第五章平均指標(biāo)和變異指標(biāo)

1、第 5 章 平均指標(biāo)和變異指標(biāo)【教學(xué)內(nèi)容】本章包括平均指標(biāo)和變異指標(biāo)兩部分內(nèi)容, 闡述了平均指標(biāo)的概念和作用; 各種平均數(shù)（ 算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)） 的計(jì)算原則、方法與應(yīng)用條件; 變異指標(biāo)的作用、主要的變異指標(biāo)（ 全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差及其系數(shù)） 的計(jì)算方法和運(yùn)用條件。【教學(xué)目標(biāo)】1. 理解平均指標(biāo)和變異指標(biāo)的概念、意義、作用；2. 明確其種類及其區(qū)別；3. 掌握平均指標(biāo)和變異指標(biāo)的計(jì)算方法、應(yīng)用的原則和條件、平均指標(biāo)與變異指標(biāo)的關(guān)系。【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】1. 平均指標(biāo)的特點(diǎn)和計(jì)算、應(yīng)用原則；2. 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)；3. 平均指標(biāo)與變異指標(biāo)的關(guān)系；4. 標(biāo)準(zhǔn)差及其系數(shù)第一

2、節(jié)平均指標(biāo)的概念和作用一、平均指標(biāo)的概念在社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的同質(zhì)總體中, 同一標(biāo)志在各單位的數(shù)量表現(xiàn)不盡相同, 標(biāo)志值大小各異 , 這就需要利用平均指標(biāo)來(lái)代表總體的一般水平。總體各單位的同質(zhì)性和某種標(biāo)志值在各單位的差異性, 是計(jì)算平均數(shù)的前提條件。平均指標(biāo), 是將同類社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志值的差異抽象化的代表性水平指標(biāo), 其數(shù)值表現(xiàn)為平均數(shù)。平均指標(biāo)一般是一種具有單位名稱的數(shù), 它的計(jì)算單位是一個(gè)復(fù)合單位。平均指標(biāo)是社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中最常用的綜合指標(biāo)之一。平均指標(biāo)的顯著特點(diǎn)是, 把同質(zhì)總體內(nèi)各單位在某一數(shù)量標(biāo)志值上的差異抽象化了, 是對(duì)各單位具體數(shù)值的平均; 它不是某一單位的具體數(shù)值,

3、而是代表總體某種數(shù)量標(biāo)志值的一般水平 , 是總體各單位的代表值。需要注意的是, 掩蓋總體內(nèi)部各單位某種數(shù)量標(biāo)志值的差異是平均數(shù)的局限性, 必須充分認(rèn)識(shí), 以防誤用。二、平均指標(biāo)的作用平均指標(biāo)由于能綜合反映所研究現(xiàn)象的總體在具體條件下的一般水平, 因此 , 在統(tǒng)計(jì)研究中 , 以及各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)管理和分析中被廣泛應(yīng)用。其作用概括起來(lái)主要有:1、利用平均指標(biāo), 可以了解總體次數(shù)分布的集中趨勢(shì)。2、利用平均指標(biāo)，可以對(duì)若干同類現(xiàn)象在不同單位、地區(qū)間進(jìn)行比較研究。3、利用平均指標(biāo)，可以研究某一總體某種數(shù)值的平均水平在時(shí)間上的變化，說(shuō)明總體的發(fā)展過(guò)程和趨勢(shì)。4、利用平均指標(biāo)，可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。5、平均

4、指標(biāo)可作為某些科學(xué)預(yù)測(cè)、決策和某些推算的依據(jù)。第二節(jié)算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的基本形式算術(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中最基本、 最常用的一種平均數(shù)。 它的基本計(jì)算形式是用總體的單位總數(shù)去除總體的標(biāo)志總量。算術(shù)平均數(shù)的基本計(jì)算公式是：通亞W新忘體的標(biāo)志總量小才匚一鼻木平均效- T 公K 5-1 1總體的單位總數(shù)在社會(huì)經(jīng)y現(xiàn)象中，總體的標(biāo)志總量常常是總體單位標(biāo)志值的算術(shù)總和。例如，工人工資總額是各個(gè)工人工資的總和；糧食總產(chǎn)量是各塊地播種面積產(chǎn)量的總和等。在掌握了標(biāo)志總 量和總體單位總數(shù)的資料后，就可以按照公式5-1計(jì)算算術(shù)平均數(shù)。二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法（一）簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)如果所掌握的資料是沒(méi)有經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分組的總

