考研高數(shù)講義新高等數(shù)學(xué)下冊(cè)輔導(dǎo)講義——第十二章上課資料

1、第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散給定一個(gè)數(shù)列1，2，3廣,，”,將各項(xiàng)依次相加，00簡(jiǎn)記為n=l即+ 2 + 3 稱(chēng)該式為無(wú)窮n=l級(jí)數(shù)，其中第項(xiàng)勺叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng).級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和S = Z以=1+2+3 + 稱(chēng) k=l為級(jí)數(shù)的部分和。若limS=S存在，則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，并稱(chēng)S為>00級(jí)數(shù)的和，記作S=2>；若limS不存在，則 n=l->8稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散?！纠?】（93三）級(jí)數(shù)七吧n=l 2的和為【答案】In 32 ln3結(jié)論：等比（幾何）級(jí)數(shù)君W當(dāng)141Vl時(shí)收斂 當(dāng)時(shí)發(fā)散 二、收斂級(jí)數(shù)的和00若收斂，則其和定義為n=l00S = &

2、#163;un = lim £"k = Hm S。n=lw->0%=ins三、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)00(1)若級(jí)數(shù)收斂于S,即則各項(xiàng)n=ln=l乘以常數(shù)C所得級(jí)數(shù)£。冊(cè)也收斂，其和為蟾。 n=l注：級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變(2)設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)S=W即，久，則 n=ln=l級(jí)數(shù)會(huì)土%)也收斂，其和為S±6 n=l注：該性質(zhì)表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或相減【例】取4=(-1產(chǎn),%二（-1嚴(yán)+1,而+6=0。盛癖前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)（4）收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí) 數(shù)的和。推論：若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必發(fā)散。 注：收

3、斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂?！纠?1 1) + (1 1) + =0 9 但 1 1+ 1 1 +發(fā) 散?！纠?】判斷級(jí)數(shù)的斂散性：1 1 1 1、/2 1 2 + 1 、3 1 % 3 + 1I、級(jí)數(shù)收斂的必要條件必要條件：若收斂, n=l貝=0o00逆否命題：若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0，則級(jí)數(shù)必 發(fā)散。 mr 12 3 4-i、i n例h- -H h (-1)7 +17 2 3 4 5n + 1注：lim"=O并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件oo【例】調(diào)和級(jí)數(shù)自1=1H111F 2 3 n【例3】判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂求其和:00（1） 2 In 1 +n=l 【答案】（1）發(fā)

4、散：（2）發(fā)放(2) £n=ln 1-cos v n五、兩個(gè)重要級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)與。級(jí)數(shù)的斂散性00（1）幾何級(jí)數(shù)：、>，當(dāng)i，i<i時(shí)收斂；當(dāng)n=l時(shí)發(fā)散.Q0 1 （ 001、（2）p級(jí)數(shù)（或?qū)?shù)p級(jí)數(shù)）：y-A-,npnnpn）當(dāng)p>l時(shí)收斂，當(dāng)p<l時(shí)發(fā)散。第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法-V正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法00正項(xiàng)級(jí)數(shù)：若>0,則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。n=l00收斂定理1:正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂等價(jià)于部分和序n=l列§ ( = 1,2,)有界。收斂定理2 ：（比較審斂法）設(shè)是兩個(gè)n=l n=l正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在NeZ+,對(duì)一切N,有un<kvn （常數(shù)左&

5、gt;0）,則有(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)Z七收斂，則弱級(jí)數(shù)Z也收斂; n=ln=l(2)若弱級(jí)數(shù)三發(fā)散，則強(qiáng)級(jí)數(shù)外也發(fā)散。 n=ln=l調(diào)和級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù)。【例1】判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性00(1)2 In=l 15J不n(a > 0, w 1)【答案】 收斂;(2)當(dāng)Ovavl時(shí),發(fā)散；當(dāng)。1時(shí),收斂;00（3） 2 贏 n=l/【答案】（3）收斂;（4）發(fā)散:00IZ-n=l7n +n + l00(5) £1n=l【答案】(5)收斂n 1 +【例2】(97-)設(shè) i = 2,an+l =+ )( =1，,), 200 "證明：(I )lim%存在；(II)級(jí)數(shù)

