朝陽區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)(理)試題及答案

1、北京市朝陽區(qū)高三年級第二次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)（理）2019. 5（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共 40分）和非選擇題（共 110分）兩部分第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出 符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合 A=x|x>1, B=x|x（x2） <0,則 AljB =A. x| x >0 B.x|1 <x <2 C.x |1 < x <2 D.x|x >0且 x#1112.復(fù)數(shù) i(1+i)的虛部為B. 1C. 0D. -13.在數(shù)學(xué)史上,中外數(shù)學(xué)家使用不

2、同的方法對圓周率元進(jìn)行了估算.根據(jù)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1674年給出的求冗的方法繪制的程序框圖如圖所示.執(zhí)行該程序框圖，輸出 s的值為A. 4B.8C.52304 D.-1054.在 ABC 中,A. 3.3B. 33C.24D.35B = , c = 4 , cosC =，則 b =635.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差d =0.則a”a3,a9成等比數(shù)列”是a1 二d ”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2 . x . a 6.已知函數(shù)f（x）=4若函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-x, x : a.A.-二,0B. (f,1 C.

3、 1,二D. 0,二7 .在棱長為1的正方體ABCD AB1C1D1中，E,F分別為線段CD和AB上的動點(diǎn)，且滿足CE =A1F ,則四邊形DiFBE所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面上的正投影的面積之和A.有最小值3B.有最大值522C.為定值3D.為定值2AiDi8 .在同一平面內(nèi)，已知A為動點(diǎn)，B,C為定點(diǎn)，且/BAC= , /ACB=3,BC = 1,P為32BC中點(diǎn).過點(diǎn)P作PQ _L BC交AC所在直線于Q,則AQ在BC方向上投影的最大值是C由 口.3D.|第二部分（非選擇題 共110分）、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題

4、卡上9 .已知 a=log3e, b = ln3, c= log 3 2,則 a, b , c 中最小的是210 .已知點(diǎn) M （1,2）在拋物線 C: y =2px（p >0）上，則點(diǎn) M到拋物線 C焦點(diǎn)的距離11周 C :x =cos，y =1 sin u. x=1 . 2t,_（日為參數(shù)）上的點(diǎn)P到直線l :（t為參數(shù)）的距離最小值y 三1 t是.x -1,12 .已知實(shí)數(shù)x,y滿足y之x, 能說明“若z=x+y的最大值為4,則x=1,y = 3”為 x , y44.假命題白一組（x,y）值是13 .由數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，偶數(shù)共有 個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字比

5、十位數(shù)字大的偶數(shù)共有 個(gè).14 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) O(0,0), M(_4,0), N(4,0), P(0, 2),Q(0,2),H (4,2).線段OM上的動點(diǎn) A滿足OA = KOM (九w (0,1)；線段HN上的動點(diǎn)B滿足T THB =ZHN .直線PA與直線QB交于點(diǎn)L ,設(shè)直線PA的斜率記為k ,直線QB的斜率記 為k',則k k的值為；當(dāng)九變化時(shí)，動點(diǎn)L一定在 (填圓、橢圓、雙 曲線、拋物線”之中的一個(gè))上.EMFH BxG三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15 .(本小題滿分13分)已知函數(shù) f

6、(x) = 2sin xcosx 2 ,_ 3cos2 x - ：；3 .(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期;求證:16.(本小題滿分13分)f(x) - -、,3.某電視臺舉行文藝比賽， 并通過網(wǎng)絡(luò)對比賽進(jìn)行直播 .比賽現(xiàn)場有5名專家評委給每位參賽選手評分，場外觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評分每位選手的最終得分由專家評分和觀眾評分確定.某選手參與比賽后，現(xiàn)場專家評分情況如下表；場外有數(shù)萬名觀眾參與評分，將評分按照7,8),8,9),9,10分組，繪成頻率分布直方圖如下:專家ABCDE評分9.69.59.68.99.7(I)求a的值，并用頻率估計(jì)概率，估計(jì)某場外觀眾評分不小于9的概率；(n )

7、從5名專家中隨機(jī)選取 3人，X表示評分不小于 9分的人數(shù)；從場外觀眾中隨機(jī)選取3人，用頻率估計(jì)概率，Y表示評分不小于 9分的人數(shù)；試求E(X)與E(Y)的值;(ID)考慮以下兩種方案來確定該選手的最終得分：方案一：用所有專家與觀眾的評分的平均數(shù)x作為該選手的最終得分.方案二：分別計(jì)算專家評分的平均數(shù)X1和觀眾評分的平均數(shù) 無，用x1 * X2作為該選2手最終得分.請直接寫出與x上至的大小關(guān)系.217 .(本小題滿分14分)在三柱ABCBig中，底面ABC是正三角形，側(cè)棱 AA _L底面ABC. D, E分 別是邊BC , AC的中點(diǎn)，線段 BC1與B1c交于點(diǎn)G ,且AB=4 , BB1 =2