5、體各單位的標(biāo)志數(shù)值，則先將這些標(biāo)志值相加得出標(biāo)志總量，再用總體單位總數(shù)去除，就得出算術(shù)平均數(shù)。這樣計(jì)算出來(lái)的算術(shù)平均數(shù)稱 為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。其計(jì)算公式為：各單位標(biāo)志費(fèi)值之總和用符號(hào)表示為x1+x2+x3+xn EX公式5-2例5-1紅光機(jī)械廠第一生產(chǎn)班組有10名工人，生產(chǎn)某種零件，每個(gè)工人的日產(chǎn)量分別 為45件、48件、52件、62件、69件、44件、52件、58件、38件、64件。試用簡(jiǎn)單算術(shù)11平均數(shù)法計(jì)算工人平均日產(chǎn)量（X）工人平均日產(chǎn)量45+ 48+52+62-1-69+44+52+58+38+6410=等=5&2（件）（二）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)有時(shí)我們研究的統(tǒng)計(jì)總體包括許多單位，其中有些單

6、位的標(biāo)志值相同，另一些單位的標(biāo)志值不同。在這種，f#況下，就需要首先對(duì)總體各單位的標(biāo)志值進(jìn)行分組，編成單項(xiàng)變量數(shù)列或組距變量數(shù)列，再用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法計(jì)算平均數(shù)。例5-2某廠機(jī)械車間有200名工人，每人每日生產(chǎn)某種零件數(shù)的單項(xiàng)數(shù)列及計(jì)算見(jiàn)表5-1,試求平均每個(gè)工人日產(chǎn)零件數(shù)。平均每個(gè)工人日產(chǎn)零件數(shù)j 1SX 10+16X20-17X36 + 18X60 + 19X44+20X3D 3 S9810+20+36+60+44+30一 200 一17.99（件）胃每人日產(chǎn)零件工人M牛產(chǎn)零件敝“XH忤2日產(chǎn)零件SI單位金星算 Xf/xr.人萄f視重梟費(fèi)工也15210.0.05口15。Q75.162Q

7、.0.10320：1M.173&CJB63.061隊(duì)G00.3k1 080.5.4。1944*0.228犯4030.0J5p600-3.0&合旭700loo3 59817,99.-表5-1身體發(fā)育狀況調(diào)查表（一覽表式舉例）例5-3某月某企業(yè)工人工資資料見(jiàn)表5-2,求工人月平均工資。工人月平均工資：工xr 6 910 000_-，3 4幽兀）f 2000強(qiáng)月工gSi分組用甲伯。（元k工人人第 （A）pSSIAISS- O（甲b心Xfp2000雙下八1500匚 180， 270 0002 000-3 0002 500350SZSOOO3 000-4 0003 500?？?】3 150 0001 0

8、00-5 000*4 50052012 340 0035 000及以上，55005件27500k方申72 00Q6 910 IKXk表5-2某月某企業(yè)工人工資情況三、算術(shù)平均數(shù)的幾個(gè)重要數(shù)學(xué)性質(zhì)（一）平均數(shù)與次數(shù)和的乘積等于所有變量值（數(shù)量標(biāo)志值）的總和有時(shí)我們研究的統(tǒng)計(jì)總體包括許多單位 ，其中有些單位的標(biāo)志值相同，另一些單位的標(biāo) 志值不同。在這種，f#況下，就需要首先對(duì)總體各單位的標(biāo)志值進(jìn)行分組 ，編成單項(xiàng)變量數(shù)列或 組距變量數(shù)列，再用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法計(jì)算平均數(shù)。nX=X（筒單算術(shù)半為效又片工乂出力|及算術(shù)平均數(shù)）這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，平均數(shù)是所有變量值的代表數(shù)值，并且根據(jù)平均數(shù)與次數(shù)可以推算出

9、數(shù) 量標(biāo)志值的總和。（二）所有變量值與平均數(shù)的離差之和等于零倚單算術(shù)平內(nèi)數(shù):伏-幻毋E （X-5J）=X-l X=ft（x-x）u 工 xf-yxt- xxf-xxt-xyi-xxf-o在理論上，這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，在算術(shù)平均數(shù)中，變量值之間高于或低于平均數(shù)的偏差可以相 互抵消。（三）各個(gè)變量值與平均數(shù)離差平方之和為最小苜隼算未平均趾保一#）*4nbi（昌東精卜設(shè)訛=任麻教Q珈期京G口力申。商差率弁之和為學(xué) （X-X0）2-ZLX-（XM：）J2-Z （X-X）+C2-1 （X-XJ2+2C S XX）+nc2- （X4t）2+nc2.vA-Z（X的2與*砒Ept那FX爾佰卜同理可用苴木平均恥EQC

