求圓錐曲線(xiàn)離心率的幾種方法

1、關(guān)于橢圓離心率22設(shè)橢圓x2冬 1 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,如果 a b橢圓上存在點(diǎn) P,使 F1PF2 90 ,求離心率e的取值范圍。解法1:利用曲線(xiàn)范圍設(shè) P (x, y),又知 Fi ( c, 0) , F2 (c, 0),則FiP (x c, y), F2 P (x c, y)由 F1PF2 90 ，知 FiP F2P,則 F1P F2P 0,即(x c)(x c) y20222付xy c將這個(gè)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y,可解得2 22 22 a c a bx2-2a b2 22, 2a c a b但由橢圓范圍及 F1PF2 902ab2,即 c22222可得a

2、c c a從而得e c 型，且e £ 1a 2a一 .2所以e , 1)2解法2:利用二次方程有實(shí)根由橢圓定義知IPF1I IPF2I 2a g2 IPF2I2 2嚴(yán)1|吟 4a2又由 F1PF290 ,知22_22|PFi| 吟 |舊 4c則可得 |PF1|PF2| 2(a2 c2)這樣，|PF1|與|PF2|是方程u2 2au 2(a2 c2) 0的兩個(gè)實(shí)根，因此224a2 8(a2c2)2c-2 a22-2因止匕e ，1)2解法3:利用三角函數(shù)有界性記PF1F2, PF2F1,由正弦定理有IPFilIPF2IIF1F2Isin sin sin 90叫吟sin sinIF1F2I

3、又IPF1I IPF2I 2a, IF1F2I2c,則有c 1e -a sin sin12 sincos22而0 | 90知 0 | 4522從而可信e 12解法4:利用焦半徑由焦半徑公式得|PFi| a ex, |PF2| a ex又由 |PF1|2 |PF2r |F1F2|2 ,所以有22222 22a 2cx e x a 2cx e x 4c222 c 22即 a e x 2c , x又點(diǎn)P (x,y)在橢圓上,222c a2e且x a,則知0x2 a2,即222c a2e, 2 八萬(wàn)，1)解法5：利用基本不等式由橢圓定義，有2a |PF1| |PF2|平方后得222_22_2_24a2

4、 |PF1|2 IPF2I2 2| PF1|PF2| 2(|PF1|2 IPF2I2) 2|F1 F2I2 8c2c212信一2" 2 所以有e , 1)解法6:巧用圖形的幾何特性由 F1PF2 90 ,知點(diǎn)P在以|F1F2| 2c為直徑的圓上。又點(diǎn)P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P故有 c bc2 b2 a2 c2，一2由此可得e , 1)2演練、直接求出a, c或求出a與b的比值，以求解ec2C2 a22在橢圓中，ea b2a1 .已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的離心率等于2 .已知橢圓兩條準(zhǔn)線(xiàn)間的距離是焦距的2倍，則其離心率為3 .若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為Fi(1,0

5、),F2(3,0),則橢圓的離心率為4 .已知矩形ABCDAB= 4, BC= 3,則以A B為焦點(diǎn)，且過(guò) C、D兩點(diǎn) 的橢圓的離心率為225.若橢圓與 J 1，(a b 0)短軸端點(diǎn)為P滿(mǎn)足PFiPF2,則a b橢圓的離心率為e一，126.已知, 2 1(m 0.n 0)則當(dāng)mn取得最小值時(shí)，橢圓 m n22-xy 32 1的的離心率為 m n227 .橢圓與 yy 1(a b 0)的焦點(diǎn)為Fi, F2,兩條準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交 a b點(diǎn)分別為M, N ,若MN & "1F2 ,則該橢圓離心率的取值范圍是8 .已知Fi為橢圓的左焦點(diǎn)， A B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上

6、的點(diǎn)，當(dāng) PhFiA, PO/ AB (O為橢圓中心)時(shí)，橢圓的離心率為22是橢圓 )+。=1 (a>b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)p F2是橢圓的左右焦點(diǎn)，已知 a bPFF2 , PFF 2 , F1PF2 3，橢圓的離心率為e 10 .已知Fp F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若PF1F215 , PF2F175 , 則橢圓的離心率為11 .在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為<2 ,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1,則該橢圓的離心率為 二、構(gòu)造a, c的齊次式，解出e1 .已知橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是2 .以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心作圓，使該圓過(guò)橢圓

7、的中心并且與橢圓 交于M N兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為 F1,直線(xiàn)MF與圓相切，則橢圓 的離心率是3 .以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) F為圓心作一個(gè)圓，使該圓過(guò)橢圓的中心O并且與橢圓交于 M N兩點(diǎn)，如果I MFI = I MO ,則橢圓的離心率是4 .設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1、F2,過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓 于點(diǎn)P,若1PE為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 5 .已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò) F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線(xiàn)交橢 圓于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若 ABE是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是三、尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。uuur uuur1 ,已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿(mǎn)足 MF1 MF2 0的點(diǎn)M總在 橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是2 .已知Fi、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且F1PF2 90 ,橢圓離心率e的取值范圍為3 .已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且F1PF260 ,橢圓離心率e的取值范圍為224 .設(shè)橢圓x2 1 1 (a>b>0)的兩焦點(diǎn)為Fi、F2,若橢圓上存在一 a b點(diǎn)Q 使ZF iQE=120o,橢圓離心率e的取值范圍為5 .在 ABC中，AB