6、£('-1)收斂.w->00an=l un+l【解析】(1)用單調(diào)有界必收斂證明；(2)用比較審斂法證明收斂定理3 ：（比較審斂法的極限形式）設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)n=l外,滿(mǎn)足limk=1,則有:（1 ）當(dāng) 0 V/ V8 時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;n=l一8 Vn0000（2）當(dāng)1 = 0時(shí)，且2%收斂時(shí)，2X也收斂;n=ln=l（3）當(dāng)/ = 8時(shí)，且Z七發(fā)散時(shí), n=l00Z 也發(fā)散。n=l【例3】判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,n1 Q 瑞 加5+巧+有+.+1).(2)玄7 (其中常數(shù)P>0)n=2 (lnn)p【答案】(1)收斂；(2)發(fā)散00【例4】(04)設(shè)

7、63;明為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中n=l正確的是oo(A)若lim* =0,則級(jí)數(shù)收斂.(B)若存在非零常數(shù)人使得lim6=九則級(jí)數(shù)800£狐發(fā)散n=loo(O若級(jí)數(shù)S>收斂，貝IJlim2%=0.71=1(D)若級(jí)數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)；I,使得n=limnan =九n>oo【答案】（B）收斂定理4：(比值審斂法)設(shè)Z"為正項(xiàng)級(jí)數(shù), n=l且limU = m則有：n>oo(1)當(dāng)?<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)夕1或夕=8時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。(3)當(dāng)/=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.【例】P-級(jí)數(shù)n=inp【例5】判斷級(jí)數(shù)的斂散性裁00n(2) £ n

8、=110【答案】(1)收斂；(2)發(fā)散n=l+100 收斂，若名冊(cè)收斂，則En=l%包1,則七人發(fā)散.n=l若lim a【例6】(04 H)設(shè)有下列命題：0000若£(2吁1 + 2“)收斂，則E"收斂n=ln=l000000若Z (Hn + %)收斂，則2X , 2X都收斂. n=ln=ln=l則以上命題中正確的是巡【例7】(88三)討論級(jí)數(shù)七”產(chǎn)的斂散性. n=l n【答案】收斂.收斂定理5:(根值審斂法)設(shè)9即為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 n=lhmlun=p,則有：(1)當(dāng)夕1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)夕1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)夕=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。001【例】P-級(jí)數(shù)n

9、=inp【例8】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【答案】收斂:（2）發(fā)散(2) L n=l321(2 - l)22n二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法設(shè)un >0,n = l,2< «,則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)1 -2 + 3卜(-1)" 4” 稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。收斂定理6 ：(萊布尼茨判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足 條件：(1) un > un+1 5 = 1,2,)；(2) limun =0,oo則級(jí)數(shù)去-1)1%收斂=【例9用萊布尼茨判別法判別級(jí)數(shù)的斂散性：L (-1 尸n=2【解析與答案】單調(diào)性，極限inn【例(95)設(shè)% =(-1門(mén)n 1+,則級(jí)數(shù)0000(A) Z即與Z都收斂. n=

10、l n=l(B)表與5小都發(fā)散.n=l n=l008(O z/收斂而發(fā)散.n=ln=l(D)表發(fā)散而名力收斂=1=三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義：對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)七，若自收斂，則稱(chēng)原 n=ln=l級(jí)數(shù)七即絕對(duì)收斂；若原級(jí)數(shù)收斂，但取絕對(duì)值 n=l以后的級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)9條件收斂。n=l00工 1【例】z（-1尸1條件收斂；23為絕對(duì)收斂。n=ln=i 定理7絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂?！纠?1】判斷級(jí)數(shù)的斂散性。七（T），q七（-1）13n=l Cn=l7 n(3) Z(-1 尸n=l(4) n=l n【答案】(1)絕對(duì)收斂：(2)條件收斂；(3)絕對(duì)收斂；(4)絕對(duì)收斂【例12(87-)設(shè)常數(shù)左 0

11、,則級(jí)數(shù)L (-1)n=l(A)發(fā)散.(B)絕對(duì)收斂.(O條件收斂.(D)收斂或者發(fā)散與人的取值有關(guān).【答案】(C)【13（90）設(shè)a為常數(shù)，則級(jí)數(shù)官 嗎。一1 n=i_ nL 7n（A）絕對(duì)收斂.（B）條件收斂.（O發(fā)散.（D）收斂性與a的取值無(wú)關(guān).【答案】（C）【例 14（92）級(jí)數(shù)，-cos。）（常數(shù) a>0） n=l（A）發(fā)散.（B）條件收斂.（O絕對(duì)收斂.（D）收斂性與a有關(guān).【答案】（C）00-【例15(94-)設(shè)常數(shù)丸0,且級(jí)數(shù)收斂,n=l則級(jí)數(shù)Z (-1) ：kn=i a/ n +4(A)發(fā)散.(B)條件收斂.(O絕對(duì)收斂.(D)收斂性與;I有關(guān).【答案】(C)【例16(