10、X）片呻in（扇小笛由鹿可計(jì)算出貯*.mir（品小道X這樣有助于理那方差和均方差的就5U，第三節(jié)調(diào)和平均數(shù)一、調(diào)和平均數(shù)的概念調(diào)和平均數(shù)是平均數(shù)的一種，它是根據(jù)變量值的倒數(shù)計(jì)算的，是變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱倒數(shù)平均數(shù)。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中，往往由于缺乏總體的單位數(shù)資料 ，不能直接采用算術(shù)平均數(shù)計(jì)算，這時(shí)，就需要把算術(shù)平均數(shù)的形式加以改變，而采用另一種計(jì)算方法。所以，在實(shí)際工作中，它主要是作為算術(shù)平均數(shù)的變形來(lái)使用。其主要特點(diǎn)是用特定的權(quán)數(shù) （m=Xf）加權(quán)，其變量值多為相對(duì)數(shù)和平均數(shù)。在計(jì)算平均數(shù)時(shí)，由于受到所掌握的資料的限制 ，往往不能直接用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算 ，而需要按照平均數(shù) 基

11、本公式，算出所需總體單位數(shù)，或相當(dāng)于總體單位數(shù)的數(shù)字。這時(shí)所用的方法 ，就是加權(quán)調(diào) 和平均數(shù)的方法。調(diào)和平均數(shù)有簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種。二、簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)在市場(chǎng)上（如蔬菜市場(chǎng)）常常早上1元可買到1.5千克，即每千克0.67元；中午1元可買 到2千克，即每千克0.50元；晚上1元可買到2.5千克，即每千克0.40元。要計(jì)算這一天平 均價(jià)格是多少有以下兩種方法。先求出每千克的價(jià)格，然后求平均數(shù)，即用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)方法：1 , 1、1又廣G =三=0.52（元） 33用總金額除以總數(shù)量，即用簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)方法：H7一-=-=050（元 + 6 0.67 0.50 0.40這兩種方法計(jì)算出

12、的平均價(jià)格為什么不同呢？因?yàn)榍耙环N平均價(jià)格是用簡(jiǎn)單算術(shù)平均法計(jì)算的，后一種平均價(jià)格是用簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)方法計(jì)算的。前一種方法是依據(jù)早、中、晚的 單價(jià)簡(jiǎn)單平均計(jì)算的，它只受早、中、晚單價(jià)的影響，假設(shè)早、中、晚買的重量相同（1千克）, 就不受重量的影響；而后一種簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)，不僅受早、中、晚不同價(jià)格的影響，還受早、中、晚買的商品重量不同的影響，所以兩種方法計(jì)算出的平均價(jià)格是不同的。由于晚上買價(jià)較低從而相同金額可以購(gòu)買的重量較多（1元可買到2.5千克），后一種方法受重量因素的影響，因此用后一種方法計(jì)算出的平均價(jià)格低于用前一種方法計(jì)算出的平均價(jià)格（0.50元0.52元）。哪種平均價(jià)格更具代表性呢？在銷

13、售量不同的情況下，應(yīng)考慮銷售量這個(gè)因素對(duì)平均價(jià)格的影響，故用第二種方法計(jì)算出的平均價(jià)格（0.50元/千克）更具代表性。簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式為11二三公式5-5式中：m為標(biāo)志總量（m=Xf）;其他符號(hào)含義同前。三、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)實(shí)際上是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形。在實(shí)際工作中，經(jīng)常會(huì)遇到只有各組標(biāo)志總量和各個(gè)組變量值，缺少總體單位數(shù)資料的情況，這時(shí)就需要利用調(diào)和平均數(shù)公式計(jì) 算平均數(shù)。它的計(jì)算方法是以標(biāo)志總量為權(quán)數(shù)，其計(jì)算公式為：式中：m為標(biāo)志總量（m=Xf）;其他符號(hào)含義同前。例5-4某農(nóng)產(chǎn)品收購(gòu)部門某月購(gòu)進(jìn)三批同種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的價(jià)格及收購(gòu)金額見(jiàn)表5-3,求三批產(chǎn)品的平均價(jià)格。賽

14、5T某農(nóng)產(chǎn)品快購(gòu)部門收購(gòu)情況表a付16 X （兀/王京卜收購(gòu)金31 訃第一小50.11 000口22k患二辱5條27 500，500 1第三橫F6018 000.30%廿承56 500*1 020，平均每千克的價(jià)格（H）為:=55.39（兀）式中:m為收購(gòu)金額，即權(quán)數(shù);X為變量值；分子是收購(gòu)總金額，即總體標(biāo)志總量；分母為收 購(gòu)量之和，即總體單位總數(shù)。第四節(jié)幾何平均數(shù)、幾何平均數(shù)的概念和特點(diǎn)幾何平均數(shù)不同于算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)，它是n個(gè)變量值連乘積的n次方根，是計(jì)算平均比率和平均速度時(shí)比較適用的一種方法，符合人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律。例如，有甲、乙兩種商品，甲商品價(jià)格從200元上漲到250元，其價(jià)比為1