8、42.(I)求證：EG平面AB1D;(n )求證：BCi _L 平面 ABQ ；(m)求二面角AB1CB的余弦值.18 .(本小題滿分13分)2 一2已知函數(shù) f(x)=(2ax 4x)lnx-ax - 4x( a R，且 a = 0).(I)求曲線y = f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程；1 (n)若函數(shù)f (x)的極小值為一，試求a的值.a19.(本小題滿分14分)X 2-.6已知橢圓C: 2 y y =1 (a>1)的離心率為 . a3(i)求橢圓C的方程；(n )設(shè)直線l過點(diǎn)M (1,0)且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).過點(diǎn)A作直線x = 3的垂線，垂足 為D.證明：直

9、線BD過x軸上的定點(diǎn).20.(本小題滿分13分)對于由有限個(gè)自然數(shù)組成的集合A,定義集合 S(A) = a+b a三A b A，記集合S(A)的元素個(gè)數(shù)為d(S(A).定義變換T,變換T將集合A變換為集合T(A) = AUS(A).(I)若 A =(0,1,2),求 S(A),T(A);(n)若集合 A有n個(gè)元素，證明："d(S(A)=2n-1”的充要條件是“集合 A中的所有元素能組成公差不為 0的等差數(shù)列”；(出)若 A = 1,2,3,4,5,6,7,8且1,2,3,| | ,25,26 土 T(T( A),求元素個(gè)數(shù)最少的集合 A.北京市朝陽區(qū)高三年級第二次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)(理)答

10、案2019. 5、選擇題：(本題滿分40分)題號12345678答案ABCBCDDC、填空題：(本題滿分30分)題號91011121314答案c2百-1(2,2)(答案不唯一)603614雙曲線三、解答題：(本題滿分80分)15.(本小題滿分13分)解：(I) f (x) =2sin xcosx+2j3cos2 x - J3= sin2x . 3 cos2 x= 2sin(2x -)2二八所以f(x)的最小正周期T = = n . .6分(II)因?yàn)?xe-, , ip 2x+-e-,-, 3 1233 2所以f(x)在一二三上單調(diào)遞增.3 12、“一 nn . 一 n . r-當(dāng) 2x+二一

11、時(shí)，即 x二 一時(shí)，f (x)min = -V3. 333 _ n n _.一 r-所以當(dāng) xYg，石時(shí)，f (x) -v3 . .13 分16.(本小題滿分13分)1解：(I)由圖知a =0.3 ,某場外觀眾評分不小于9的概率是一.3分2(n) X的可能取值為2,3.力加 3mx G C32P(X =2) = =； P(X =3)=得=二.C55C55所以X的分布列為2.1132 12所以 E(X) =2 - 3 一 = 一 .55513.10分由題意可知，Y B(3,),所以E(Y) = np =,22x1 x2八(山)x <. .13 分217.(本小題滿分14分)(I)因?yàn)镋為A

12、C中點(diǎn)，G為B1C中點(diǎn).所以EG/AB1.又因?yàn)镋G值平面AB1D , AB1 c平面AB1D ,所以EG平面ABD. .4分(n )取BG的中點(diǎn)D1 ,連接DD1 .顯然DA , DC , 口口1兩兩互相垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則 D(0,0,0) , A(273,0,0) , B(0,2,0) , B1(0,2,2歷,G(0,2,2 72),E( ,3,1,0),C(0,2,0).= (0,4,2 ,2).9分所以 DB1 = (0, 2,2歷，DA = (2 73,0,0) , BC1T4 T r又因?yàn)?BC DA=2J3M0+0父4 + 0M22 =0,I ->

13、L LBC1 DB1 =0 0 (-2) 4 2.2 2 2 = 0,所以 BC1 DA,BC1 DB1.又因?yàn)镈AD DB = D ,所以BC1 _L平面AB1D .(m)顯然平面 B1CB的一個(gè)法向量為 R = (1,0,0).設(shè)平面AB1C的一個(gè)法向量為 m=(x,y,z),又 AC =(一2百,2,0) , BC=(0,4,2歷，,n2 AC =0,1-2、3x 2y =0,由廣T ，得n2 B1c u0, 4y -2 2z =0.設(shè) x =1 ,則 y =/3 , z = J6 ,則n=(1, J3, J6).所以cos ni,n2 =1.1010 - 10設(shè)二面角AB1CB的平面角

14、為日，由圖可知此二面角為銳二面角,.14分所以cos-=1018 .(本小題滿分13分)解：由題意可知 f'(x) =4( ax + 1)ln x , x£ (0, +=c).(I ) f (1) =0, f (1) = f 4 ,所以曲線y = f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程為 y = _a_4. .3分(n)當(dāng)a c -1時(shí)，x變化時(shí)f (x), f (x)變化情況如下表:x(0,-) a_1_ a(-,1) a1(1*)f '(x)0+0f(x)極小值極大值,一，_13 211此時(shí) f (一一)=一十-ln(a)=，解得 a =- a-1,故不成立.

