第六章分析力學(xué).

1、第六章分析力學(xué)引言：到現(xiàn)在為止，我們所討論的力學(xué)問題都是采用牛頓的方法來處理的，因此就稱它為牛頓力學(xué)。力學(xué)問題除了用牛頓力學(xué)的方法處理之外，也可以應(yīng)用拉格朗日和哈密頓的方法來處理，應(yīng)用拉格朗日和哈頓方法處理的力學(xué)問題通常就稱它為分析力學(xué)。分析力學(xué)這個名稱實際上正是沿用了拉格朗日原著的名稱。拉格朗日分析力學(xué)這本著作是在1788年寫成的。全書根據(jù)一個虛位移原理，用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析方法來處理所有的力學(xué)問。全書自始至終沒有用到過一張圖，拉格朗日本人曾經(jīng)以此而感到非常滿意和十分驕傲。但是， 我們要注意，并 不要以為“沒有一張圖” 就能反映出它的最大優(yōu)點，作為我們做作業(yè)的仿效依據(jù)，那是不行的。實際上在現(xiàn)代科

2、學(xué)技術(shù)中，圖是一種必不可少的工具，不要認(rèn)為科學(xué)家所用的方法就占絕對的優(yōu)勢，而一成不變，因為有些內(nèi)容、結(jié)果，往往要受到當(dāng)時歷史條件、科學(xué)技術(shù)等其 他因素所限制。所以，我們今后在做分析力學(xué)部分的題目時，該畫的圖還是要畫的，不要認(rèn)為大科學(xué)家拉格朗日都不畫圖，那么我也以不作圖而引以自豪，這種自豪是 至于，到 底什么叫分析力學(xué)，沒有一本書上，對它有確切的定義。根據(jù)我的理解主要是從研究的手段 來區(qū)分。由于，牛頓力學(xué)：在求解力學(xué)問題時，用的是幾何方法和分析方法相結(jié)合的手段。而分析力學(xué)：主要是應(yīng)用了廣義坐標(biāo)，用廣義坐標(biāo)作為描寫機械運動的獨立變量。它的很大優(yōu)點之一，是在于它從方程組中巧妙地消去了約束，減少了方程

3、組中未知量的個數(shù)，從而 簡化了大量的數(shù)學(xué)運算， 于是也就提高了解題的效率。這一點在我們今后學(xué)了分析力學(xué)之后就會體會到。有些力學(xué)題目用牛頓力學(xué)的方法去解很難，很費勁，一旦用分析力學(xué)的方法去求解，就會顯得很容易。甚至牛頓力學(xué)所無法求解的一些復(fù)雜的力學(xué)問題，然而應(yīng)用分析力學(xué)的方法，常常可以通過比較簡單的途徑得到解決。分析力學(xué)的優(yōu)點不僅在于使許多力學(xué)問題的求解相當(dāng)容易，而且在應(yīng)用和理論方面也起著橋梁作用。用處：它們的用處所涉及的方面有：工業(yè)上的自動控制、工程技術(shù)、理論上的天體力學(xué)、量子力學(xué)、統(tǒng)計力學(xué)以及電動 力學(xué)等等各個方面。當(dāng)然分析力學(xué)的發(fā)展與其他理論基礎(chǔ)也是分不開的。比如：分析力學(xué)中的哈密頓原理，

4、實際上就是根據(jù)光學(xué)中的費馬原理6 Jnds = 0想到而引伸到力學(xué)中來，這光學(xué)n Jnds = 0波動方程分析力學(xué)L Ldt =0?條費馬原理能夠很好地解釋了光的直射、折射和反射問題，它代表了光的粒子性。光學(xué)上的波動方程代表了光的波動性。光的波粒二象性早在十九世紀(jì)已被人們所認(rèn)識。在光學(xué)上既然光具有波粒二象，那么在力學(xué)上研究的實物也就是實物粒子是否也具有像光那樣的波粒二象性，是否也有描寫實物粒子波動性的波動方程呢？在1924年德布羅意他總結(jié)了光學(xué)理論上關(guān)于光的波粒二象性爭論的經(jīng)驗，大膽地提出了實物粒子也具有波動性的假設(shè)，并且以此而獲得了諾貝爾獎金。后來薛定謂在此前提的思想支配下，推出了描寫微觀粒