12、96-)設(shè)% >0( = 1,2,)且2冊(cè)收斂, n=l常數(shù)丸e (0百，則級(jí)數(shù)£ (-l)n(ntan2n2n=in(A)絕對(duì)收斂.(B)條件收斂.(O發(fā)散.(D)斂散性與;I有關(guān).【答案】(A)【例17】(96三)下述各選項(xiàng)正確的是(A)若三說(shuō)和七琮都收斂，貝槎(即+%尸收斂.n=ln=l n=l(B)若收斂，則2%與2以收斂. n=ln=l n=l(O若正項(xiàng)級(jí)數(shù)z發(fā)散, n=l(D)若級(jí)數(shù)三"收斂，且即之%( = 1,2,)，則 n=l級(jí)數(shù)升也收斂.n=l【答案】(A)第三節(jié)幕級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)即(%)( = 1,2,)為定義在區(qū)間/上的函數(shù),則稱(chēng)()

13、= "1(%) + 2(%)+ + (%) + ,n-為定義在區(qū)間/上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。對(duì)/£/,若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表(%。)收斂，稱(chēng)與為其 n=l收斂點(diǎn)，所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為其收斂域；若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)9%(工。)發(fā)散，稱(chēng)X。為其發(fā)散點(diǎn), =所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為其發(fā)散域。在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是X的函數(shù) S(x),稱(chēng)它為級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并寫(xiě)成00S(x)= n=l【例】等比級(jí)數(shù)+%+ n=0二、孱級(jí)數(shù)及其收斂性 形如：8£an (x - x0) = %)+ i(x - x0) + a2(x - x0) + n=0+ Un(X Xq)W + 的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為幕級(jí)數(shù)，其中數(shù)列 冊(cè)

14、( =03)稱(chēng)為幕級(jí)數(shù)的系數(shù)。下面著重討論勺=0的情形，即82= 00 + CLX + 2工 + + dnXn + =0定理1 （阿貝爾定理）若幕級(jí)數(shù)2>小在 =點(diǎn)收斂，則對(duì)滿(mǎn)足不等式I«=0“0 I的一切X幕級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。反之，若當(dāng) = %°時(shí)該幕級(jí)數(shù)發(fā)散, 散。則對(duì)滿(mǎn)足不等式|>|x0 的一切X,該幕級(jí)數(shù)也發(fā)A稱(chēng)為收斂半徑，（-凡氏）稱(chēng)為收斂區(qū)間。（-/?,/?）加上收斂的端點(diǎn)稱(chēng)為收斂域。00 "定理2若2。/的系數(shù)滿(mǎn)足lim| 久坦| =小 則«=o->8 an(1)當(dāng)夕，0時(shí)，R = (2)當(dāng)夕=0時(shí),1? = oo；(3)當(dāng)

15、夕=oo時(shí)，氏=0。【例1】(95)幕級(jí)數(shù)-1的收斂=12+(3)半徑氏=【答案】V3【例2】（02三）設(shè)幕級(jí)數(shù)£小和的收 n=ln=l斂半徑分別為與則塞級(jí)數(shù)七號(hào)“的收斂半 33n=ibn，I徑為(A) 5.(B)(C) 1.(D) L335【答案】(A)【例3】求幕級(jí)唯*的收斂半徑及收斂域?！敬鸢浮渴諗坑?yàn)?2,2)【例4】（88）求幕級(jí)數(shù)后注的收斂域.【答案】0,6）【例5】(88-)若1)在x = -1處收斂, n=l則此級(jí)數(shù)在 = 2處()(A)條件收斂(B)絕對(duì)收斂(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定答案：（B）三、幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理3設(shè)塞級(jí)數(shù)方M及強(qiáng)的收斂半徑分 n=0h=0別為

16、g,&,令K = minRi，&,則有：2 anxn =g;1冊(cè)"（4為常數(shù)）| x | < Ri =0=0Yanxn ± Ybnxn = X(an±bn)xn x<R n=0h=0h=0(5)(")= lcnxn x<R n=0n=0«=0(其中 C = akbn_k ) 左二0a:定理4若幕級(jí)數(shù)的收斂半徑氏0,則其和 n=0函數(shù)S(x)在收斂域上連續(xù)并有任意階導(dǎo)數(shù)，且在 收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分，運(yùn)算前后 收斂半徑相同：S'(%)= Y(anxny= 1nxi xw(-R,R) n=0n=l

