三維人教B版數學必修33.3隨機數的含義與應用

1、33.1 & 3.3.2幾何概型隨機數的含義與應用預習課本P109114，思考并完成以下問題(1)什么是幾何概型？(2)幾何概型的概率計算公式是什么？(3)隨機數的含義是什么？它的主要作用有哪些？ 1幾何概型(1)定義：事件A理解為區(qū)域的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關滿足以上條件的試驗稱為幾何概型(2)計算公式：P(A)，其中表示區(qū)域的幾何度量，A表示子區(qū)域A的幾何度量2隨機數(1)含義隨機數就是在一定范圍內隨機產生的數，并且得到這個范圍內的每一個數的機會一樣(2)產生在函數型計算器上，每次按 鍵都會產生一個01之間的隨機

2、數Scilab中用rand()函數來產生01的均勻隨機數如果要產生ab之間的隨機數，可以使用變換rand()*(ba)a得到1用隨機模擬方法得到的頻率()A大于概率B小于概率C等于概率 D是概率的近似值答案：D2已知集合Mx|2x6，Nx|02x1，在集合M中任取一個元素x，則xMN的概率是()A. B.C. D.解析：選B因為Nx|02x1x|1x2，又Mx|2x6，所以MNx|1x2，所以所求的概率為.3.如圖所示，半徑為4的圓中有一個小狗圖案，在圓中隨機撒一粒豆子，它落在小狗圖案內的概率是，則小狗圖案的面積是()A. B.C. D.解析：選D設小狗圖案的面積為S1，圓的面積S×

3、4216，由幾何概型的計算公式得，得S1.故選D.4在區(qū)間1,1上隨機取一個數x，則x0,1的概率為_解析：根據幾何概型的概率的計算公式，可得所求概率為.答案：與長度有關的幾何概型典例(1)在區(qū)間1,2上隨機取一個數x，則|x|1的概率為_(2)某汽車站每隔15 min有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一位乘客到達車站后等車時間超過10 min的概率解析(1)區(qū)間1,2的長度為3，由|x|1，得x1,1，而區(qū)間1,1的長度為2，x取每個值為隨機的，在1,2上取一個數x，|x|1的概率P.答案：(2)解：設上一輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，則線段T1T2的長度為15，

4、設T是線段T1T2上的點，且T1T5，T2T10，如圖所示記“等車時間超過10 min”為事件A，則當乘客到達車站的時刻t落在線段T1T上(不含端點)時，事件A發(fā)生P(A)，即該乘客等車時間超過10 min的概率是.1解幾何概型概率問題的一般步驟(1)選擇適當的觀察角度(一定要注意觀察角度的等可能性)；(2)把基本事件轉化為與之對應的區(qū)域D；(3)把所求隨機事件A轉化為與之對應的區(qū)域I；(4)利用概率公式計算2與長度有關的幾何概型問題的計算公式如果試驗的結果構成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為：P(A).活學活用一個路口的紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間

5、為40秒，當你到達路口時，看見下列三種情況的概率各是多少？(1)紅燈亮；(2)黃燈亮；(3)不是紅燈亮解：在75秒內，每一時刻到達路口亮燈的時間是等可能的，屬于幾何概型(1)P.(2)P.(3)法一：P.法二：P1P(紅燈亮)1.與面積和體積有關的幾何概型典例(1)(福建高考)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數f(x)的圖象上若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()A.B.C. D.(2)有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_解析(1)依題意

6、得，點C的坐標為(1,2)，所以點D的坐標為(2,2)，所以矩形ABCD的面積S矩形ABCD3×26，陰影部分的面積S陰影×3×1，根據幾何概型的概率求解公式，得所求的概率P，故選B.(2)先求點P到點O的距離小于1或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱×12×22，以O為球心，1為半徑且在圓柱內部的半球的體積V半球××13.則點P到點O的距離小于1或等于1的概率為：，故點P到點O的距離大于1的概率為：1.答案(1)B(2)1與面積有關的幾何概型的概率公式如果試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為：P(

7、A).2與體積有關的幾何概型概率的求法如果試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為P(A). 活學活用1在一球內有一棱長為1的內接正方體，一點在球內運動，則此點落在正方體內部的概率為()A. B.C. D.解析：選D由題意可得正方體的體積為V11.又球的直徑是正方體的體對角線，故球的半徑R.球的體積V2R3.則此點落在正方體內的概率為P.2若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是()A. B. C. D. 解析：選B設質點落在以AB為直徑的半圓內為事件A，則P(A).隨機模擬法的應用典例利用隨機模擬法計

8、算圖中陰影部分(曲線y2x與x軸、x±1圍成的部分)的面積解設事件A“隨機向正方形內投點，所投的點落在陰影部分”S1用計數器n記錄做了多少次投點試驗，用計數器m記錄其中有多少次(x，y)滿足1<x<1,0<y<2x(即點落在陰影部分)首先置n0，m0；S2用變換rand()*21產生11之間的均勻隨機數x表示所投的點的橫坐標；用變換rand()*2產生02之間均勻隨機數y表示所投的點的縱坐標；S3判斷點是否落在陰影部分，即是否滿足y<2x，如果是，則計數器m的值加1，即mm1，如果不是，m的值保持不變；S4表示隨機試驗次數的計數器n的值加1，即nn1，如

