解析幾何常用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、“解析幾何” 一網(wǎng)打盡（一）直線1. /直線的傾斜角a e O,乃） k = tan。=>a豐土,占H x J-v2 - x 2）2.直線的方程（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)-y="（xM）（直線/過點(diǎn)（和凹），且斜率為&）.（2）斜截式,' = 五 + "（b為直線/在y軸上的截距）.（3） 一般式Ax + 8.v + C = °（其中A、B不同時(shí)為0）.特別的：（1）已知直線縱截距”，常設(shè)其方程為）'=依一"或不=°：已知直線橫截距升,常設(shè)其方程為 "=my + % （直線斜率k存在時(shí)，巾為k的倒數(shù)）或）'=

2、°.知直線過點(diǎn)J。，%）,常設(shè)其方程為¥ = "（X一/）+為 或x =玉）（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等0直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn)：直線兩截距互為相反數(shù)0直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)：直線兩截距絕對(duì)值相等 0直線的斜率為±1或直線過原點(diǎn).（3）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條 直線可以理解為它們不重合.3、幾個(gè)距離公式（1）兩點(diǎn)間距離公式：，融（再,y ）點(diǎn)8（勺,%）|看尸+ （V - 小尸P（x0,右）到直線Av + By + C = 0的距離為4 =:&#

3、39;"Cl4屋十斤特別地，當(dāng)直線L:1二不時(shí)，點(diǎn)PG%,）%）到L的距居d =卜一/卜當(dāng)直線L:），= %時(shí)，點(diǎn)P（Xo，%）到L的距離3 3）.兩平行線間的距離公式：設(shè)乙：Ax + 8.v + G =0/ ： Ar + By + C, =0,貝華三皇Ja +b24 .兩直線的位置關(guān)系：/1_1/2。"2=一1（勺、“2都存在時(shí)）=442+4層=0：W&O孵加22都存在時(shí)）0健；麴;重合5 ,三角形的重心坐標(biāo)公式：ZXABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A （%,%）、B（x2,y2）, C&3, 丫3）,則AABC的重心的坐標(biāo)是(二)圓1 .圓的三種方程(1)圓的

4、標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圓的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 -4F >0).（3）圓的直徑式方程（工一凡）（工一工2）+ （、-）；）（丁一月）= 0（圓的直徑的端點(diǎn)是4內(nèi),凹）、B（x2,y2）注意：（1） .圓心必在弦的中垂線上；兩圓相切，兩圓心連線必過切點(diǎn)：輔助線一般連圓心與切點(diǎn)或者連圓心與弦中 點(diǎn)O（2） .處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：（1）求圓心到直線的距離與圓的半徑比較：（2）直線方程與圓的 方程聯(lián)立，看判別式。2 .點(diǎn)P（x°, %）和圓（x-ay+ （y_b）2 =產(chǎn)的位置關(guān)系：（1）

5、當(dāng)（與一。）2+（丁0-。）2>/時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)（與-。尸+廠廳=/時(shí)，點(diǎn)p在圓上;當(dāng)（與一。產(chǎn)+ （ N。一份2 < /時(shí)，點(diǎn)P在圓內(nèi).3.直線和圓的位置關(guān)系：直線與圓相交OA>0 直線與圓相切OAR 直線與圓相離U>zX<0<=>d<r(d為圓心到直線的距離)<=> d=r<=> d>r.4,圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓q的半徑為弓，圓。2的半徑為，兩圓的圓心距為d.當(dāng)時(shí)，兩圓相離：當(dāng)4 = 4+與時(shí)，兩圓外切：當(dāng)卜一百<4+“時(shí)，兩圓相交；當(dāng)作一石向時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)4+Gd時(shí)，兩圓外離;當(dāng)心一T>d時(shí)，