17、00004fS(x)dx= XaJxndx= Z xn+1 =o=o + lx (R,R)a:例6 (97 -)設(shè)幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為3, M=0oo則塞級(jí)數(shù)嚴(yán)的收斂區(qū)間為.n=l【答案】(-2,4)第四節(jié)函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)求和一、泰勒級(jí)數(shù)復(fù)習(xí)泰勒中值定理：若函數(shù)/(%)在X。的某鄰域內(nèi)具有+1階導(dǎo)數(shù),則在該鄰域內(nèi)有/(X)= /(x0) + /r(x0)(x - x0) +弓了n(x-xor+/?n(x)泰勒級(jí)數(shù)的定義：若/(%)在工。的某個(gè)鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)“/(x) = /(x0) + /r(x0)(x-x0) + (x-x0)2 + -n(X Xq)1 +為/(%)的泰勒級(jí)數(shù)

18、。當(dāng)勺=0時(shí)泰勒級(jí)數(shù)又稱(chēng)為麥 克勞林級(jí)數(shù)。函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件(數(shù)一)：設(shè)/(%)在X。的某個(gè)鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則/(%)在該 鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是/(%) 的泰勒余項(xiàng)凡=(x-%o)"+l f 0(f 8), X 是該鄰域中的點(diǎn)，4介于X。與工之間).此時(shí)，有泰勒級(jí)數(shù)/v /(%) = /(/) + £k=l00= /(/)+£n=ln(X %0)" o二、幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式op n(1 ) ex = V 一,X G (-00,4-00)；念！(2) ln(l + x) = Y-xn+x e (-141;省+ 1

19、sinx81 V二 ?Gx”y,+8)；8 (_1 V(4) cos x = V-x2，x G (-00,+00);n=Q (2)！00= Jx%xg(-14)；n=0(6) (1 + x)a = 1 + ax +x2 + 2!a(a-l)(a- + l)nHX +,%£ (-1,1)00Fl=0三、函數(shù)展開(kāi)成塞級(jí)數(shù)展開(kāi)方法直接展開(kāi)法一利用泰勒公式間接展開(kāi)法一利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式的函數(shù)1、直接展開(kāi)法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知，函數(shù)/(%)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)的 步驟如下：第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 = 0處的值； 第二步寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù)，并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(-凡內(nèi)lim此(X)

20、是否00為0。【例1】將/(") = /展開(kāi)成X的幕級(jí)數(shù)。答案】ev = V , x e (20, +oo) 念！2、間接展開(kāi)法黃體方法：冒用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及孱級(jí)數(shù) 的運(yùn)算性質(zhì)，將所給函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)?！纠?】（87三）將函數(shù)%）= 2 1 一展開(kāi)工的x -3x + 2級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間.X1 X1【答案】/（x） = 2>"+ Z（l + F）a其收斂區(qū)間為（T/）2 o 2【例3】（95三）將函數(shù)y = ln（l-工一2%2）展成的 幕級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.3c 11、【答案】ln（l-x-2x2） = -.vn,收斂區(qū)間為彳,7.【例4】（89-）將函

21、數(shù)/（x） = arctan；展為的 1-%塞級(jí)數(shù).【答案】-+y-x2w+1,（-i<<i）.4 白 2 + 1例 5 （94 一）將函數(shù)/（%） = -In + X + arctan x-x4 1-x 2展開(kāi)成工的幕級(jí)數(shù).8r4/1+1【答案】_-（-i<x<i）W4 + 1【例6】將邛山展成”的幕級(jí)數(shù)?！敬鸢浮縁(x) =00E0(p <x< +s)K級(jí)數(shù)求和(-)幕級(jí)數(shù)求和具體方法：利用已知塞級(jí)數(shù)的展開(kāi)式間接求解和 函數(shù)。oo【例7】求幕級(jí)數(shù)2(-的和函數(shù)。n=lX2 -1 【答案】，xe(1,1)(1 + 廣)-【例8】求幕級(jí)數(shù)£網(wǎng)等”1

