從數(shù)學(xué)整體觀看

1、從數(shù)學(xué)整體觀看“同底數(shù)冪的乘法”的教學(xué)人民教育出版社章建躍一、教學(xué)內(nèi)容分析1內(nèi)容及其邏輯線索實(shí)踐中，我們經(jīng)常要通過建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。例如：一個(gè)長方形的蔬菜大棚的長比寬多2 m。為了擴(kuò)大生產(chǎn)，將長和寬各增加了3 m，從而將大棚的面積擴(kuò)大了39 m2。問：這個(gè)大棚原來的長和寬各多少米？設(shè)寬為x m，容易列出下列方程(x+3)(x+5)=x(x+2)+39。然后，我們用運(yùn)算律（特別是分配律）和等式的基本性質(zhì)（移項(xiàng)法則），把含有未知數(shù)的算式加以簡化，并最終確定未知數(shù)x所代表的值。從知識的發(fā)展過程看，完成上述簡化過程需要明確以下問題：第一，簡化算式的過程中，為什么可以針對未知數(shù)施行

2、數(shù)系運(yùn)算律？第二，簡化過程中，會(huì)遇到哪些運(yùn)算，其中最基本的運(yùn)算是什么？對于第一個(gè)問題，雖然在簡化過程中我們不知道未知數(shù)的值是多少，但它是一個(gè)數(shù)。因?yàn)閿?shù)系運(yùn)算律對于任何數(shù)都成立，所以對“未知數(shù)”也成立。這是非常直觀的，能被初一學(xué)生容易地理解。為了明確第二個(gè)問題，我們來分析一下可能的整式運(yùn)算。實(shí)際上，整式本身就是運(yùn)算的結(jié)果數(shù)與字母相乘所得的積叫做單項(xiàng)式，幾個(gè)單項(xiàng)式相加所得的和叫多項(xiàng)式，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。值得注意的是，整式中的數(shù)和字母都滿足運(yùn)算律。整式的運(yùn)算就是對數(shù)、字母符號運(yùn)用運(yùn)算律所進(jìn)行的形式運(yùn)算。前面已學(xué)的整式的加減就是利用分配律去括號后，通過合并同類項(xiàng)而完成的。兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，我們先

3、用分配律把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘積之和式來計(jì)算，而單項(xiàng)式的乘積則是用乘法的交換律、結(jié)合律和冪的運(yùn)算性質(zhì)（指數(shù)法則）來運(yùn)算。所以，多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)是單項(xiàng)式的乘法，而單項(xiàng)式的乘法又以冪的運(yùn)算性質(zhì)為基礎(chǔ)。那么，冪的運(yùn)算有哪些形式呢？通過歸納可以發(fā)現(xiàn)，最基本的形式是三類：aman，(am)n，(ab)n。有了這三類形式的運(yùn)算法則，任何多項(xiàng)式的乘法就都可以完成了。2需要研究的特例乘法公式數(shù)學(xué)中，研究特例具有特別的意義。一方面，一般性寓于特殊性之中，特例往往蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)對象的重要規(guī)律，對特例的研究是對數(shù)學(xué)對象性質(zhì)的認(rèn)識深化；另一方面，許多數(shù)學(xué)問題往往可以通過分類、特殊化等方法獲得解決，而特例在其中扮演了分類標(biāo)準(zhǔn)

4、、轉(zhuǎn)化目標(biāo)的作用。因此，特例往往成為重要的數(shù)學(xué)研究對象。例如，平面幾何中，平行、垂直的位置關(guān)系，等腰三角形、直角三角形，平行四邊形（再特殊化就是矩形、菱形、正方形）等都是研究的重點(diǎn)對象。代數(shù)中，各種代數(shù)公式、定理往往也是在特例的考察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，逐步歸納得出的，例如在對多項(xiàng)式乘法的特例考察中，我們就可以得到各種乘法公式：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中（1）當(dāng)c=a，d=b時(shí)，有平方差公式(a+b)(ab)=a2b2；（2）當(dāng)c=a，d=b時(shí)，有完全平方和公式(a+b)2=a2+2ab+b2；（3）在完全平方和公式中，用b代b，有完全平方差公式(ab)2=a22ab+b2。（4）

5、在(a+b)2=a2+2ab+b2的基礎(chǔ)上，對多項(xiàng)式的次數(shù)進(jìn)行推廣，就可以歸納地得到二項(xiàng)式定理。（5）在(a+b)(ab)=a2b2的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納，可以得到(a2+ab+b2)(ab)=a3b3；(a3+a2b+ab2+b3)(ab)=a4b4；(an-1+ an-2b+ an-3b2+bn-1)(ab)=anbn。綜合以上分析，“整式的乘法”的內(nèi)容和邏輯線索是：同底數(shù)冪的乘法冪的乘方積的乘方單項(xiàng)式的乘法單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式乘法公式二、如何引入課題本節(jié)課是一章的開篇，因此需要重點(diǎn)關(guān)注兩個(gè)問題：一是構(gòu)建“先行組織者”，使學(xué)生明確本章的學(xué)習(xí)主線；二是要讓學(xué)生掌握“同底數(shù)冪的乘法法則”。教