5、子波動性的薛定謂方程，從而建立量子力學(xué)這一專門理論。因此說分析力學(xué)不僅是研究其他理論的橋梁，而理論本身的發(fā)展又和其他理論有著緊密的聯(lián)系。這不僅僅是分析力學(xué)如此，其他理論物理也是如此。 實際上，分析力學(xué)的理論內(nèi)容是很廣的，我們本章僅僅以拉格朗日方程和哈密頓原理為主體來介紹分析力學(xué)的初步知識?，F(xiàn)在先介紹關(guān)于分析力學(xué)常用的一些基本概念。§1、約束與廣義坐標(biāo)一、約束：關(guān)于約束這個概念在前面已經(jīng)有過接觸，但是在分析力學(xué)中對約束這個概念有更加明確的定義，并且對它加以明確的分類。1、定義：凡是強加在體系上而限制其運動(幾何位置，速度)的條件，就定義為約束。約 束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式就稱為約束方程。這里

6、對運動的限制，它包括對幾何位置和運動速度的限制。假設(shè)力學(xué)體系由n個質(zhì)點組成，一般地講，加于體系的約束，不僅限制各質(zhì)點的位置， 而且還限制它們的速度，這些限制條件還可能隨時間而改變。因此，約束方程的普遍形式表""""saa* 4不為：f y(x1ylz1, 1 xn ynzn, x1, y1, z1 xn, yn, zn;。=0,或簡寫為： f?(r,r t) = 0 , r=1,r2rn?，F(xiàn)在就各種情形對約束加以分類，約束首先可以分為完整約束和不完整約束。2、約束的分類：(1)完整與不完整約束：如果在約束方程中不包含速度：fy(5,t)=0,這樣的約束就

7、稱完整約束，完整約束又叫幾何約束，如果在約束方程中包含速度(而且不能積分的)，就稱為不完整約束。因為不完整約束含有坐標(biāo)微分，所以又稱它為微分約束或者運動約束。凡是只受有完整約束的力學(xué)體系叫完整系。反之，所受的約束方程中存在速度，就稱為不完整系。以后，我們只限于討論完整系的力學(xué)問題。根據(jù)約束對時間的依賴性來區(qū)分的話，約束又可分為：(2)穩(wěn)定約束與不穩(wěn)定約束 ：它的區(qū)分要看約束方程中有沒有時間t,如果約束方程中顯含時間t就是不穩(wěn)定約束；反之，如果不含時間t就是穩(wěn)定約束。完整的穩(wěn)定約束方程可以表示為：fKxMZi,XnynZn)：。例如：吹肥皂泡時，泡上有一小蟲沿泡面運動。如果肥皂泡的半徑隨時間t作

8、線性增加:r = a + bt。若取泡的中心為原點，顯然這個泡面就是約束小蟲運動的約束面，所以其約束方程為一2222f(x,y,z,t) = x +y +z -(a+bt) =0。約束萬程顯含時間t,所以小蟲所受的約束是不穩(wěn)定約束。如果肥皂泡的半徑既不增大也不縮小，那么約束方程就變?yōu)椋篺(x,y, z) =x2 + y2 +z2 -a2 = 0,不含時間t,此時小蟲所受的約束就是穩(wěn)定約束。約束還可分為：(3)可解約束與不可解約束 ：質(zhì)點可離開約束面的約束-叫做可解約束。完整的可解約束方程的一般形式為：f (r：t)豐0。反之，如果質(zhì)點不可脫離約束面，這樣的約束就叫做不可解約束，完整的不可解約束

9、的約束方程是用等( )號來表示的，即：f(r,t)=0 不可解約束方程。例如：有一質(zhì)點它可以脫離開球面在球內(nèi)、外運動，這種約束是可解的。下面我再舉個例子，讓大家來判斷它是什么約束。例：有一質(zhì)點受有約束，其約束方程為：y2 =2px ,由此約束方程可見這種約束應(yīng)該是屬于那種約束？這種約束是完整的、穩(wěn)定的不可解約束。又譬如約束方程為：x2. y2. z2(a +t0/ f 0。這種約束顯然是完整的、不穩(wěn)定的可解約束。二、廣義坐標(biāo)：引出廣義坐標(biāo)的出發(fā)點是質(zhì)點組。由于一個自由質(zhì)點在空間的位置，需要用三個獨立坐標(biāo)來確定。那么，對由 n個自由質(zhì)點組成的質(zhì)點組來說，確定該自由質(zhì)點組位置的3n個坐標(biāo)當(dāng)然也是獨

