小學(xué)數(shù)學(xué)六年級知識點(diǎn)：數(shù)論綜合(含答案)

1、小學(xué)欲學(xué)九用恐扣但支；鼎卷保合基本公式1 .已知b|c, a c,則a, b c,特別地，若(a, b)=l,則有ab|c。2 .已知c |ab, (b, c)=l,則c|a。3 .唯一分解定理：任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p產(chǎn) X p/ x. Xpa (#)其中p<p<.<6為質(zhì)數(shù)，%居2,.&為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。該式稱為n的質(zhì)因子分解式。4 .約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如(#) 那么n的約數(shù)個數(shù)為d(n) = (a+l)(郎+1).(a+1)所有約數(shù)和：(l+Pi+Pj +p* ) (l+Pa+P/+ p/)(1

2、+Pk+P/ + pL )5 .用a, b表示a和b的最小公倍數(shù)，(a, b)表示Mb的最大公約數(shù)，那么有ab=a, b X (a, b)。6 .自然數(shù)是否能被3, 4, 25, 8, 125, 5, 7,9, 11, 13等數(shù)整除的判別方法。7 .平方數(shù)的總結(jié)：平方差：A2-B2= (A+B) (A-B),其中我們還得注意A+B, A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。約數(shù)個數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分答案：把數(shù)字分答案，使他滿足積是平方數(shù)。立方和：A9+B9=(A+B) (A-AB+Ba).8 .十進(jìn)制自然數(shù)表示法，十進(jìn)制和二進(jìn)制，八進(jìn)制，五進(jìn)制等的相互轉(zhuǎn)化。9 .周期性

3、數(shù)字：abab=abX101例1：將4個不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個不同的四位數(shù)(4X3X2X1=24) (>將這24 個四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個是 不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在3000-4000之間。請求出 這24個四位數(shù)中最大的一個。答案：不妨設(shè)這4個數(shù)字分別是a>b>c>d那么從小到大的第5個就是dacb,它是5的倍數(shù)，因此b=0或5,注意到b>c>d,所以b=5;從大到小排列的第2個是abdc,它是不能被4整除的偶數(shù)；所以c是偶數(shù)，cVb=5, c=4或2 從小到

4、大的第二十個是adbc,第五個是dacb,它們的差在3000To00之間，所以a=d+4； 因?yàn)閍>b,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的末2位是 24,它是4的倍數(shù)，和條件矛盾。因此d=3,從而a=d+4=3+4=7。這24個四位數(shù)中最大的一個顯然是abed,我們求得了a=7, b=5, c=4, d=3所以這24個四位數(shù)中最大的一個是7543。例2： 一個5位數(shù)，它的各個位數(shù)字和為43,且能被11整除，求所有滿足條件的5位數(shù)？答案：現(xiàn)在我們有兩個入手的選擇，可以選擇數(shù)字和，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被 11整除性質(zhì)的運(yùn)用要具體的數(shù)字，

5、而現(xiàn)在沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手。5位數(shù)數(shù)字和最大的為9X5=45,這樣43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, 8。 這樣我們接著用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有99979, 97999, 98989符合條件。例3：由1, 3, 4, 5, 7, 8這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多少？ 答案：各位數(shù)字和為1+3+4+5+7+8=28。所以偶數(shù)位和奇數(shù)位上數(shù)字和均為14為了使得該數(shù)最大，首位必須是8,第2位是7, 14-8=6 那么第3位一定是5,第5位為1,該數(shù)最大為875413。例4：從一張長2002毫米，寬847亳米的長方形紙片上，

6、剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形。按 照上面的過程不斷的重復(fù)，最后剪得的正方形的邊長是多少亳米？答案：邊長是2002和847的最大公約數(shù)，可用輾轉(zhuǎn)相除法求得(2002, 847) =77所以最后剪得的正方形的邊長是77亳米。輾轉(zhuǎn)相除示例：2002-847=2-308求2個數(shù)的最大公約數(shù)，就用大數(shù)除以小數(shù)847-308=2-231用上一個式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止308-r 231=1-77用上一個式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止231 77=3最后一個除盡的式子的除數(shù)就是兩個數(shù)的最大公約數(shù)例5： 一根木棍長100

7、米，現(xiàn)從左往右每6米畫一根標(biāo)記線，從右往左每5米作一根標(biāo)記線， 請問所有的標(biāo)記線中有多少根距離相差4米？答案：100能被5整除，所以每5米作標(biāo)記線從左往右還是從右往左都是一樣的。這樣我們都 以從左往右作，可見轉(zhuǎn)化成討論5, 6的最小公倍數(shù)中的情況，畫圖可得有2根距離為4米， 所以30, 60, 90里各有2條，但發(fā)現(xiàn)最后96和100也是距離4米，所以總共2X3+1=7。例6：某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1, 2, ./2.他們的電話號碼依次是12 個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號碼 的首位數(shù)字都小于6,并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能