6、學(xué)設(shè)計(jì)中，要以上述內(nèi)容分析為基礎(chǔ)，落實(shí)好知識的發(fā)生發(fā)展過程的教學(xué)，并加強(qiáng)代數(shù)研究方法的指導(dǎo)，潛移默化地進(jìn)行“數(shù)學(xué)地認(rèn)識問題和解決問題的方法”的教學(xué)。顯然，每節(jié)課都可以有不同的引入方式，但不同的引入方式卻能反映不同的教學(xué)觀。概括地說，本堂課的引入可以從兩個(gè)角度考慮。一個(gè)角度是“從整體出發(fā)，逐漸分化”，即從整式運(yùn)算的整體出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀到微觀，逐步尋找整式的乘法所需要的邏輯基礎(chǔ)，將研究的問題具體化，進(jìn)而構(gòu)建整體研究思路，然后再按照知識的邏輯順序逐步展開學(xué)習(xí)。這一角度的關(guān)鍵是用好“先行組織者策略”。這樣，根據(jù)前面的教學(xué)內(nèi)容分析，我們可以提出如下問題：問題1 關(guān)于整式及其運(yùn)算，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些知

7、識？單項(xiàng)式及其次數(shù)的概念、多項(xiàng)式的概念、整式的概念，整式的加減運(yùn)算等。追問：整式的加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)上在做什么？用了哪些運(yùn)算律？為什么可以用這些運(yùn)算律？實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng)；用了加法的交換律和結(jié)合律，因?yàn)檎街械淖帜敢泊頂?shù)。問題2 類比數(shù)的運(yùn)算，你認(rèn)為接下來可以研究整式的什么運(yùn)算？整式的乘法、除法。追問1：你能歸納一下整式的乘法的基本類型嗎？合作學(xué)習(xí)：按小組活動(dòng)，列出一些整式，構(gòu)造出一些整式的乘法算式，并歸納出整式的乘法包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。追問2：你能設(shè)想一下多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的步驟嗎？利用分配律轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘積之和，再利用乘法交換律、結(jié)合律進(jìn)行單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式。問題3

8、所以，上述三類整式的乘法，以單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式為基礎(chǔ)。那么單項(xiàng)式的乘積的基本類型又有哪些呢？aman，(am)n，(ab)n三類。小結(jié)：兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，我們先用分配律把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘積之和式來計(jì)算。單項(xiàng)式的乘積的基本類型是aman，(am)n，(ab)n，只要我們知道了它們的運(yùn)算法則，就可以用乘法的交換律、結(jié)合律以及這些法則進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算了。本節(jié)課就先來研究aman。另一個(gè)角度是以“整式的乘法”的內(nèi)容和邏輯體系為依據(jù)，逐個(gè)提出同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的學(xué)習(xí)任務(wù)，最后通過單元小結(jié)概括整體知識結(jié)構(gòu)。教學(xué)時(shí)，采用從具體到抽象的方法，從具體數(shù)字的運(yùn)算中歸納出同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積

9、的乘方等運(yùn)算法則。這是目前被普遍采用的教學(xué)思路。比較上述兩種引入，前一種方式的立意更高，思想性更強(qiáng)，“數(shù)學(xué)味”更濃，課題的引入更加自然而水到渠成，能使學(xué)生切實(shí)地感受到學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法的必要性，同時(shí)還能更好地落實(shí)“發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力的培養(yǎng)”。這樣的安排，更加符合數(shù)學(xué)法則產(chǎn)生的原來面目，完美地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的整體觀，因此課堂更加大氣，能給學(xué)生更多智慧的啟迪，思維的教學(xué)更加到位。然而，這一方式不僅對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、學(xué)習(xí)能力要求較高，而且對教師的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)能力的要求也很高。另外，許多人還會(huì)擔(dān)心這樣做需要更多的教學(xué)時(shí)間，占用運(yùn)算技能的訓(xùn)練時(shí)間，對考試成績有不利影響等等。關(guān)于

10、課堂的起點(diǎn)，時(shí)下流行的是“情景引入”，往往展示一些現(xiàn)實(shí)情景，并要求學(xué)生舉出生活實(shí)例，然后從中抽象出研究的對象。本課也不例外，大部分版本的教材也是按照這樣的思路，先給一個(gè)具體問題，列出包含同底數(shù)冪的算式，再提出學(xué)習(xí)任務(wù)。我認(rèn)為，這樣的做法并不全面。我在一篇文章中曾經(jīng)提出，對“從現(xiàn)實(shí)引入”的更全面認(rèn)識，應(yīng)從數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程需要來考慮，這個(gè)“現(xiàn)實(shí)”既可以是“生活的現(xiàn)實(shí)”，也可以是“數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)”。這里，生活的現(xiàn)實(shí)應(yīng)該是學(xué)生熟悉的，是與當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容緊密相關(guān)的，而且要盡量避免人為編造；“數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)”是在數(shù)學(xué)知識發(fā)展過程中自然而然地提出的問題。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)習(xí)內(nèi)容的抽象程度不斷提高，更應(yīng)強(qiáng)

