD丄AB于E, P是BA延長線上一點，連接 PC交圓O于F ,若PF = 7,FC = 13 , PA: AE : EB = 2: 4: 1,貝U

31、 CD 長為4 D【解析】 設(shè)BE為X,則PA= 2x, PB= 7x.根據(jù)割線定理，得FA?PB = PF?PC ,即 2x?7x= 7 × 20,解得X=r.又 CE2= AE?BE = 4x2= 40, CE= 2 I, CD = 2CE = 4.! .2.定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦阿基米德折弦定理：如圖1, AB和BC組成圓的折弦， AB >BC, M是弧ABC的中點，MF丄AB于F ,貝U AF = FB+BC.如圖 2, ABC 中， ABC = 60°, AB= 8, BC = 6, D 是 AB 上一點，BD = 1 ,作

32、DE 丄 AB 交厶 ABC 的 外接圓于E,連接EA,則 EAC =60° .【解析】如圖2,連接OA、OC、OE, AB= 8, BC = 6, BD = 1 , AD = 7, BD + BC= 7, AD = BD+BC, 而ED丄AB,點E為弧ABC的中點，即弧 AE =弧CE, AOE = COE, AOC= 2 ABC = 2× 60°= 120° AOE = COE= 120°, CAE =COE= 60°故答案為60°.3.如圖，在 Rt ABC 中， ACB = 90則AD的長為,點D是AC上一點，以CD

33、為直徑的圓與 AB相切于點E,若CD1 .=3,【解析】連接OE, CE, AB與圓O相切于點E,: 一_ 1EC22 2 2OA2 = AE2+OE2, AED = ACE,. tan ACE = tan AED =2DC為圓O的直徑， DEC = 90°, A= A, AED ACE, 竺=坐=丄，即卩AE = 2AD,EC AE 2設(shè) AD = X ,貝U AE= 2x, CD = 3, OD = OC = 1.5 ,在Rt AEO中，根據(jù)勾股定理得:X= 0 (舍去)或X= 1,即(x+1.5) 2=( 2x) 2+1.52,整理得：X2- X= 0,即 X (X- 1)=

34、0,解得:則 AD = 1.故答案為：14.已知：如圖，直角梯形 ABCD中AD / BC, A = 90°, CD = CB = 2AD .點Q是AB邊中點，點 P在CD 邊上運動，以點 P為直角頂點作直角 MPN , MPN的兩邊分別與 AB邊、CB邊交于點M、N.(1) 若點P與點D重合，點M在線段AQ上，如圖(1).求證：近NQ-CN=*BG(2) 若點P是CD中點，點M在線段BQ上，如圖(2).線段MQ、CN、BC的數(shù)量關(guān)系是：,并 【解析】(1)如圖1 ,過點D作DE丄BC于E, AD / BC, A = 90°,四邊形 ABED 是矩形， BE= AD ,設(shè)

35、AD = X,貝V CD = CB= 2x, CD = CB= 2AD = 2x,. CE= BE = 2x- X= X,在 RtA CDE 中，根據(jù)勾股定理得，DE = U¢0 $' = Q(Zx) 2 -*2 =、電 x, MPN 是直角， MDE + EDN = 90°, 又 ADM+ MDE = 90°, DAM = EDN , Rt ADM S Rt EDN , 辿=鰻即置=AM麗=麗，7=麗， EN= 一 Wl ,x,：'：MQ - CN=：-：(丄X =127 CB= 2x,連接 中占I 八、：(2)如圖2,點P是CD PQ / AD

36、, PQ =BC,MQ - CN =_BC;4PQ,過點D作DE丄BC于E,過點P作PF丄BC于F,設(shè)AD = X,則CD= CB = 2x, 點Q是AB的中點，1同（1）可求, 點P是CD2DE =-：x,中占I 八、：(AD+CB)=一(x+2X )= x,2 PF / DE , PF =-x,CF =CE =2 又 QPM+ MPN = FPN + MPN , QPM = FPN , PQM PFN ,x,PQFPKLFN ,即 CN = CE- FN =x-二MQ,23 FN =二 MQ ,3 MQ+CN3L1X =4"IBC CB= 2x,BC,點Q是AB邊中點，. AQ

37、=B= DE = x,2 MQ = AQ- AM =2ix - AM ,2-AM)-( XAM )=X - .AM - x+J AM =故答案為:/MQ + CNBC.【解析】證明：如圖，連接 AD / CG, D = ECG ,在厶ADE和厶GCE中CD的中點，EF丄AB ,垂足為F ,求證：S梯形ABCD= AB?EF.AE交BC的延長線于 G點，連接BE,DB120°CCfXfAICl£ZD=ZGCE7.如圖：已知點 A、B、C、D順次在圓 O上，AB= BD,BM丄AC,垂足為 M .證明：AM = DC + CM .DE=ECt Zdea=Zceg ADE也厶 G

38、CE (ASA), AE= GE,可得： SaABG= S梯形 ABCD= 2SABE= AB × FE .6.如圖，在 O中，AB= AC,點D是P '上一動點(點D 不與 C、B 重合)，連接 DA、DB、DC , BAC(1) 若AC = 4,求 O的半徑；(2) 寫出DA、DB、DC之間的關(guān)系，并證明.【解析】(1)如圖1 ,連接OC, OA, BC,AB= AC, BAC = 120°, ABC = ACB = 30 ADC = ABC= 30°, AOC= 2ADC = 60°,OC = OA, AOC是等邊三角形, OA = AC=