8、被13整除，問：這一家的 電話號碼是什么數(shù)？答案：設(shè)第一戶電話號是x+1,第二戶x+2，.第12戶電話號x+12根據(jù)條件得x+i是i的倍數(shù)(i=l,2，,12)因此x是1, 2, .12的公倍數(shù)1,2,.12=27720所以 x=27720m27720m+9是13的倍數(shù)，27720除以13余數(shù)為4所以 4m+9 是 13 的倍數(shù) m=l,14,27.第一家電話號碼是27720m+l m取14合適：因此第一家電話號碼是27720*14+1=3880811 . 一個六位數(shù)23口56口是88的倍數(shù),這個數(shù)除以88所得的商是或.答案：一個數(shù)如果是88的倍數(shù),這個數(shù)必然既是8的倍數(shù),又是11的倍數(shù).根據(jù)

9、8的倍數(shù)，它 的末三位數(shù)肯定也是8的倍數(shù),從而可知這個六位數(shù)個位上的數(shù)是0或&而11的倍數(shù)奇偶 位上數(shù)字和的差應(yīng)是0或11的倍數(shù),從已知的四個數(shù)看,這個六位數(shù)奇偶位上數(shù)字的和是相 等的,要使奇偶位上數(shù)字和差為0,兩個方框內(nèi)填入的數(shù)字是相同的,因此這個六位數(shù)有兩種 可能23日6住23 8回8又 230560+ 88=2620238568-r88=2711所以,本題的答案是2620或2711.2 .下面一個1983位數(shù)33-3口447中間漏寫了一個數(shù)字（方框）,已知這991個 991個個多位數(shù)被7整除，那么中間方框內(nèi)的數(shù)字是.答案：333口44 4991個 991個=33 - 3x 109

10、M+3D4x 10Mo+44 4990 個j%90 個因?yàn)?11111能被7整除，所以33-3和44-4都能被7整除,所以只要嬴冰 冒7個3口4能被7整除，原數(shù)即可被7整除.故得中間方框內(nèi)的數(shù)字是6.3 .只修改21475的某一位數(shù)字,就可知使修改后的數(shù)能被225整除,怎樣修改？ 答案：因?yàn)?25=25x 9,要使修改后的數(shù)能被25整除,就要既能被25整除，又能被9整除,被25 整除不成問題,末兩位數(shù)75不必修改，只要看前三個數(shù)字即可,根據(jù)某數(shù)的各位數(shù)字之和是9 的倍數(shù)，則這個數(shù)能被9整除的特征，因?yàn)?+1+4+7+5=19, 19=18+1, 19=27-8,所以不難排出以 下四種改法:把1

11、改為0：把4改為3；把1改為9；把2改為1.4 . 2, 3, 5, 7, 1L都是質(zhì)數(shù)，也就是說每個數(shù)只以1和它本身為約數(shù).已知一個長方形 的長和寬都是質(zhì)數(shù)個單位,并且周長是36個單位.問這個長方形的而積至多是多少個平方單 位？答案：由于長+寬是364-2=18將18表示為兩個質(zhì)數(shù)和18=5+13=7+11所以長方形的面積是5x13=65或7x11=77故長方形的面積至多是77平方單位.5 .把7、14、20、21、28、30分成兩組，每三個數(shù)相乘，使兩組數(shù)的乘積相等. 答案：先把14, 20, 21, 28, 30分解質(zhì)因數(shù),看這六個數(shù)中共有哪幾個質(zhì)因數(shù),再分?jǐn)傇趦山M中， 使兩組數(shù)乘積相等

12、.14=7x220=2x2x521=3x728=2x2x730=2x3x57從上而五個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)來看,連7在內(nèi)共有質(zhì)因數(shù)四個7,六個2,二個3,二個5,因此 每組數(shù)中一定要含三個2, 一個3, 一個5,二個7.六個數(shù)可分成如下兩組(分法是唯一的)：第一組：7、28、和30第二組：14、21和20且 7x28x30=14x21x20=5880 滿足要求.B6 .有這樣的兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和能被4整除,而且比這個兩位數(shù)大1的數(shù),它的兩個數(shù) 字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數(shù)的和是.答案：符合條件的兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和能被4整除,而且比這個兩位數(shù)大1的數(shù),如果十位 數(shù)不變,則個位增加1,其和