10、立的。但是在許多實際問題中，質(zhì)點組的運動總是要受到某種約束，質(zhì)點組的運動由于受到約束， 從而就會使得確定質(zhì)點組位置的獨立坐標(biāo)數(shù)目就會減少。例如：單擺的運動就是一個受約束運動的簡單例子。單擺的運動我們可以將它看作為一個質(zhì)點m的運動。由于這個質(zhì)點即擺錘的運動，它受到了平面和擺長的限止，因此就被約束在一條圓弧曲線上 運動，此時就用不著要二個坐標(biāo)確定它的運動位置，而只要一個參變量0就完全可以確定它又如下圖所示的平面雙擺機的運動位置了，顯然這個質(zhì)點由于約束它的獨立坐標(biāo)只有一個。構(gòu)我們可以將它簡化為由兩個質(zhì)點m1和m2組成的質(zhì)點組。由于約束該質(zhì)點組的運動位置,我們只要用兩個獨立的參量 g和中就完全可以確定

11、，也就是說確定雙擺運動位置的獨立坐標(biāo)只有兩個。于是我們由此而得出一般的定義。1、定義：凡是以描寫質(zhì)點組位置所需最少的一組參量，就叫做廣義坐標(biāo)。(1)廣義坐標(biāo)的符號一般都采用 q來表示，a= 1,2,s,如果有s個廣義坐標(biāo)，那么下足標(biāo) “就取 到s為止。另外，我們要注意到2、廣義坐標(biāo)它概括了各式各樣的坐標(biāo)，也包括我們以前的直角坐標(biāo)，在力學(xué)中，可以是長度，也可是角度。這里的長度包括的不僅僅是直線的長度，也可以是曲線的長度。 但是在力學(xué)上體積是不能當(dāng)作廣義坐標(biāo)，在“熱統(tǒng)”中卻稱它為廣義坐標(biāo)，它是套用了理論力學(xué)的術(shù)語。3、廣義速度：在一般的情況下廣義坐標(biāo)可以是時間t的函數(shù)，即qa = qa(t),因此

12、廣義標(biāo)對時間t的一階導(dǎo)數(shù)就叫作廣義速度：qa=廣義速度。三、自由度：現(xiàn)在講一下自由度的概念，在分析力學(xué)中引入自由度的目的是為了討論廣義坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系。假設(shè)由 n個質(zhì)點組成的質(zhì)點組，確定其位置的共有3n個坐標(biāo)，受有K個完整約束，因此有 K個完整約束方程：fM；t)=0, v =1,2 -k。此時，3n個坐標(biāo)中只有s=3n-k個是獨立的-這些獨立坐標(biāo)也就是體系的自由度。一旦質(zhì)點組的廣義坐標(biāo)選定以 后，組中每個質(zhì)點的直角坐標(biāo)都可以表示成為廣義坐標(biāo)及時間的函數(shù)。即Xi =x(qi,q2 qs,t)yi=yi(q1，q2 , qs,t)i=i,2,3? q是獨立的廣義坐標(biāo)。Zi =乙（0 qs,t

13、）因為我們所討論的力學(xué)體系都是完整的約束體系，在完整約束的情況下，這些廣義坐標(biāo)都是獨立的。在這里還附帶地提一下，在不完整約束的情況下，由于速度不能積分，系統(tǒng)還受有微分約束的限制，所以在不完整約束的情況下廣義坐標(biāo)是不獨立的。下面我們?nèi)匀灰云矫骐p擺為例，看看在具體的問題中廣義坐標(biāo)如何選取，以及如何尋找廣義坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系。如圖所示，我們設(shè)擺錘mi和m2在直角坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)分別為：(Xi,yi,zi)和(X2,y2,Z2),共有六個位置坐標(biāo)。在這個問題里，坐標(biāo)系按圖上這樣取。由于平面雙擺 的運動是被約束在xy平面上的運動所以由此就可得到 兩個約束方程為：Zi=0, Z2=0。另外，雙擺的運動