15、.25(250 + 200)，其上漲率為25%;而乙種商品 價(jià)格則從250元下降到200元，其價(jià)比為0.8(200 +250),即下降了 20%如果單純從價(jià)格變 動(dòng)來(lái)看兩者拉平，應(yīng)當(dāng)是沒(méi)有變動(dòng)，這兩種價(jià)比按算術(shù)平均法計(jì)算平均價(jià)比為1.025(1.25+0.8) +2),即上漲了 2.5%。如果按調(diào)和平均法計(jì)算平均價(jià)比為：It-=0.9756. -+ 2.05 1,25 0#二、幾何平均數(shù)的計(jì)算方法 (一)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)是 n個(gè)變量值連乘積的n次方根。其計(jì)算公式：式中：G為幾何平均數(shù)；X為各個(gè)變量值;n為變量值的個(gè)數(shù)；口為連乘符號(hào)。例5-5某機(jī)械廠生產(chǎn)機(jī)器，設(shè)有毛坯、粗加工、精加工

16、、裝配四個(gè)連續(xù)作業(yè)的車間。某批產(chǎn)品其毛坯車間制品合格率為97%粗加工車間制品合格率為 93%精加工車間制品合格率為91%,裝配車間產(chǎn)品合格率為 87%,求各車間制品平均合格率。由于各車間制品的合格率總和并不等于全廠產(chǎn)品的總合格率，后續(xù)車間的合格率是在前一車間制品全部合格基礎(chǔ)上計(jì)算的。全廠產(chǎn)品總合格率等于各車間制品合格率的連乘積，故應(yīng)采用幾何平均法計(jì)算各車間制品平均合格率。車間制品平均合格率：G=Vnx=V97% X 93% 91% X 87%=91.93%為進(jìn)一步了解它的實(shí)質(zhì)，采用對(duì)數(shù)計(jì)算：lgG=i(lgXl +3X2+hjXn)且吃nn按對(duì)數(shù)方法計(jì)算車間產(chǎn)品平均合格率見(jiàn)表5-4。表5-4車

17、間產(chǎn)品平均合格率計(jì)算表車距產(chǎn)晶合魅率Xf%令幡率的引砂短 |冰毛見(jiàn)車小971.98677.粗前工辛小93口1,96848辦工車E911,95904.餐留車Sb87卡1 93952.令電U7.85381 2igG訓(xùn)=.96345求反對(duì)數(shù)得產(chǎn)品平均合格率：G=91.93%這種計(jì)算，可以直接運(yùn)用計(jì)算器。,則應(yīng)用加權(quán)幾何平均法，其計(jì)算公式（二）加權(quán)幾何平均數(shù)當(dāng)計(jì)算幾何平均數(shù)的每個(gè)變量值的次數(shù)不相同時(shí) 為：忖喈xjy行題“5-8式中:f為變量值的次數(shù)；！2f為次數(shù)總和；其他符號(hào)含義同前。將上述公式兩邊取對(duì)數(shù)，則：館Xi21g十十%叱1kgi” u 一 白十馬十十% 一 Ef可見(jiàn),加權(quán)幾何平均數(shù)的對(duì)數(shù)，就

18、是各變量值對(duì)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。求出幾何平均數(shù)的對(duì)數(shù)之后，再求反對(duì)數(shù)找出真數(shù)即為幾何平均數(shù)。例5-6某建設(shè)銀行某項(xiàng)投資的年利率是按復(fù)利計(jì)算的，25年的年利率情況是:1年為8% 4年為5% 8年為4% 10年為3% 2年為2%,求平均年利率。在計(jì)算平均年利率時(shí)，根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)必須先將各年利率加100%B算成各年本利率，然后按加權(quán)幾何平均法計(jì)算平均年本利率，再減100%導(dǎo)平均年利率，現(xiàn)列表計(jì)算，見(jiàn)表5-5。和0L電刈江年數(shù)M次可卜本q率的月小 聯(lián)次數(shù)采對(duì)需二 IlgX.10811”2.03342.2.03342。10W4 12.021198 084/62104-82.01703-16136?如1