15、aa aae當(dāng)a = 1時(shí)，f '(x) <0在(0, +8)上恒成立，所以 f(x)在(0, +道)單調(diào)遞減.此時(shí)f(x)無極小值，故不成立當(dāng)1<a<0時(shí)，x變化時(shí)f'(x), f (x)變化情況如下表:x(0,1)11 (1,) a_1_ a1工(一，F(xiàn)) af '(x)0+0f (x)極小值極大值1此時(shí)極小值f (1) = -a -4,由題意可得 用4 =, a解得 a = / + J3 或 a = 2 J3 .因?yàn)橐? <a父0 ,所以a = J3 2 .當(dāng)a >0時(shí)，x變化時(shí)f (x), f (x)變化情況如下表:x(0,1)1(

16、1,Ff '(x)0+f (x)極小值1此時(shí)極小值f (1) = a 4,由題意可得4 =,a解得a = 2 + J3或a = 2 J3 ,故不成立.綜上所述a=2+J3. .13分19 .(本小題滿分14分)b =1, 、 口=一/口 c V6!b =1,(I)由題意可得一=, 解得«a 3a = v3.2.22a = b + c .2所以橢圓C的方程為+y2 =1. .4分3(n)直線 BD恒過x軸上的定點(diǎn)(2,0).證明如下(1) 當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1 ,不妨設(shè) A(1,立)，B(1,- - ), D(3,).3336此時(shí)，直線BD的萬程為：y=(

17、x-2),所以直線BD過點(diǎn)(2,0).3 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè) l : y =k(x-1), A(x1, y1), B(x2, y2), D(3, y1).2222得(3k1)x -6k x 3k -3=0.!y =k(x -1), 22x 3y =3所以6k23k2 -3x1 x2 = -2，x1x2 = -23k 1 3k 1直線 BD : y_y =左二A(x_3),令 y =0,得 x_3=_yi(x2-3) x2 - 3y2 - yi所以3y2 - 3yi - yix2 - 3yi x =y2 一 yi3y2 -yy2 一 yi4x2 - 3 - x1x2x? _ xi2k4

18、x2 -22 3k2 ix2 -xi由于xi-6k-x2,所以3k i2，i2k24x22X 2 3k2 i _2 x.c6k22x2-2 3k2 i故直線BD 過點(diǎn)(2,0).i4分綜上所述，直線 BD恒過x軸上的定點(diǎn)(2,0).20.(本小題滿分i3分)解：(I)若集合 A = 0,i,2,則 S(A) =T(A)=0,i,2,3,4.3 分(n )令 A =%?2,|區(qū).不妨設(shè) xi ； x2 ：二 IH :二 xn .充分性：設(shè)xk是公差為d (d #0)的等差數(shù)列.則 xi xj = xi (i -i)d xi (j -i)d = 2xi (i j -2)d (i 三 i, j m

19、n)且2 Ei + j E2n.所以x +xj共有2n i個(gè)不同的值.即d(S(A) =2n -i.必要性：若 d(S(A) =2n -i.因?yàn)?2x <xi +xi由 <2x 中 , (i =i,2,lll, n -i).所以S(A)中有2n -i個(gè)不同的元素:2Xi,2X2, |,2Xn,Xi X2,X2 X3H，XnXn .任意x +Xj(1 <i, j <n)的值都與上述某一項(xiàng)相等.又 Xi +x 節(jié) <Xi+Xi書 <Xf + Xj書，且 x +Xi¥<2Xi+ <為由+為卡，i =1,2,|,n-2.所以Xi +Xi_2 =2xt,所以Xk是等差數(shù)列，且公差不為0.8分(出)首先證明：1WA.假設(shè)1亨A, A中的元素均大于1,從而1號S(A),因此1號T(A),1 亨 S(T(A),故 1 號T(T(A),與 (1,2,3,25,26 TT(T(A)矛盾,因此 1乏 A.設(shè)A的元素個(gè)數(shù)為n , S(A)的元素個(gè)數(shù)至多為 C2 + n ,從而T (A)的元素個(gè)數(shù)至多為C2 +n+n = n(n；3).若n=2,則T(A)元素個(gè)數(shù)至多為5,從而T(T( A)的元素個(gè)數(shù)至5 8多為二20,而T(T(A)中元素至