6、兩圓內(nèi)含。注意：（1）若兩圓相交時(shí)，把兩圓的方程作差消去一和）,2就得到兩圓的公共弦所在直線的方程。（2）圓的弦長(zhǎng)公式/ = J/一人 «為圓心到直線的距離，I為圓的半徑）（3）求圓外一點(diǎn)P到圓0上任一點(diǎn)距離的最小值為|PO|-r,最大值為|PO| + r （其中r為圓的半徑）（三）圓錐曲線1、橢圓：（1）定義：平而內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)不，尸2的距離之和等于常數(shù)（大于耳El）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓.這兩個(gè)定 點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距.（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程72al + h2圖形性質(zhì)范圍一“WxW。-bWyWb-bWxWb一對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂

7、點(diǎn)Al( -4, 0),42(“，0)31(0, -b)9 &(0, b)Ai(0» a), A2(0, ci)0), &(，0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2”：短軸8由2的長(zhǎng)為2b焦距IFiF2I=2c離心率e='(0, 1)a, bf C的關(guān)系c2=a2b2注意：（1）橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長(zhǎng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大值和最小值，且最大距離為G + C,最小距離為（2）過焦點(diǎn)弦的所有弦長(zhǎng)中，垂直于長(zhǎng)軸的弦是最短的弦，而且它的長(zhǎng)為義二.把這個(gè)弦叫橢圓的通經(jīng).a（3）求橢圓離心率e時(shí)，只要求出a.b,c的一個(gè)齊次方程，在結(jié)合 2=1/就可求出e.2

8、、雙曲線（1） .雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)尸I,22的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于I5El）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距.注：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線.（2） .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0, b>0)J J “2 b(">0, b>0)圖形、 yy<范圍x2或xW”，yERxWR,)忘一a 或 y2a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸：對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)4(-4, 0),八2(4，0)Ai(0» a), A2(0，“)漸近線,h產(chǎn)土孑y=±bx離心率ce=7 e

9、£(l, +0°)實(shí)虛軸線段4A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)小421 =方：線段當(dāng)歷叫做雙曲線 的虛軸，它的長(zhǎng)1811=2回a叫做雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的 半虛軸長(zhǎng)4, ，C的關(guān)系c2=a2-b2(c>a>0. c>h>0)注意：(1)直線和雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，不一定相切，例如，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交 于一點(diǎn)，但不是相切：反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn).(2)已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的”廣為"0”就得到兩漸近線2222方程，即二-二=0就是雙曲線土

10、-二=1的兩條漸近線方程. a- b-a b-(3)若利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，在設(shè)直線斜率時(shí)要注意說明斜率不純?cè)诘那闆r.3、拋物線(1)拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)廠和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.定點(diǎn)廠稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線/稱為拋物線的準(zhǔn)線.(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)：圖形-卜:r標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0),2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py0»0)的幾何意義：焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線，的距離性質(zhì)頂點(diǎn)0(0, 0)對(duì)稱軸>=0A=0焦點(diǎn)夠°)(4 o)2*T)離心率e= 1準(zhǔn)線方程x=；-2x=p x 2Ty-i

11、范惘GO, yGRJxWO, y£Ry2O, xGRyWO, xGR開口方向向右向左向上向下注意：（1）過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于A、B兩點(diǎn)的線段AB,稱為拋物線的“通徑”，即|AB| = 2p （2）焦半徑公式：若點(diǎn)PL在拋物線J=2px（p>0）上，焦點(diǎn)為F,則"卜"° 十 ：若點(diǎn)P（R，%）在拋物線丁=-2/"（>°）上，焦點(diǎn)為尸，貝產(chǎn)1 % + ：若點(diǎn)Pl，%）在拋物線*=2py（p>0）上，焦點(diǎn)為尸，則環(huán)1）° + 5：若點(diǎn)p（%，%）在拋物線W=-2*（P>O）上，焦點(diǎn)為F ,則即一一九十 .（3）焦點(diǎn)弦問題：設(shè)AB是過拋物線）12 = 2Px焦點(diǎn)的弦.A（X1