19、03d2.01284“20.12840咯*2.QD86W4.01/20，25.50 40002.IgG金理 V嗎;2 01600H 25求反對(duì)數(shù)得本利率：G=103.75%平均年利率=103.75%-100%=3.75%這就是說(shuō)，25年間的年平均本利率為 103.75%,年平均利率為3.75%。第五節(jié)眾數(shù)和中位數(shù)一、眾數(shù)在觀察某一總體時(shí)，最常遇到的標(biāo)志值在統(tǒng)計(jì)上稱為眾數(shù)。 換句t說(shuō)，眾數(shù)就是在一組變 量值中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)變量值。它是總體中最常遇到的變量值，是最普遍、最一般的，因而，可以用來(lái)說(shuō)明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的一般水平。在實(shí)際工作中，眾數(shù)被廣泛運(yùn)用。例如，消費(fèi)者需要的鞋、襪、帽等最普遍的尺碼，

20、集市貿(mào)易市場(chǎng)某種商品最普遍的價(jià)格水平，企業(yè)工人中最普遍的工資水平等，常用它來(lái)說(shuō)明總體 各單位某一數(shù)量標(biāo)志值的一般水平。但必須指出，眾數(shù)只有在總體內(nèi)單位充分多時(shí)才有意義。一般來(lái)說(shuō)，眾數(shù)的確定比較簡(jiǎn)單，不需要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，只要大量觀察就可得知。當(dāng)掌 握原始資料時(shí)，只要直接觀察各數(shù)值即可得知眾數(shù) ，不必一一列舉，如根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù) 只需要觀察找出次數(shù)最多的那個(gè)變量值即可。例5-7根據(jù)某菜市場(chǎng)上黃瓜的價(jià)格分組資料（見(jiàn)表5-6）求眾數(shù)。*（元卜17192 a2.U22集也如個(gè)）2.5183.b經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，價(jià)格為2.0元的攤位數(shù)最多，故眾數(shù)為2.0元。例如某百貨商店在女式旅游鞋銷售中，231/2號(hào)為

21、最多，故眾數(shù)為231/2號(hào)。如果根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)，則需計(jì)算眾數(shù)的近似值。設(shè):M0為眾數(shù)；L為眾數(shù)所在組的下限；U為眾數(shù)所在組的上限；f-1為眾數(shù)所在組以下（前） 一組的次數(shù)；f0為眾數(shù)所在組的次數(shù)；f+1為眾數(shù)所在組以上（后）一組的次數(shù)；A1為眾數(shù)組 次數(shù)與以下（前）一組次數(shù)之差，即A1=f0-f-1; A 2為眾數(shù)組次數(shù)與以上（后）一組次數(shù)之差， 即A 2=f0-f+1;i為眾數(shù)所在組的組距。計(jì)算眾數(shù)的公式為下限公式：i “公式5-91aMO=L+i=L+-(f0-f/上限公式：MO=U公式 5-10 (ffl-f )+(fo-f+O-X例5-8某山區(qū)縣農(nóng)民家庭戶按人均純收入額分組資料見(jiàn)

22、表5-7,求眾數(shù)。表67某山區(qū)縣農(nóng)民家庭戶按人均純收入分蛆資料按人均茹酸入軟分組（耳）.農(nóng)戶軟（戶及1 000 M 下,44/1-0002 00079.2 000-3 000236.3 00C-4 000260.4 00口-5。0223#5 000一上一15隊(duì)合此1 (IU0-從表5-7中可見(jiàn),人均純收入額為3 0004 000元者為農(nóng)民家庭戶最多的組,這組為眾數(shù)組，其具體數(shù)值可依確定眾數(shù)的下限公式或上限公式計(jì)算。將具體數(shù)值代入確定眾數(shù)的下限公式：MO=L+000=3-000-1 000=3 393.44（fQ-fAi+dj（2*0-Z36H（260-223S4 + 37二、中位數(shù)將總體中各單

23、位標(biāo)志值按大小順序排列，處于中間位置的那個(gè)單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)。如果總體單位數(shù)是偶數(shù)，則處于中間位置的兩個(gè)標(biāo)志數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)是中位數(shù)。顯然,中位數(shù)是處于中間位置的標(biāo)志值，因而可用來(lái)說(shuō)明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象各單位數(shù)量標(biāo)志值的一般水 平。中位數(shù)的確定方法要根據(jù)所掌握的資料而定。如果根據(jù)未經(jīng)分組的資料，其確定方法是將各單位的標(biāo)志數(shù)值按大小或多少的次序排列處于中間位置的標(biāo)志值（變量值）就是中位數(shù)。將研究的數(shù)列項(xiàng)數(shù)（無(wú)論是奇數(shù)或偶數(shù)）加1除以2,即可求得中位數(shù)的位置，從而可找到中位數(shù)。也未分綱的第廿顛列量料4式1,洶工工月1(己桎大木#博)。Jn力含氧量第卓弱的標(biāo)志值中9配若口內(nèi)圖鼠聊口” 5工以1次的個(gè)標(biāo)