11、調(diào)從數(shù)學(xué)知識發(fā)展的邏輯必然性中提出問題。就本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容而言，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過整式的概念、加減運(yùn)算，從“數(shù)式通性”的角度說，學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法的基礎(chǔ)（即數(shù)的乘方）很牢固，因此，用前一種方式引入，不僅更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，更有利于創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練價(jià)值更能得到充分發(fā)揮，而且也與學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備相適應(yīng)，更能體現(xiàn)學(xué)習(xí)的自主性，也更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。三、教學(xué)中應(yīng)關(guān)注什么我們知道，初中的代數(shù)，與小學(xué)算術(shù)的差別，在于代數(shù)中引進(jìn)了“不定元”（用字母代表數(shù)）和多項(xiàng)式運(yùn)算。“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算，也即加、減、乘、除、乘方、開方等等。所有能夠用代數(shù)運(yùn)算加以表達(dá)的問題都統(tǒng)稱為代數(shù)問題。而

12、代數(shù)學(xué)這門學(xué)問所要研討的就是如何有效、有系統(tǒng)地解決各種各樣的代數(shù)問題。”（項(xiàng)武義，基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)，1）顯然，多項(xiàng)式的運(yùn)算所要解決的問題是代數(shù)中的最基礎(chǔ)問題：如何有效、有系統(tǒng)地進(jìn)行多項(xiàng)式的加、減、乘、除、乘方、開方，而“整式的乘法”則是“基礎(chǔ)的基礎(chǔ)”。因此，在本課的教學(xué)中，應(yīng)該關(guān)注的核心問題是“如何有效、有系統(tǒng)地算”。具體的是兩個(gè)問題：一是同底數(shù)冪的乘法法則，實(shí)際上是解決算理的問題，實(shí)現(xiàn)“有系統(tǒng)地算”；二是如何用法則進(jìn)行有效計(jì)算，實(shí)際上是進(jìn)行運(yùn)算技能的訓(xùn)練，提高運(yùn)算能力，實(shí)現(xiàn)“有效地算”。1加強(qiáng)運(yùn)算技能的訓(xùn)練運(yùn)算技能的訓(xùn)練是代數(shù)教學(xué)的基本任務(wù)，本節(jié)課的“訓(xùn)練點(diǎn)”在兩個(gè)方面。一是“用同底數(shù)冪的乘法法則

13、進(jìn)行計(jì)算”，關(guān)鍵是解決“把不同底轉(zhuǎn)化為同底”，這是知識與方法的角度；二是運(yùn)算習(xí)慣的培養(yǎng)，與“數(shù)感”、“符號意識”等相關(guān)，具體可以從“先觀察，后計(jì)算”、“先定符號，再算絕對值”等方面著手。例如，對于(ab)3(ba)4，學(xué)生往往拿起筆來就算：(ab)3(ba)4=(ba)3(ba)4=(ba)3(ba)4=(ba)7=(ab)7。顯然，這樣的“算”是低效的。而如果先觀察，發(fā)現(xiàn)(ba)4=(ab)4，這樣就能使運(yùn)算更簡便、更有效。2關(guān)注代數(shù)的基本思想前面的討論中已經(jīng)涉及了一些代數(shù)基本思想，例如“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算”，運(yùn)算律（特別是分配律）是解決各種各樣代數(shù)問題的核心等，這里不再贅述。下面要重點(diǎn)討論的是歸納的思想和歸納法的應(yīng)用。代數(shù)中，各種各樣的公式、法則等，都是用歸納法得到的，也即從數(shù)字到字母、由低次到高次、由一元二元到多元，逐步歸納地發(fā)現(xiàn)，然后再用歸納法證明其正確性。這是一個(gè)完整的過程：歸納地去探究、發(fā)現(xiàn)，歸納地定義，然后再歸納地論證。本節(jié)課要學(xué)習(xí)的同底數(shù)冪的乘法法則，也是采用歸納的方式得到的。因此，教學(xué)中應(yīng)有意識地提示學(xué)生，從具體數(shù)字的同底數(shù)冪出發(fā)，利用數(shù)的乘方的意義，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律性，最終得到對任何數(shù)都成立的同底數(shù)冪的乘法法則，這個(gè)過程使用的是歸納法；在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，自覺地使用歸納法，既能使我們更有效地發(fā)現(xiàn)各種代數(shù)公式、法則等等，同時(shí)也是培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力的重要契機(jī)