13、便不能整除4,因此個位數(shù)一定是9,這種兩位數(shù)有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.7 .學(xué)生1430人參加團(tuán)體操,分成人數(shù)相等的若干隊(duì),每隊(duì)人數(shù)在100至200之間，問哪幾種分 法？答案：把1430分解質(zhì)因數(shù)得1430=2x5x11x13根據(jù)題目的要求，應(yīng)在2、5、11及13中選用若干個數(shù)，使它們的乘積在100到200之 間，于是得三種答案：(1) 2x5x11=110；(2) 2x5x13=130；(3) 11x13=143.所以，有三種分法:一種是分為13隊(duì)，每隊(duì)110人；二是分為11隊(duì)，每隊(duì)130人：三是 分為10隊(duì)，每隊(duì)143人.8.四只同樣的瓶子內(nèi)分別裝有一定數(shù)量的油，

14、每瓶和其他各瓶分別合稱一次,記錄千克數(shù)如 下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質(zhì)數(shù)，求最重的 兩瓶內(nèi)有多少油？答案：于每只瓶都稱了三次，因此記錄數(shù)之和是4瓶油(連瓶)重量之和的3倍,即4瓶油(加瓶) 共重(8+9+10+11+12+13) +3 =21(千克)而油重之和及瓶重之和均為質(zhì)數(shù)，所以它們必為一奇一偶,而質(zhì)數(shù)中是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)只有 2,故有(1)油重之和為19千克,瓶重之和為2千克,每只瓶重上千克，2最重的兩瓶內(nèi)的油為13-L x2=12（千克）.2（2）油重之和為2千克,瓶重之和為19千克，每只瓶重一千克,最重的兩瓶內(nèi)的油為13-4197X2二一

15、（千克），這與油重之和為2千克矛盾,不合要求,刪去.429. 一個小于200的自然數(shù)，它的每位數(shù)字都是奇數(shù),并且它是兩個兩位數(shù)的乘積,那么這個自 然數(shù)是.答案：因?yàn)檫@個數(shù)可以分解為兩個兩位數(shù)的積，而且15X 15=225>200,所以其中至少有1個因 數(shù)小于15,而且這些因數(shù)均需是奇數(shù)，但11不可能符合條件,因?yàn)閷τ谛∮?00的自然數(shù)凡 11的倍數(shù),具有隔位數(shù)字之和相等的特點(diǎn),個位百位若是奇數(shù),十位必是偶數(shù).所以只需檢查 13的倍數(shù)中小于200的三位數(shù)13x 13=169不合要求,13x 15=195適合要求.所以，答案應(yīng)是 195.10. 試問，能否將由1至100這100個自然數(shù)排列在

16、圓周上，使得在任何5個相連的數(shù)中，都 至少有兩個數(shù)可被3整除？如果回答：“可以”，則只要舉出一種排法：如果回答：“不能”, 則需給出說明.答案：假設(shè)能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數(shù),我們來按所排列順序?qū)⑺鼈兠? 個分為一組,可得20組，其中每兩組都沒有共同的數(shù),于是,在每一組的5個數(shù)中都至少有兩 個數(shù)是3的倍數(shù).從而一共有不少于40個數(shù)是3的倍數(shù).但事實(shí)上,在1至100的自然數(shù)中 有33個數(shù)是3的倍數(shù)，導(dǎo)致矛盾.C11. 一個學(xué)校參加興趣活動的學(xué)生不到100人，其中男同學(xué)人數(shù)超過總數(shù)的4/7 ,女同學(xué)的 人數(shù)超過總數(shù)的2/5 o問男女生各多少人？答案：男生超過總數(shù)的4/7就是說女生

17、少個總數(shù)的3/7,這樣女生的范圍在2/53/7之間， 同理可得男生在4/73/5之間，這樣把分?jǐn)?shù)擴(kuò)大,我們可得女生人數(shù)在28/7030/70之間， 所以只能是29人，這樣男生為41人。12. 2005X684X375X 口最后4位都是0,請問口里最小是幾？答案：先分析1X2X3X4XX10的積的末尾共有多少個0。由于分解出2的個數(shù)比5多，這樣 我們可以得出就看所有數(shù)字中能分解出多少個5這個質(zhì)因數(shù)。而能分解出5的一定是5的倍數(shù)。 注意：5的倍數(shù)能分解一個5, 25的倍數(shù)分解出2個5, 125的倍數(shù)能分解出3個5最終轉(zhuǎn)化 成計(jì)數(shù)問題，如5的倍數(shù)有10/5:2個。2005=5 X 401684=2

18、X2X171375=3X5X5X5前三個數(shù)里有2個質(zhì)因子2, 4個質(zhì)因子5,要使得乘積的最后4位都是0 應(yīng)該有4個質(zhì)因子2和4個質(zhì)因子5,還差2個質(zhì)因子。因此口里最小是4。13.03年101中學(xué)招生人數(shù)是一個平方數(shù)，04年由于信息發(fā)布及時，04年的招生人數(shù)比03 年多了 101人，也是一個平方數(shù)，問04年的招生人數(shù)？答案：看見兩個平方數(shù)，發(fā)現(xiàn)跟平方差相關(guān)，這樣我們大膽的設(shè)03年的為A?, 04年的為B2,從中我們發(fā)現(xiàn)04年的比03年多101人，這樣我們可以列式子B?- A2 noi此后思路要很順，因?yàn)榭匆娖椒讲钪挥幸环N方法那就是按公式展開，所以- A?=（A+B）（A-B）=101,可見右邊的