24、才值的簡(jiǎn)單笥術(shù)平自良由中苜跳恒川 333M歸F+KjJn 為奇物例5-9某工廠某班組11名工人生產(chǎn)產(chǎn)品零件數(shù)已按大小順序排好(見(jiàn)表5-8),求中位IK-8工人生產(chǎn)產(chǎn)品零件數(shù)工人。(序號(hào)b33，4,5.口81b牛r零件x(件上15儕1120,22 /然23.24.25；2%3a中位數(shù)的位置=(n+1)/2=(11+1)/2=6中位數(shù)為第6號(hào)位置的零件數(shù)，即:Me=X6=22件如果項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，即假如上例尚有第12號(hào)工人，其生產(chǎn)零件數(shù)為31件，則：中位數(shù)的位置 =(n+1)/2=(12+1)/2=6.5即中位數(shù)在第 6號(hào)、第7號(hào)兩位置中間，即:Me=(X_6+X_7)/2=(22+23)/2=22.

25、5(件)根據(jù)單項(xiàng)分組數(shù)列資料確定中位數(shù)的方法是，次數(shù)累計(jì)到一半時(shí)所對(duì)應(yīng)的變量值即中位例5-10某工廠某工段工人按日生產(chǎn)零件數(shù)分組資料見(jiàn)表5-9,求中位數(shù)。57工人按日生產(chǎn)零件物分組資料我日午產(chǎn)岑書數(shù)外蛔 仲H卜工人也 (APn下累(人卜口上索取(人卜70*10 1 (K1002L，20.30490.出J0-6W75232Qp452415#95.，20.25.山1005/ft it100.累計(jì)總?cè)藬?shù)一半(100 +2=50)在日生產(chǎn)零件為22件的這一組中，所以其中位數(shù)為22件。如果根據(jù)組距數(shù)列資料來(lái)確定中位數(shù)，則比較復(fù)雜。例5-11現(xiàn)用表5-7的資料來(lái)說(shuō)明中位數(shù)的確定方法。確定中位數(shù)的具體步驟見(jiàn)

26、表5-10。R民按人均純收入額分鯉1累計(jì)次數(shù)表或戶范.I累廿次SHPN*人分31元%口下舊t漳a 下）*計(jì)/1 coo nr44，441 000，1 000-7 OOMT91123967 000-3 00023$3598小260*B4U4 OGO-5 000-223 - 8aa511t上限公式為：Me=U尋公式121第六節(jié)正確計(jì)算和運(yùn)用平均指標(biāo)的原則正確計(jì)算和運(yùn)用平均指標(biāo)來(lái)分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，應(yīng)該遵循以下幾項(xiàng)原則：（一）必須注意所研究社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的同質(zhì)性同質(zhì)性，就是社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的各個(gè)單位在被平均的標(biāo)志上具有同類性。各單位之間的差別，僅僅表現(xiàn)在數(shù)量上，被平均的只是量的差異。馬克思指出：“平均量始終

27、只是同種的許多不同的個(gè)別量的平均數(shù)。”如果各單位在類型上是異質(zhì)的 ，特別是從社會(huì)關(guān)系來(lái)說(shuō)存在根本差 別，這樣，平均數(shù)不僅不能說(shuō)明事物的本質(zhì)和規(guī)律性，反而會(huì)歪曲事實(shí)，掩蓋真相，抹煞現(xiàn)象之間的本質(zhì)差別，它只能是“虛構(gòu)的”平均數(shù)。在計(jì)算和應(yīng)用平均指標(biāo)分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象時(shí)，最常見(jiàn)的錯(cuò)誤是違背同質(zhì)性原則 ，即把不同質(zhì)的事物當(dāng)作同質(zhì)總體求平均數(shù)。（二）必須注意用組平均數(shù)補(bǔ)充說(shuō)明總平均數(shù)根據(jù)同質(zhì)總體計(jì)算的平均數(shù)是總平均數(shù) ，它說(shuō)明總體各個(gè)單位的一般水平 ，在統(tǒng)計(jì)分析 中有重要作用。但是，僅看總平均數(shù)還不能全面說(shuō)明總體特征，因?yàn)榭傮w單位之間還存在其他 一些性質(zhì)上的差別，有時(shí)被總平均數(shù)所掩蓋。 為揭示一些重要差別