9、果還要繼續(xù)試驗，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結束程序結束后事件A發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值設陰影部分的面積為S，正方形的面積為4，由幾何概型計算公式得P(A).所以.所以S.即為陰影部分面積的近似值利用隨機模擬法估計圖形面積的步驟(1)把已知圖形放在平面直角坐標系中，將圖形看成某規(guī)則圖形(長方形或圓等)內的一部分，并用陰影表示；(2)利用隨機模擬方法在規(guī)則圖形內任取一點，求出落在陰影部分的概率P(A)；(3)設陰影部分的面積是S，規(guī)則圖形的面積是S，則有，解得SS，則已知圖形面積的近似值為S. 活學活用取一根長度為3 cm的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用隨機模擬法估算剪得兩段的長

10、都不小于1 cm的概率有多大？解：設事件A“剪得兩段的長都不小于1 cm”S1用記數器n記錄做了多少次試驗，用記數器m記錄其中有多少個數出現在12之間(即得兩段的長都不小于1 cm)，首先置n0，m0；S2用變換rand()*3，產生03之間的均勻隨機數x；S3判斷剪得兩段是否長度都大于1 cm，即是否滿足1x2，若是，則記數器m的值增加1，即mm1，若不是，m的值不變；S4表示隨機試驗次數的記數器n的值加1，即nn1；如果還需試驗，則返回S2，繼續(xù)執(zhí)行，否則程序結束程序結束后事件A發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值層級一學業(yè)水平達標1.如圖，一顆豆子隨機扔到桌面上，則它落在非陰影區(qū)域的概率為

11、()A.B.C. D.解析：選C試驗發(fā)生的范圍是整個桌面，其中非陰影部分面積占整個桌面的，而豆子落在任一點是等可能的，所以豆子落在非陰影區(qū)域的概率為，故選C.2.如圖所示，在一個邊長為a，b(ab0)的矩形內畫一個梯形，梯形上、下底長分別為與，高為b.向該矩形內隨機地投一點，則所投的點落在梯形內部的概率為()A. B.C. D.解析：選CS矩形ab，S梯形bab.故所投的點在梯形內部的概率為P.3已知函數f(x)log2x，x，在區(qū)間上任取一點x0，則使f(x0)0的概率為_解析：欲使f(x)log2x0，則x1，而x，x01,2，從而由幾何概型概率公式知所求概率P.答案：4已知正三棱錐S&#

12、173;ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內任取一點P，使得VP­ABC<VS­ABC的概率是_解析：由VP­ABC<VS­ABC知，P點在三棱錐S­ABC的中截面A0B0C0的下方，P11.答案：層級二應試能力達標1已知地鐵列車每10 min一班，在車站停1 min，則乘客到達站臺立即乘上車的概率是()A. B.C. D.解析：選A試驗的所有結果構成的區(qū)域長度為10 min，而構成事件A的區(qū)域長度為1 min，故P(A).2.如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自ABE內部的

13、概率等于()A. B.C. D.解析：選CABE的面積是矩形ABCD面積的一半，由幾何概型知，點Q取自ABE內部的概率為.3.如圖所示，一半徑為2的扇形(其中扇形中心角為90°)，在其內部隨機地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為()A. B.C. D1解析：選DS扇形××22，S陰影S扇形SOAB×2×22，P1.4在區(qū)間1,1上任取兩數x和y，組成有序實數對(x，y)，記事件A為“x2y21”，則P(A)為()A. B.C D2解析：選A如圖，集合S(x，y)|1x1，1y1，則S中每個元素與隨機事件的結果一一對應，而事件A所對應的事件(x

14、，y)與圓x2y21內的點一一對應，所以P(A).5方程x2xn0(n(0,1)有實根的概率為_解析：由于方程x2xn0(n(0,1)有實根，0，即14n0，n，又n(0,1)，有實根的概率為P.答案：6在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現大腸桿菌的概率為_解析：大腸桿菌在400毫升自來水中的位置是任意的，且結果有無限個，屬于幾何概型設取出2毫升水樣中有大腸桿菌為事件A，則事件A構成的區(qū)域體積是2毫升，全部試驗結果構成的區(qū)域體積是400毫升，則P(A)0.005.答案：0.0057在棱長為a的正方體ABCD­A1B1C1D1內任取一點P

15、，則點P到點A的距離小于等于a的概率為_解析：點P到點A的距離小于等于a可以看做是隨機的，點P到點A的距離小于等于a可視作構成事件的區(qū)域，棱長為a的正方體ABCD­A1B1C1D1可視做試驗的所有結果構成的區(qū)域，可用“體積比”公式計算概率P.答案：8.如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環(huán)從外向內依次為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色金色靶心叫“黃心”奧運會的比賽靶面直徑為122 cm，靶心直徑為12.2 cm.運動員在70 m外射箭假設運動員射的箭都能中靶，且射中靶面內任一點都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？解：記“射中黃心”為事件B，由于中靶點隨機地落在面積為××1222 cm2的大圓內，而當中靶點落在面積為××12.22 cm2的黃心時，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率為P(B)0.01.即“射中黃心”的概率是0.01.9已知圓C：x2y212，直線l：4x3y25.(1)求圓C的