22、的和函數(shù)。n=l 2【答案】丁:，(I)00 2n【例9】求幕級(jí)數(shù)£ J【答案】一上（1一/）, xe（U）的和函數(shù)。00【例10】求幕級(jí)數(shù)n=l【答案】-2xarctanx + ln( 1 + /)，xe-ijx2nn(2n-l)的和函數(shù)。00【例11】(90)求幕級(jí)數(shù)£(2 +l)x"的收斂域,二0并求其和函數(shù).1 4- r【答案】收斂域是(一 1,1)； S(x) = , -1<x<1.(1 一切【例儂三)求幕級(jí)數(shù)后(白TN"在區(qū) 間內(nèi)的和函數(shù)S(x).Ixle(OJ),x = 01 , 1+X1【答案】S(x)= 2x 1-x 1-x

23、2 。，【例13】(87)求塞級(jí)數(shù)七 七”計(jì)1的收斂域, 并求其和函數(shù).【答案】收斂域?yàn)橐?,2), S(x) = 2xln=, xe-2,2).2 - x(-)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和具體方法：選擇適當(dāng)?shù)哪患?jí)數(shù)求和，然后將的數(shù) 值帶入求值?！纠?4】求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)£ 一'的和。"=1(2 -1)2【答案】ln(V2+l) 2【例15】2 (96-)求級(jí)數(shù)2n=2會(huì)的和. (n2-l)2n【例16(93-)求級(jí)數(shù)七(一1汽"：一"+ 1)的和. =o 2n【答案】2221第五節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)（數(shù)一）一、函數(shù)的傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)(1) /(X)在-兀,兀上的傅里

24、葉級(jí)數(shù)定義為a 00/(x) +cosnx + bn sinnx)；2 n=l71其中/(x)cosnxdx,n = 0,1,2,-f /(x)siiindx,n = 1,2< «,稱(chēng)為/(%)的兀一兀傅里葉系數(shù)。a0°/(%)寸+£/ n=l(2)若(1)中的區(qū)間換為一般的-/用，則mi , 兀an cosx+bn smx-fc4- -J.a r，/、 兀 i八.a其中 =: /(x)cos 丁 xdx/ = 0,1,2,I JTIa=；1/(x)sin岸%dx/ = l,2,，稱(chēng)為/(%) 的傅里葉系數(shù)?！纠?】（93-）設(shè)函數(shù)/（%）=乃%+ %2（_

25、/工） 的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為a 00cosnx + bn sinnx）,則其中系數(shù)。3的值2 n=l為2 【答案】【例2設(shè)/（尤）是周期為2萬(wàn)的周期函數(shù)，它在 -萬(wàn)，萬(wàn)上的表達(dá)式為X .-7T<X < 0.= I /T7/（X）= 2x, 0<x<將/（X）展成傅里葉級(jí)數(shù)。二、狄利克雷收斂定理設(shè)函數(shù)/(%)在-/用上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi) 間斷點(diǎn)，并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則/(%)的 傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且(1)當(dāng)是/(%)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于/(%);(2)當(dāng)是/(%)的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于/(D + /(x + O)2(3)當(dāng)x = ±/時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于/

26、(Z + 0) + /(Z-0)O【例3】求/(%) =-1, -7T<X<Q1 + x2, 0<x<,以2%為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在 = 0,1兩點(diǎn)處的值?！纠?】(88-)設(shè)/(%)是周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間上定義為/(%)=缶二:'，則/(%)的傅里葉級(jí)數(shù)在X = 1處收斂于3【答案】-2三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)(1)若/(%)在-/,4是奇函數(shù),BP/(-x)=-/(x), 其傅里葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù)，即勾=0, = 0,1,2,f (x)身b 11sin?x,其中仁=r/(x)sin與xdx. I/JOI(2)若/(x)在J是偶函數(shù)，即/(-%)= /(x)

27、, 其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù),即d=0, = 0,2, /(X)? + £猴 cosx,/ n=lIr4-i 2 f，r /、 HTl= yjo /(x)cos-xdx.（3）如果是定義在0用上的函數(shù)，將其作奇 延拓，就可利用（1）將其展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)；將其 作偶延拓，就可利用（2）將其展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù).【例5】(89)設(shè)函數(shù)/(%) = /, ovxwl,而00S(x) = »" smn;rx, -oo < x < +oo. 其中n=lbn =2 /(x)siiintZx, = 1,2,3,則3()為Jo2(A)(B)(C) L (D) L2442【答案】