28、，還必須注意各單位在性質(zhì) 上的差別對(duì)總平均數(shù)的影響作用，即需要按反映重要差別的標(biāo)志把總體單位分組 ，計(jì)算組平 均數(shù)，以補(bǔ)充說(shuō)明總平均數(shù)。例如 ，某地甲、乙兩村糧食產(chǎn)量情況見(jiàn)表 5-11。表5-11某地甲、乙兩村糧食廠量情況表分。甲機(jī)Z引千中產(chǎn)（千克、總產(chǎn)L5千釉1千克，1對(duì)*（，卜避良卜博卜10-4-3;1芭4QQ150-4%34.00*3有口 g皿505400&OOD120.3090.007 500.早收一必40-108.0015 00090-125.162.00.iaooa合乙isa10心1G6.399 240就通1009 0 6 M日 500.（三）必須注意應(yīng)用分配數(shù)列補(bǔ)充說(shuō)明平均數(shù)平均

29、數(shù)的重要特征是把總體各單位的數(shù)量差異抽象化，掩蓋了各單位的數(shù)量差別及分配狀況，因此，要用分配數(shù)列來(lái)補(bǔ)充說(shuō)明平均數(shù)。例如，某重型機(jī)器廠的一個(gè)附屬零件加工廠有120名工人，第三季度平均日產(chǎn)零件44.8件，在第四季度由于實(shí)彳T新的激勵(lì)機(jī)制,平均日產(chǎn)量 發(fā)生了很大變化，日產(chǎn)零件達(dá)到46.8件。為了更好地分析這種變化，需要和分配數(shù)列結(jié)合（見(jiàn) 表 5-12）。表5-12某零件加工廠按日產(chǎn)零件數(shù)分組表技日產(chǎn)零件苴分物（冷，（件1若31工人得（人卜第二季置第國(guó)享良3971-41b15541-43.仍茹，10.43-45.3必4 s一 446維2配4 了T小倡494打5510.2061-53-52-5-10fr

30、it，1?0.170-（四）必須注意一般與個(gè)別相結(jié)合，把平均數(shù)和典型事例結(jié)合起來(lái)任何事物的發(fā)展都是不平衡的，在同一總體中，既有先進(jìn)部分，也有后進(jìn)部分，不能滿足 于一般狀況。如果在分析研究時(shí) ，只掌握一般情況而忽視個(gè)別情況 ，不注意發(fā)現(xiàn)先進(jìn)，找出后 進(jìn)，促使后進(jìn)轉(zhuǎn)化，就會(huì)犯錯(cuò)誤。所以，為了全面深入地認(rèn)識(shí)事物，在應(yīng)用平均數(shù)時(shí)，需要結(jié)合 個(gè)別的典型事物，研究先進(jìn)和落后的典型，發(fā)現(xiàn)新生事物，加以總結(jié)和推廣，推動(dòng)事物的發(fā)展第七節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)一、標(biāo)志變異指標(biāo)的概念和作用,在比較不同空間和時(shí)間上的情況時(shí)能消除規(guī)（一）標(biāo)志變異指標(biāo)的概念平均指標(biāo)確實(shí)能反映某種事物的一般水平模大小的影響, 是衡量其差距的重要指標(biāo)

31、。但只依據(jù)平均指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)事物的優(yōu)劣遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,因?yàn)榭傮w內(nèi)部各單位標(biāo)志值具有差異, 有高低、 大小、 多少之別。就總體而言, 平均數(shù)背后隱藏最大值與最小值之間的差距, 有的差距不大, 有的則相差非常懸殊。總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值差距懸殊的平均數(shù)就掩蓋著尖銳的矛盾, 讓人們感到不真實(shí)。在現(xiàn)實(shí)生活中, 此種事例很多。所以 , 在反映具體問(wèn)題時(shí), 除了列出總平均指標(biāo)外, 還應(yīng)把總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值中最大值、最小值及其差距擺出來(lái), 要列出平均差異大小和差異的相對(duì)程度, 即要測(cè)定標(biāo)志變異指標(biāo)。標(biāo)志變異指標(biāo)是反映統(tǒng)計(jì)數(shù)列中以平均數(shù)為中心, 總體各單位標(biāo)志值的差異大小范圍或離差程度的指標(biāo), 也稱標(biāo)志變動(dòng)度。標(biāo)志變異