19、數(shù)也要分成2個數(shù)的積，還得考慮同奇偶性，但101是個質(zhì)數(shù)，所以101只能分成101X1,這樣A+B=101, A-B=l,所以A=50, B=51,所 以04年的招生人數(shù)為51X51=2601o14.1、2、3、42008這2008個數(shù)的最小公倍數(shù)等與多少個2與一個奇數(shù)的積？答案：最小公倍數(shù)就是分解質(zhì)因數(shù)中共有的最多因數(shù)，這樣我們發(fā)現(xiàn)除2以外都是奇數(shù)質(zhì)因 數(shù)，可見我們只要找需要多少個2,所以只要看12008中2。誰最大，可見291024,所以 為10個2。15.有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號。1號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號說: “這個數(shù)能被2整除”，3號說“這個數(shù)能被3整除”

20、，依次下去，每位同學(xué)都說，這 個數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗(yàn)證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同 學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴 你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程）答案：（1）首先可以斷定編號是2, 3, 4, 5, 6, 7號的同學(xué)說的一定都對。不然，其中說 的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學(xué)說的不 對”不符合。因此，這個數(shù)能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除。其次利用整除性質(zhì)可知，這個數(shù)也能被2X5, 3X4, 2X7都整除，即編號為10, 12, 14的同

21、學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。（2）這個數(shù)是2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15的公倍數(shù)由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是60060因?yàn)?0060是一個五位數(shù)，而十二個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號同學(xué)寫的數(shù)就 是 60060oL有一個四位數(shù)滿足下列條件：它的各位數(shù)字都是奇數(shù)：它的各位數(shù)字互不相同：它的每 個數(shù)字都能整除它本身。答案：62 .如果在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間添寫一個零，那么所得的三位數(shù)是原來的數(shù)的9倍，問 這個兩位數(shù)是O答案：設(shè)原來數(shù)為ab,這樣后來的數(shù)為aOb,把數(shù)字展開我們可得：100a+b=9X（10a+b

22、）,所 以我們可以知道5a=4b,所以a=4, b=5,所以原來的兩位數(shù)為45。c 1202505131313133 . +-o21 2121 212121 21212121125 13答案：周期性數(shù)字，每個數(shù)約分后為+二+上二121 21 21 214 .甲、乙、丙代表互不相同的3個正整數(shù)，并且滿足：甲X甲二乙+乙二丙X 135.那么甲最小 是O答案：題中要求丙與135的乘積為甲的平方數(shù)，而且是個偶數(shù)（乙+乙），這樣我們分解135二5 X3X3X3,所以丙最小應(yīng)該是2X2X5X3,所以甲最小是：2X3X3X5=90。5 .下列數(shù)不是八進(jìn)制數(shù)的是（）A、 125 B、 126 C、 127 D

23、、 128答案：八進(jìn)制數(shù)是由除以8的余數(shù)得來的，不可能出現(xiàn)8,所以答案是及1 .在1100這100個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？答案:1+2+100=50509+18+27+-99=9 X （1+2+11）=495隨意1-100中所有不能被9整除的數(shù)的和是5050-495=45552 .某班學(xué)生不超過60人，在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，分?jǐn)?shù)不低于90分的人數(shù)占工，得80897分的人數(shù)占得7079分得人數(shù)占！，那么得70分以下的有人。23答案：有!、!、!，說明總?cè)藬?shù)一定為7的倍數(shù)、2的倍數(shù)、3的倍數(shù)，故為7、2、3 72 3=42的倍數(shù)：又由于人數(shù)不超過60人，故這班的人數(shù)只能為42人。從而70分以下的有：42x(1 = 1人。<7 2 3；3 .自然數(shù)N是一個兩位數(shù)，它是一個質(zhì)數(shù)，而且N的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣 的自然數(shù)有 個。答案：枚舉法：23, 37, 53, 73,有4個4 .三個自然數(shù)，其中每一個數(shù)都不能被另外兩個數(shù)整除，而其中任意兩個數(shù)的乘積卻能被第 三個數(shù)整除，那么這樣的三個自然數(shù)的和的最小值是多少？答案：這三個自然數(shù)最小是6, 10, 15 (分別是2X3, 2X5, 3X5)和的最小值為31。5 .五個連續(xù)偶數(shù)之和是完全平方數(shù)，中間三個偶數(shù)之和是立方數(shù)(即一個整數(shù)的三次方)， 這樣一組數(shù)中的最大數(shù)的最小值是