14、還受 到擺長的約束。如果已知兩擺的擺長為li和 小由此又 可得到兩個約束方程為 ：222222Xi +y =i；(X2 - Xi) +(y2-y1)=)，共有四個約束方程，六個減去四個等于兩個，所以雙擺的自由度只有二個。因此，在這個問題中獨立的廣義坐標(biāo)也就只有二個，這里我們就取兩擺分別與垂直線的夾角 。和平為廣義坐標(biāo)，即qi= 0, q2=*。于是可以得到直角坐標(biāo)與廣義坐標(biāo) 的關(guān)系為：Xi=11sin 0Y i= icos 0要注意廣義坐標(biāo)選法不是唯一的,X2= ( sin + r2 sin 中丫2= '1 COS+ f2 COS中我們也可以不這樣取，不過也沒有一定的法則，要看具體問題

15、的性質(zhì)和方便來選取的。但是在完整約束的情況下，所選取的廣義坐標(biāo)必須是獨立變化的。接下去再簡單提一下分析力學(xué)中常常要出現(xiàn)的一個術(shù)語一一即分析力學(xué)中的一個抽象的概念：位形空間(這個概念后面討論哈密頓原理時將要用到)。四、位形空間在分析力學(xué)中研究的對象一般均指由n個質(zhì)點組成的力學(xué)系統(tǒng)，由 n個質(zhì)點集合而成的系統(tǒng)也就是我們前面所講的質(zhì)點系。我們知道每個質(zhì)點在空間都占有一個位置，那么系統(tǒng)中各個質(zhì)點在空間的位置的集合就稱作為系統(tǒng)的位形。1、位形：系統(tǒng)各質(zhì)點在空間的位置的集合?？梢娢恍问且粋€表示系統(tǒng)中各質(zhì)點的位置 分布所構(gòu)成的幾何形象。在三維物理空間描寫位形是很不方便的，因此為了便于描寫位形， 在分析力學(xué)中

16、就引入了位形空間這一個抽象空間的概念。所謂的位形空間就指2、位形空間：是用來描述任意系統(tǒng)位形的抽象空間，在這個空間中的任一點代表系統(tǒng) 的某一位形引入位形空間得目的是在于把復(fù)雜系統(tǒng)的位形或運動狀態(tài)和多維空間中的點建 立一一對應(yīng)的關(guān)系，通過這種幾何類比的方法可以將復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)現(xiàn)象用幾何的語言加 以高度集中與概括，以便于抓住各種不同系統(tǒng)的力學(xué)現(xiàn)象之間的共同本質(zhì)。它是分析力學(xué)中研究系統(tǒng)運動的輔助手段。為了幫助我們理解位形空間這個概念，下面從大家熟悉的一個 質(zhì)點的運動開始討論。大家都知道，研究一個質(zhì)點的運動便構(gòu)了三維物 理空間中的力學(xué)問題。也就是說要描述一個自由質(zhì) 點在空間的位置，需要建立三維空間坐

17、標(biāo)，也就是 說質(zhì)點在三維空間中的任一位置就用三個坐標(biāo)來表 示。如左圖1.那么研究兩個質(zhì)點的運動時，當(dāng)然可 以將每一個質(zhì)點分別用三個坐標(biāo)來描述，這仍然是 處于三維空間中研究。除此之處，我們可以將它看 成是六維空間中的“一個質(zhì)點”的運動。進一步推而廣之，我們也可以將n個自由度的系統(tǒng)的運動看成是 n維空間中“一個質(zhì)點”沿著一條軌道的運動。這n維空間也就是位形空間。這種空間當(dāng)然不能像三維空間那樣確切地畫出來，個n維空間中的一個點，M在位形空間中代表系統(tǒng)的點就稱它為位形點。如果系統(tǒng)的位置由只能去想象它，所以說它是個抽象的概念。為了便于理解我們可以畫出它的示意圖（如下圖閏二似制丐同廣義坐標(biāo)qi,q2?n?