28、(B)【例6】（08 ）將函數(shù)/（x） = l-2（o4%4萬(wàn)）展oo /_1 n-l開(kāi)成余弦級(jí)數(shù),并求的和 n=l 本章強(qiáng)化練習(xí) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別1、(11 H)設(shè)%是數(shù)列，則下列命題正確的是( )008(A)若以收斂，則£(21+%)收斂 n=ln=l00oo(B)若£(2l+2)收斂，則以收斂 /z=ln=loo8(C)若1收斂，則6他1/)收斂 n=l九=18oo(D)若£他1T2)收斂，則E"收斂 71=1n=l答案：(A)2、(09 -)設(shè)有兩個(gè)數(shù)列%,a,若!吧 =0，0000(A)當(dāng)收斂時(shí)，£*勿收斂n=ln=l0000（B

29、）當(dāng)2勿發(fā)散時(shí)，發(fā)散n=ln=l0000（O當(dāng)£i久畋斂時(shí)，忍收斂n=ln=l0000（D）當(dāng)£也/發(fā)散時(shí)，發(fā)散n=ln=l答案：（C）003、(06-H)若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)()n=loooo(A) 收斂.(B) £(-L)Z"收斂.n=ln=l00001(C) 收斂.(D)之審任收斂.n=ln=l4答案：（D）004、(05三)設(shè)冊(cè)0/ = 1,2,，若£明發(fā)散, n=l00£(-1廠4收斂，則下列結(jié)論正確的是n=l(A)七。2-1收斂，玄。2發(fā)散.n=ln=l(B)七2收斂，發(fā)散.n=ln=l(C)工(2一1+。2)收斂。工(21

30、-。2)收斂 n=ln=l5、（03 三）設(shè)。"=6,狐=6, = 1,2, 乙/則下列命題正確的是(A)若七冊(cè)條件收斂, n=l則七P與七冊(cè)都收斂.n=l n=la】(B)若Z %絕對(duì)收斂, n=l則Z P與2卷都收斂. n=l n=l(O若2冊(cè)條件收斂，則2 P與2狐斂散性都 n=ln=l n=l不定.(D)若玄冊(cè)絕對(duì)收斂, n=l不定.答案：(B)則EPn與工qn斂散性都n=l n=l6、（04）設(shè)有方程, + nx -1 = 0,其中為正整 數(shù).證明此方程存在唯一正實(shí)根乙，并證明當(dāng)oo時(shí)，級(jí)數(shù)2球收斂.n=l二、幕級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求解為答案：e"003、（08

31、-）已知孱級(jí)數(shù)£X（x + 2）存在x = 0處收00斂，在“ = -4處發(fā)散，則塞級(jí)數(shù)£%（工-3）"的收=0斂域?yàn)榇鸢福?1,54、3三)級(jí)數(shù)羅薩答案：(0,4)一的收斂域?yàn)槿?、幕?jí)數(shù)的和函數(shù)求解1、(10 -)求幕級(jí)數(shù)之n=l(-If12n-l,的收斂域及和函數(shù).答案：收斂域?yàn)橐?1：和函數(shù)為xarctanx，(-1廣(2一1)的收斂域及和002、(06 H)求騫級(jí)數(shù)£n=l函數(shù)s(x).答案：收斂域?yàn)?和函數(shù) S(x) = 2x2 arctan x-xln(l + x2),xe-Ux2nIn(|x|vl)的和函3、(03 H)求幕級(jí)數(shù) 1+2(-

32、1) n=l數(shù)/(%)及其極值.答案：/(x) = l-Lln(l + x2)(|x|<),極大值為 1 24、求下列幕級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù):(1)M + 1l,x = O,答案：(1) (-1J)S(x) = <00(2) £( + l)x"S(x) =，- 1<X<1n=l答案：(2) (1,1)K函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)1、(07 H)將函數(shù)/(%) =展開(kāi)成x2 3x 4 的幕級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.答案:Hr7yt9+猿k-。"心（-1,3）1 - 4 D =（）L J 乙2、（06-）將函數(shù)/（無(wú)）=展開(kāi)成”的幕 "i級(jí)數(shù)。1 X1答案：fW = -X -(-l)n xx< 3 L 2_3、(03 )將函數(shù)/(%)：=arctanW展開(kāi)成X的幕級(jí)氮并求級(jí)畛黑的租答案：/(x) = 1_2f4/1-()(-2/7 +1 I 2 2:y ("iy，五、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題1、（ 09 ）設(shè)%為曲線j = xw與oon=ly