平面向量知識(shí)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)歸納定稿版

1、平面向量知識(shí)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)歸納精編WORD版IBM system office room A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8 5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算1 .向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量;向量的 大小叫做向量的長度（或稱模）平面向量是自由向量零向量長度為C的向量；其方向是任意 的記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向:非零向量N的單位向量為土 ,平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量位或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫 做共線向:相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比 較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反

2、向量為02 .向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的 運(yùn)算交換律：a + 6= 6+a. (2) 結(jié)合律：(a+ 為 + c=a+(6+ 0.減法求a與6的相反 向量一6的和的 運(yùn)算叫做4與6 的差b/a-b4三一三角形法則a b=a( b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)4與向 a的積的運(yùn)算|3=|川W; (2)當(dāng)20時(shí), M的方向與N的方向相同;當(dāng) 次()時(shí)，船的方向與a的方向擔(dān) 反;當(dāng)7=0時(shí)，久4 = 03 = (W)a；司 4(a+b) =3 .共線向量定理 向量wQRO)與6共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人使得b=U方法與技巧1 .向量的線性運(yùn)算要滿足三角形法則和平行四邊

3、形法則，做題時(shí)，要注意三角形法則與 平行四邊形法則的要素.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向 量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是 “起點(diǎn)重合”.2 .可以運(yùn)用向量共線證明線段平行或三點(diǎn)共線.如崩/乞力且與 8 不共線，則 AB II 8;若;方/瓦7,則X、B、C三點(diǎn)共線.失誤與阿范1 .解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向 量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2 .在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤.5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表

4、示1 .平面向量基本定理如杲 小g是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量N,有且 只有一對(duì)實(shí)數(shù) 八 不，使N=4a+4Q.其中，不共線的向量小6叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量加法、減法、數(shù)乘反向量的模設(shè) a=（s, 乂），6=（應(yīng),必則）+5=（5+鼻，也+丁2,a-b=（.Yi yy=（% 例）, |N|=Jd + /.向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).設(shè)且（汨，/1）, Bg %,則成=（豆邛，八一不）,I后I =弋咫_*+8一萬.3 .平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) N=（xi,，Z=（Az,后，其中 6力0爭

5、 6a/一尊=0.方法與技巧1 .平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解.向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵.2 .平面向量共線的坐標(biāo)表示兩向量平行的充要條件若a=（R,為，6=（*2,必 則a b的充要條件是a=Ab,這與汨及一切,=0在本質(zhì)上 是沒有差異的，只是形式上不同.三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求由三點(diǎn)組成的任兩個(gè)向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定.失誤與防范1.要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個(gè)向量 共線有方向相同、相反兩種情況.Xi V2,若2=（不，%），6=（雙，方，則a

6、M b的充要條件不能表示成一=二，因?yàn)殄?，先有可?xz yz等于0,所以應(yīng)表示為溝角一.年Fi = 0. 5.3 面向量的數(shù)量積1 .平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和, 它們的夾角為，則數(shù)量|a| |b|CQS，叫做w和b的數(shù)量積（或 內(nèi)積）,記作 a b= a |Z|cos規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是a /=（）,兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件 是 a b= /a/b/.2 .平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a . 6等于n的長度| a|與6在a的方向上的投影| bcos H的乘積.3 .平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)（l）e w=z - e= 21 c

7、os ；（2）非零向量 b, b=。；當(dāng)a與6同向時(shí)，Nb=/ab/；當(dāng)N與6反向時(shí)，a b= 6/, N ,幺=/，a =小 z；a , b（4）cos但南In b|_W_6/.4 .平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律z 6= 6 式交換律）；（2）（4 6=4。-6） = n 缶與口為實(shí)數(shù)）；S+e c= a c+b c.5 .平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量2=（不，%）, 6=（短，必 則N 6=更2土竺2，由此得到（1）若w=（x,力 則以|2=左+或|川=qy+/.設(shè)小私，3（雙，必 則4 5兩點(diǎn)間的距離I=Ll x+e-%2.設(shè)兩個(gè)非零向量a,瓦w =（工，坨,b= （a-2，必則

8、w_L %*+*=（）.方法與技巧1 .計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形 有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用.2 .求向量模的常用方法：利用公式|知2 =才，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算.3 .利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.失誤與阿范1 .（）與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：。2=（）*（），a+（a）=OR（）, a （）=（）*（）； （2）0的方向是任意的， 并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系.2 . a , 6=0不能推出n=0或6=0,因?yàn)閍 , 6=0時(shí)，有可能 5.4 面向量的

9、應(yīng)用1 .向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平 行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題.(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：，左= 出 b* 0)迎一引1=0.(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) b= Oxj.y；4- =0.求夾角問題，利用夾角公式a , b.x，+ %心COS仁麗=乒乒 s為w與b的夾角).2 .平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解與合成與向量的加法和減法 相似，可以用向量的知識(shí)來解決.物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力尸與位移s的數(shù)量積.

10、即W=F-s=F/scos H (“為尸與s的夾角).3 .平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯平面向量作為一個(gè)運(yùn)算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知 識(shí)結(jié)合，當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以 得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式.在此基礎(chǔ)上，可以解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù) 列的綜合問題.此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).方法與技巧1 .向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提， 運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問題.2 .以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的 一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決 這