18、i定，那么在位形空間內(nèi)， 代表點M的坐標(biāo)是qi,q2?系統(tǒng)在實際空 間中由某一個位形連續(xù)變化到另一個位形的運動過程反映在位形空間中就是代表點M由M1連續(xù)變化達(dá)到另一點 M2所形成的一條曲線，這條曲線就稱作為位形軌跡或位軌線。仿照三x =x(t)維空間中一個動點的軌道參數(shù)方程的形式：Jy =y（t）z =z（t）可以將位形空間的位軌線表示為：qi=qi（t） , q2=q2（t）?qn=qn（t）,這些方程其實就是分析動力學(xué)方程的解。關(guān)于位形空間這個概念就簡單地介紹到這里。由此可見，引入位形空間可以使系統(tǒng)的復(fù)雜運動簡化為n維空間的一個質(zhì)點的運動來研究。爻、虛功原理我們所學(xué)習(xí)的分析力學(xué)， 當(dāng)然也屬

19、于經(jīng)曲力學(xué)， 它與牛頓力學(xué)不同的地方只是研究手段的不同。用廣義坐標(biāo)建立經(jīng)典力學(xué)方程的思路一般為：先從靜力學(xué)入手給出： 虛功原理和達(dá)朗伯原理，將虛功原理和達(dá)朗伯原理結(jié)合起來就可推出達(dá)朗伯拉格朗日方程一由此方程再推出第二類拉格朗日方程一接下去就是講哈密頓正則方程一哈密頓原理一再到正則變換一最后建立起哈密頓-雅可俾方程。下面我們也就按這條路徑來走。虛功原理其實也叫做虛位移 原理。一'、虛位移由于虛功原理與虛位移有關(guān)。而虛位移卻是由于約束并且跟約束有關(guān)的概念。（虛位移這個概念的引入，是為了進一步反映力學(xué)方程受有完整約束的性質(zhì)。那么，什么叫虛位移呢？）一個質(zhì)點組如果受有某種約束，那么，我們就把符

20、合約束條件的假想的位移，叫做虛位移，用6 r表示。虛位移和我們以前運動學(xué)中講的真實位移是完全不同的概念，在這里為了與虛位移區(qū)分，我們將真實位移簡稱為實位移實位移：是經(jīng)過dt時間以后質(zhì)點真正的位移，它是一個與質(zhì)點所經(jīng)歷的時間有關(guān)的位移。而虛位移卻與它完全不同，因為虛位移，只是符合約束條件的（1）假想的位移，（2）它不需要時間，它與質(zhì)點所經(jīng)歷的時間 t無關(guān)，它只取決于質(zhì)點在某時刻的位置和加在它上面的約束。既然虛位移與時間無關(guān)，所以虛速度是沒有的，當(dāng)然也就談不上實速度與虛速度之分了。還有（3）根據(jù)虛位移應(yīng)滿足的條件可知，虛位移可以有好多個，而實位移只能有一個。 在穩(wěn)定約束的情況下，實位移是虛位移當(dāng)中

21、的一個。（4）在不穩(wěn)定約束的情況下，虛位移和實位移可完全不同。例如，一質(zhì)點P被約束在運動著的曲面f （x, y, z,t） =0上，在t時刻的虛位移6 r ,必定在通過質(zhì)點在該時刻的位置P的切平面上，而t到t+dt時刻質(zhì)點的實位移 dF由于曲面的移動，既不在 t時刻曲面的切平面上，也不在t+dt時刻曲面的切平面上。而是如圖所示的情況，可見在不穩(wěn)定約束的情況下它們是不一致的。二、虛功原理：1、虛功：我們知道，力與位移的標(biāo)積就叫做力所做的功。很自然地想到，由于虛位移， 那么作用在質(zhì)點組上的力所做之功，就叫做虛功。我們就用6w來表示虛功，則6w = F ，6r-。有了虛功的概念，就可以給出2、理想約束的概念。如果作用于質(zhì)點組的約束力在任意虛位移中所作的虛功之和等于 零，那么這種約束 就稱為理想約束。因此，理想約束必須滿足的條件是：N Ni石=0。例如光滑曲面、光滑曲線、光滑較鏈、剛性桿、不可伸長的繩子