河南科技大學(xué)數(shù)值分析(計(jì)算方法)期末試卷4及參考答案

1、河南科技大學(xué)數(shù)值分析（計(jì)算方 法）期末試卷4及參考答案河南科技大學(xué)2007至2008學(xué)年第二學(xué)期試卷二計(jì)算1.給定數(shù)據(jù)表：(15分)x12f(xi)23f (xi)0一填空(每空3分，共30分)共3(2)寫(xiě)出其插值余項(xiàng)，并證明之。3頁(yè)河 南 科 技 大 學(xué) 教 務(wù) 處(1)構(gòu)造Hermit插值多項(xiàng)式 H2(x),并計(jì)算f(1.5)。-1.在一些數(shù)值計(jì)算中，對(duì)數(shù)據(jù)只能取有限位表示，如J2%1.414,- - - -這時(shí)所產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為 。 - -一一一 ,密-2.設(shè) f(x)=x7x61 , f30,31 = ,f30,31,IH,37, f30,31,IH ,38=3. 5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯

2、公式代數(shù)精度是 。4. 求方程 x2 =cosx根的 Newton迭代格式為 。5. 設(shè) 2 = (1,3,0,2),則同產(chǎn)，“f2 1|Ik；aa=/ ,則 IAL=。5 4J2 .已知方程x2十ln x 4 = 0 ,取x0 =1.5 ,用牛頓迭代法求解該方程的根，要求 ,日-xk <1父10工時(shí)停止迭代。(10分)13 .確定求積公式 彳 f (x)dx 定 Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)中的待定參數(shù) A,B,C,x1 ,使其代數(shù)精度盡可能高，并指出其代數(shù)精度。(15分)試 卷B第 2頁(yè)共3 頁(yè)河 南 科技 大學(xué) 教 務(wù)一 .y = x y4.用Euler方法求解初值問(wèn)題 y

3、yly(0)=0取h = 0.1在區(qū)間0,0.3計(jì)算，結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后 4位。(10分)5.用LU分解法解線性方程組（10分）1 23Yx、14 '2 52x218<3 15 人X3 /<20.>第3頁(yè)共3頁(yè)河 南 科 技 大 學(xué) 教 務(wù) 處.證明（10分）試證明線性二步法:yn 1 = ynhf (Xn1, Yn 1) f %，丫口)的局部截?cái)嗾`差與h3同階，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。2007-2008-2數(shù)值分析 A標(biāo)準(zhǔn)答案填空1.舍入誤差4.2X - 8sxk xk 1 一人 一。c ;2xk sin xk2. 729, 1, 05. 6, 3,鼎,93. 5計(jì)算

4、1 .構(gòu)造重節(jié)點(diǎn)的差商表:nxy一階二階012112022311所以，要求的Hermite插值為:22H2(x) =2 (x-1) =x -2x 3f (1.5) : H 2(1.5) =2.25f ( )22 . R(x) =(x-1) (x-2)證明：由題意可知 R(x) = f (x) -H2(x) 由插值條件知：R(1) = 0,R，(1) = 0,R(2) =0,(#)所以，可設(shè)： R(x) =k(x)(x -1)2(x -2)構(gòu)造函數(shù)：(t) = f(t)-H2(t)-k(x)(t-1)2(t-2)易知:t=x,1,2時(shí),中(t)=0,且叫1) = 0= "(t)=0至少

5、有一個(gè)根 " 即=中Y) = 0對(duì)(#)式求三階導(dǎo)，并代入得：k(x)=fU3!所以，R(x)= f-(-(x-1)2(x -2)3!3 .解：設(shè) f (x) =x2+ln x-4,則 f'(x)=2x+1，x牛頓迭代公式為：黑xkl nxk - 42xk ix3 +5xk -xk I xk2x2 1將 x0 =1.5 代入上式，得 x1 =1.8667 , x2 =1.8412 , x3 =1.8411x2 -x3 =0.0001 <10所以，方程的近似根為:x3 =1.84114 .解：設(shè) f(x) =1 時(shí)，左=；f(x)dx=1 ,右=A+B+C ,左=右得：

6、A+B + C=1 f(x)=x 時(shí)，左=f(x)dx=1，= Bx1 + C ,左=右得：f(x)=x2 時(shí) 左=f f (x)dx =1 ,右=Bx12+C 左=右得: 03f (x) =x3 時(shí)，左二(f (x)dx =1 ,右=Bx:+C ,左=右得:1 Bx C =-221Bx12 C =一3Bx13 C =-42,C1,x1 =21f(x)=x 時(shí)，左=Jof(x)dx=g右=Bx14+C=",左#右25聯(lián)立上述四個(gè)方程，解得:所以，該求積公式的代數(shù)精度是35 .解：Euler公式是:Lyn 1 = yn hf (4, yn) .y(x。)= v。具體到本題中，求解的 E

7、uler公式是:Yn 1 = yn 0.1M -丫0)= 0.9丫0 0.% y(0) = 0代入求解得:y1 = 0y2 =0.01y3 =0.0295.解，設(shè)A可以三解分解，即A = LU1l21<l311l32u11 u12u22U13U23u33 J由矩陣的乘法及矩陣相等可得:1J231424 ,令Ux = y,則Ax =b可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等價(jià)的三角方程組：Ly =b,Ux求解三角方程組：Ly =b ,得：y =(14,-10, -72)-求解三角方程組：Ux = y ,得：x =(1,2,3)-所以，原方程組的解為:x =(1,2,3) 一三.證明證明：分別將yn，y；，yn4在處用Taylor公式展開(kāi)得：yn/= yn ynh+h2 h 3+o(h )3hfy；=y； - y；h *h2 o(h2)2!HFyn 1 = yn ynh 段 h2 o(h2)將以上三式代入線性二步法中，得：一 一 一yn 1 = yn ynh h h o(h )2!6又方程的真解的Taylor展式為：y (xn)