角函數(shù)的積化和差與和差化積

1、三角函數(shù)的積化和差與和差化積由一、課標要求：國利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積公式，但不要求記憶二、知識提要：國三角函數(shù)的積化和差公式： 由cos G sin夕二!回11(4+戶I+£1口(值一歷一p- ysin(cr+ p) 歷一COS Ugs #=最33(0：+(1) +cg(Q初.sin 值P= co£(£f-|- m - CCS(OJ-()積化和差公式是由正弦或余弦的和角公式與差角公式通過加減運算推導(dǎo)而得.其中前兩sin a;cos 6= sm(£r+ 5) +點口(口一 )1.個公式可合并為一個：.二'三角函數(shù)的

2、和差化積公式：sin iT + sin 戶= 2smsin of sin = 2 cosCOG C+CO£ =2 COS值十戶一 a- jSsin.224+5 acoscos。 cos g = -2 sin值十產(chǎn),a-jSsin-和差化積公式是積化和差公式的逆用形式，要注意的是:B a-其中前兩個公式可合并為一個：sin& + sin = =2 sin 2 cos -積化和差公式的推導(dǎo)用了 “解方程組”的思想，和差化積公式的推導(dǎo)用了 “換元”思 想.只有系數(shù)絕對值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運用公式化成積的形式，如果一個正弦與一個余弦的和或差，則要先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)

3、后再運用公式化積合一變形也是一種和差化積 .三角函數(shù)的和差化積， 可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用 .積化和差與積差化積是一種攣生兄弟，不可分離，在解題過程中，要切實注意兩者的交替使用.如在一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降哥公式，然后應(yīng)用和差化 積、積化和差公式交替使用進行化簡或計算.和積互化公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項或互約因式，從而利于化簡求值.正因為如此“和、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段.三、典型例題：由把下列各式化為和或差的形

4、式:111(J2cos(0d - 45* )sin(ce 4*45* j sin凸/&解：)2 cos(生-45° )sin(a + 450 )=antce-45* )*(至+ 45, ) -sm(a - 45s )-(直+ 45卡)=an2ctJan90Q = sin2 + 1工 11 4 cos2asin cd cog ct = - sin 2od + 221n、1 通=sin 2儀 + sin2在 cos 2a = sm 2直 4 an4g44482.求值：sin6 0 sin42 0 sin66 0 sin78 0 .閨解：法一sin6 ° sin42 &#

5、176; sin66 ° sin78-(co$6T 2-H *6一匚。與12T )1 1 1而十35(匚©061-(而 54* sin 18°16 44(如 54* sin 15e16 4-cos 36Q cos720 )sin 54"* sin 120 )=； 16- cos72" )(1 + g£36")-cos72c ) - cos 360 cos720法二sin6 ° sin42 ° sin66 ° sin78 °_ San6° cosS0 cosl20 cos21

6、° cos4802cqs 6 口sin 120 cos 12& cos240 cos48o=2cos6c一血口困。cos 240 cos4804 cos 60si"匿 8§4 匿sin 96"1=8cos6° = 16 g±6° = 16COS COS- + COS 2sin cof十 2cos-；-sin 十 2cos77772元6亦.2匯sin 772 sin 7_ 4冗 .6元.2霍 .Wk _ 4月 2ksin + iinsin + ansn-z_ - sm-z-77777 7.求值：cos24 °

7、2 sl 口亍-sin6 ° - cos72 ° 囹解：原式=(sin66 ° -sin6 ° )-cos72 ° =2cos36 ° sin30 ° -cos72=cos36 ° -cos72 ° =2sin54 ° sin18 ° =2cos36 ° cos722sin 360cos360coS720 sm 144口 1sin 350=2sni36 = 2.求 tan20 ° + 4sin20 ° 的值.上解 原式-血 200+4stn 20°

8、;cos200 _ sin, 200+2sin 400cos 200cos 20"(sin 20” 811141r)+sin 4002sin 30口8510°十3血40口cos 21ycos 20°sin 80°十sin 40* 2 dn 60flcos 200cos 20,1cos 2002一 500+而 gOKl + tanblPtaiilO。) 求值：J1 + sin 100囹2sin 50c + cosio4u 耶巴”T i cos 100 解：原式=Jl + c/lO。2汕50口+卜加1口”后in 1的2cos2 502 2 50口+2皿 4

9、口口V2 cos 502, 2,沏 450Mx5口_ 2V2 c<s 5°-1 - -sm3 24- sin3 S - co? A7,已知 sin(A+B)= $ , sin(A-B)= - 5 ,求值：4上解：原式二1 4 sin 22A- sin1 + cos 2A 22B-21=14 sin 22A- sin1 cos 2 A s 2A 1cos 2 A2B- 4 -2-4=之-sin 2B-2cos2B - cos 2A3412=2=sin(A+B)sin(A B)=$ x( 5)= 258!8.求 sin 2200 +cos2800 +T 3 sin20 0 cos8

10、0 ° 的值.由1- c6s400 1-pc<J2150° 斗， 口 -十十二 Rm W00 - sin 60。)解：原式二 2222昱 芻=1+2 (cos160 ° -cos40 ° )+ 2 sin100 ° -42走 )= 4-sin100 ° sin60 ° + 2 sin100 ° =49.試證：cos2(A-日)+cos 2(B -廿)-2cos(A-B)cos(A-8 )cos(B- 8 )的值與日無關(guān).I雷I證明：cos2(A- § )+cos 2(B -8)-2cos(A-B)cos(A- 爐)cos(B-日)1 + cos (A -26) 1 + gos(3B -29)二- -2cos(A-B)cos(A- - )cos(B9)=1+cos(A-B)cos(A+B-2 u )-2cos(A-B)cos(A-F )cos(B-")=1+cos(A-B)cos(A+B-2' )-2cos(A-曰)cos(B-二)=1+cos(A-B)cos(A+B-2 3)-cos(A+B-2 不)-cos(A-B)=1- cos