32、指標(biāo)是社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象數(shù)量關(guān)系所具有的重要特征之一 , 它是客觀過(guò)程中多種因素制約的結(jié)果。如果說(shuō)平均指標(biāo)說(shuō)明分配數(shù)列中變量的集中趨勢(shì) , 那么標(biāo)志變異指標(biāo)則說(shuō)明變量的離中趨勢(shì)。在研究現(xiàn)象總體數(shù)量一般水平特征時(shí), 僅用平均指標(biāo)說(shuō)明是不夠的, 應(yīng)該既看到總體的集中趨勢(shì), 又看到總體的離中趨勢(shì), 才能全面認(rèn)識(shí)總體的數(shù)量特征。所以, 要把平均指標(biāo)與變異指標(biāo)結(jié)合起來(lái)運(yùn)用。（二）標(biāo)志變異指標(biāo)的作用在統(tǒng)計(jì)分析研究中, 標(biāo)志變異指標(biāo)的作用, 可以概括為以下幾點(diǎn):1. 標(biāo)志變異指標(biāo)可以衡量平均數(shù)代表性的大小。2. 標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過(guò)程的節(jié)奏性和均衡性。3. 標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映總體單位標(biāo)志值的均勻性

33、和穩(wěn)定性。4. 標(biāo)志變異指標(biāo)是科學(xué)地確定必要的抽樣單位數(shù)應(yīng)考慮的重要因素（ 詳見(jiàn)第八章） 。二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及其計(jì)算方法（一）變異全距變異全距是指總體各單位標(biāo)志值中最大值與最小值之差, 簡(jiǎn)稱全距, 又稱極差。其一般計(jì)算公式為:變異全距=最大標(biāo)志值-最小標(biāo)志值 公式 5-13具體計(jì)算時(shí), 要依資料條件而定, 如根據(jù)未經(jīng)整理分組的統(tǒng)計(jì)資料, 則可直接觀察找出最大值與最小值, 然后相減即得變異全距。如系單項(xiàng)分組資料, 可找出最大值與最小值, 然后相減即可求得。例如, 根據(jù)某工廠某工段工人按日生產(chǎn)零件分組資料（ 見(jiàn)表 5-9）, 可計(jì)算變異全距為5 件 （25-20） 。如果為組距數(shù)列, 其變異

34、全距則通過(guò)下式計(jì)算:變異全距=最高組的上限-最低組的下限公式 5-14例如，表5-12 是組距式分組數(shù)列資料, 最高組為5153 件組 , 上限為 53 件 , 最低組為3941件組，下限為39件，則變異全距為：變異全距=53-39=14（件）這個(gè)計(jì)算結(jié)果是近似值，因?yàn)樽畲笈c最小標(biāo)志值是以最高組上限和最低組下限代替的。（二）平均差平均差是各標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的平均數(shù)。由于各標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的離差總和恒等于零，因此，在計(jì)算平均差時(shí)，采取離差的絕對(duì)值來(lái)計(jì)算。平均差實(shí)質(zhì)上是 以算術(shù)平均數(shù)為中心，各標(biāo)志值距平均數(shù)的平均距離。平均差的計(jì)算由于依據(jù)的資料條件不同，可分為簡(jiǎn)單算術(shù)平均差和加

35、權(quán)算術(shù)平均差兩種。1 .如果掌握的是未經(jīng)分組的（原始數(shù)列）資料，則采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均差。其計(jì)算公式為AD.當(dāng)曲公式5-151式中:A.D.為平均差；其他符號(hào)含義同前。例5-12某工廠某車間兩個(gè)班組工人白每人日產(chǎn)某種零件數(shù)，未經(jīng)分組的資料見(jiàn)表5-13,求平均差。第-SQC-60K第二期（X=60L日產(chǎn)一離和離差更H產(chǎn)融.離和IX-Xk心ix-xp弟4550-加如15.51/-g.務(wù)-30-52-8.8掙電53*-7J7SD.-1D12V90,90(k12.144.120603 600-7313一169.-P9 9叫&#二?482.加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差。如果占有的資料是分組數(shù)列，則計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)采用下列公式姿當(dāng)

36、公式熱呵例5-15根據(jù)表5-14的資料列標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表如下（見(jiàn)表5-16）:Xf 9 050工廠1 000=9.05(箱卜*hA再差平方+XrxtX-X.(X-xA(X-Xft方1。小70山-2 g4.2425,420.250p8*25Q.2 000-1 05.1JQ25-275.625，%300,2 700-0.050,0025.0.750-10.200-2 00009，0,9026180.500/1V150.1 6501.95.，3.802 輸570.37次臺(tái)*1 000g 0501 44 7.500.例5-16以農(nóng)民家庭收入情況資料為例，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差白計(jì)算方法（見(jiàn)表5-17）。表5-17農(nóng)民家庭收入標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算資料表#衣F徑人肯第人翻 分機(jī)元MtP9-鬢中一 （元*區(qū)=3513卜口差平方舉鬻不平萬(wàn)，、 票我IPXq心;炸X歷tX-Xfpa-x)r .100口口卜4%72