39、 4;(2) CD + BD =：'：AD ,理由如下:延長DB到點E,使BE = DC,連接AE,如圖2 ABE = ACD , AB= AC, BE = CD , AB=AC Zabe=ZacbBE=CD ABE ACD (SAS) AE= AD, ADB = ACB = 30°, ADE = E= 30°, DAE = 120°, DE = . -AD 即：BD+CD = VpAD.B【解析】證明:C BAM = BDC ,又 AB = BD ,將厶ABM繞點B旋轉(zhuǎn)到 DBN ,使 BAM與 BDC重合，如圖, ABM DBN , AM = DN ,

40、 BM = BN , AMB = N , BM 丄AC,即 AMB = 90°, N= 90°, 在直角 BMC和直角 BNC中，："一山,IBCC BMC BNC , CM = CN , DN = CD+CN, AM = DC+CM .8. 小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.(1) 更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題如圖1 ,在 O中，C是劣弧AB的中點，直線 CD 丄AB于點E,則AE= BE .請證明此結(jié)論；(2) 從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦如圖2, PA, PB組成 O的 一條折弦.C是劣

41、弧AB的中點，直線 CD丄PA于點E,貝U AE = PE+PB.可以通過延長 DB、AP相交于 點F ,再連接AD證明結(jié)論成立.請寫出證明過程；(3) 如圖3, PA. PB組成O的一條折弦，若 C是優(yōu)弧AB的中點，直線 CD丄PA于點E,則AE, PE 與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明. C是劣弧AB的中點， CDA = CDB , DE 丄 AB, AED = DEB = 90°, A+ ADE = 90°, B+ CDB = 90°, A= B, ADB為等腰三角形， CD 丄 AB, AE= BE;(2) 如圖2 ,延長DB、AP相交于點

42、F ,再連接AD , ADBP是圓內(nèi)接四邊形， PBF = FAD , C是劣弧AB的中點， CDA = CDF , CD 丄 PA, AFD為等腰三角形， F = A, AE= EF, PBF = F, PB= PF, AE= PE+PB(3) AE = PE - PB .連接AD , BD , AB, DB、AP相交于點F,弧 AC =弧 BC, ADC = BDC, CD 丄 AP, DEA = DEF , ADE = FDE , DE = DE , DAE DFE , AD = DF , AE = EF , DAF = DFA , DFA= PFB , PBD = DAP , PFB

43、= PBF , PF= PB , AE= PE- PB.9. 閱讀與思考：阿基米德（公元前 287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學家、百科式科學家、數(shù)學家、物理學家、 力學家，靜態(tài)力學和流體靜力學的奠基人，阿基米德流傳于世的著作有10余種，多為希臘文手稿下面是阿基米德全集中記載的一個命題：AB是 O的弦，點C在 O上，且CD丄AB于點D ,在弦AB上取點E ,使AD = DE,點F是上的一點，且 丨= I ,連接BF可得BF = BE.(1) 將上述問題中弦 AB改為直徑AB,如圖1所示，試證明BF = BE;(2) 如圖2所示，若直徑AB= 10，Eo =丄OB，作直線I與 O相切于點

44、F.過點B作BP I于點P.求BP的長.【解析】(1)如圖1所示，連接CE、BC, CD 丄 AB, AD = DE , AC= CE, CAE = CEA,又 T ', CA= CF , FBC = EBC, CE= CF,又 A+ F= 180°, CEA+ CEB = 180 ° , CEB= F, CEB CFB (AAS), BE= BF ;(2)如圖2所示，連接AF ,T AB= 10, EO=二-=,. EB = 7.5, AB 為 O 的直徑， AFB = 90°, I與與 O相切于點F, OFP = 90°, AFO = BFP

45、 ,又 OF = OA, OAF = OFA, OAF = BFP , BP I 于點 P, BPF = 90° ,BF=BA',BP 7.5BP=f10. 閱讀下面的材料：如圖(1),在以AB為直徑的半圓 O內(nèi)有一點P , AP、BP的延長線分別交半圓 O于點C、D . 求證：AP?AC+BP?BD = AB2.證明：連接 AD、BC ,過 P 作 PM 丄 AB ,則 ADB = AMP = 90° ,點D、M在以AP為直徑的圓上；同理： M、C在以BP為直徑的圓上.由割線定理得： AP?AC = AM?AB , BP?BD = BM?BA ,2所以，AP?AC

46、+BP?BD = AM?AB+BM?AB= AB?( AM + BM )= AB2. 當點P在半圓周上時，也有 AP?AC+BP?BD = AP2+BP2= AB2成立，那么：(1) 如圖(2)當點P在半圓周外時，結(jié)論 AP?AC+BP?BD = AB2是否成立？為什么?(2) 如圖(3)當點P在切線BE外側(cè)時，你能得到什么結(jié)論？將你得到的結(jié)論寫出來. (2)【解析】(1)成立.證明：如圖(2), PCM = PDM = 90°,點C、D在以PM為直徑的圓上，. AC?AP= AM?AD , BD?BP= BM?BC, AC?AP+ BD ?BP = AM?MD+BM ?BC;2 AM?MD + BM?BC = AB2, AP?