《三元一次方程組》例題與講解

1、三元一次方程組例題與講解1. 三元一次方程及三元一次方程組(1) 三元一次方程：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程.(2) 三元一次方程組： 定義：含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫三元一次方程組.如：x+ y= 1,x+ 3y+ 2z= 2,y+ Z= 3,3x+ 2y 4z= 3,等都是三元一次方程組.x 2z= 5,2x y= 7 拓展理解：a. 構(gòu)成三元一次方程組中的每一個(gè)方程都必須是一次方程；b. 三元一次方程組中的每個(gè)方程不一定都含有三個(gè)未知數(shù)，但方程組中一 定要有三個(gè)未知數(shù).【例1】 下列

2、方程組中是三元一次方程組的是().1 x2y= 1,A. y+Z= 0,XZ= 21+y=1,B. - + Z= 2,y + X= 6Zm+ n= 18,D. n+1= 12,t+ m= 0a+ b+c+d= 1, C. a C= 2,b d = 3解析：A, B選項(xiàng)中有的方程不是三元一次方程，C中含有四個(gè)未知數(shù)，只 有D符合三元一次概念內(nèi)涵，故選 D.答案：D2. 三元一次方程組的解(1) 三元一次方程的解：使三元一次方程左右兩邊相等的三個(gè)未知數(shù)的值， 叫做三元一次方程的解.和二元一次方程一樣，一個(gè)三元一次方程也有無(wú)數(shù)個(gè)解(2) 三元一次方程組的解：組成三元一次方程組的三個(gè)方程的公共解，叫做

3、 三元一次方程組的解 .它也是三個(gè)數(shù) .(3) 檢驗(yàn)方法：同二元一次方程和二元一次方程組的檢驗(yàn)方法一樣，代入檢 驗(yàn)，左、右兩邊相等即是方程的解 .釋疑點(diǎn) 檢驗(yàn)三元一次方程組的解 三元一次方程組的解是三個(gè)數(shù)，將這三個(gè)數(shù)代入每一個(gè)方程檢驗(yàn)，只有這 些數(shù)滿足方程組中的每一個(gè)方程，這些數(shù)才是這個(gè)方程組的解 .X= 2,x+ y 2z= 5,【例2】 判斷y= 3,是不是方程組 2x y+Z= 4,的解.z= 32x+ y 3z= 10答： (填是或不是 ).x= 2,解析：把 y= 3, 代入方程組的三個(gè)方程中檢驗(yàn),能使三個(gè)方程的左 z= 3右兩邊都相等,所以是方程組的解 .答案：是3. 三元一次方程

4、組的解法(1) 解法思想：解三元一次方程組的基本思路是消元,其方法有代入消元法 和加減消元法兩種,通過(guò)消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元 一次方程 .(2) 步驟： 觀察方程組中每個(gè)方程的特點(diǎn)，確定消去的未知數(shù)； 利用加減消元法或代入消元法，消去一個(gè)未知數(shù)，得到二元一次方程 組； 解二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值； 將所得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原三元一次方程組中的某個(gè)方程，求出第 三個(gè)未知數(shù)的值； 寫(xiě)出三元一次方程組的解 .(3) 注意點(diǎn)： 三元一次方程組的解法多種多樣，只要逐步消元，解出每一個(gè)未知數(shù)即可； 解三元一次方程組時(shí)，每一個(gè)方程都至少要用到一次，否則解出的結(jié)果 也不正確

5、 .x+ 3y+ 2z= 2,【例3解方程組3x+ 2y 4z= 3,2x-y= 7.分析：觀察方程組中每個(gè)方程的特征可知，方程不含有字母 z,而， 中的未知數(shù)Z的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，故可用加減消元法消去字母 Z,然后將所得的 方程與組合成二元一次方程組，求這個(gè)方程組的解，即可得到原方程組的解 .解：&+，得5x+ 8y= 7,解，組成的方程組2xy= 7,5x+ 8y= 7.解這個(gè)方程組，得X= 3, y= 1.把X= 3, y=- 1代入，得Z= 1,x= 3，所以原方程組的解為 y= 1，z= 1.4. 運(yùn)用三元一次方程組解實(shí)際問(wèn)題(1)方法步驟： 審題：弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；

6、 設(shè)：設(shè)三個(gè)未知數(shù)； 列：找出實(shí)際問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，用 式子表示，列出三個(gè)方程，組成三元一次方程組； 解：解這個(gè)方程組，并檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際； 答：回答說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題的答案.析規(guī)律 列三元一次方程組同二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用相類(lèi)似，運(yùn)用三元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題 要設(shè)三個(gè)未知數(shù)，尋找三個(gè)等量關(guān)系，列出三個(gè)一次方程，組成三元一次方程組.【例4】某個(gè)三位數(shù)是它各位數(shù)字和的27倍，已知百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和比十位數(shù)字大1，再把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換位置，得到一 個(gè)新的三位數(shù)，新三位數(shù)比原三位數(shù)大99,求原來(lái)的三位數(shù).解：設(shè)百位數(shù)字為a、十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為

7、C，則這個(gè)三位數(shù)為100a + 10b + c,由題意，得a+ C= b+ 1，27 a+ b+ C = 100a + 10b+ c，100a + 10b+ c+ 99= 100c+ 10b+ a.a b+C= 1，化簡(jiǎn)，得73a+ 17b + 26c = 0，a c= 1.a = 2，解這個(gè)方程組，得 b = 4，C= 3.答：原來(lái)的三位數(shù)是243.5. 三元一次方程組的解法技巧解三元一次方程組的基本思路是消元，即化三元為二元，從而轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解，在這里關(guān)鍵是消元，若能根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活地進(jìn)行消元，則可把方程組解得又準(zhǔn)確又快捷，下面介紹幾種常見(jiàn)的消元策略供參考.(1) 先消系數(shù)最

8、簡(jiǎn)單的未知數(shù)，這樣可以減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化過(guò)程.如:3x y + 2z = 3，2x+ y 3z= 11，中，y的系數(shù)較簡(jiǎn)單，先消y簡(jiǎn)單.x+ y+ Z= 12(2) 先消某個(gè)方程中缺少的未知數(shù).若方程組中某個(gè)方程缺少某個(gè)元，把另外兩個(gè)方程結(jié)合，消去這個(gè)元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程求解.如:4x 9z= 17，3x+ y+ 15z= 18，x+ 2y + 3z= 2.因?yàn)榉匠讨腥鄙賧，所以由，組合先消去y比較簡(jiǎn)單.(3) 先消去系數(shù)的絕對(duì)值相等(或成倍數(shù)關(guān)系)的未知數(shù)，如：2x+ 4y+ 3z= 9,3x 2y+ 5z= 11,5x 6y+ 7z= 13,三個(gè)方程中y的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，因此先消去 y比較

9、簡(jiǎn)單(4) 整體代入消元，如：x+ y+ Z= 26,x y= 1,將方程左邊變形為(x+ y+ Z) + (X y) y= 18,作2x+ z y= 18.整體代入便可消元求解(5) 整體加減消元：如：3x+ 2y+ Z= 13,x+ y+ 2z= 7,2x+ 3yZ= 12,在三個(gè)方程中，根據(jù)未知數(shù) x, Z的系數(shù)特點(diǎn)，可用+整體加減消 元法來(lái)解得y的值.再逐步求解.3x+ 4z= 7,【例5 U 解方程組2x+ 3y+ Z= 9,5x 9y+ 7z= 8.分析：因?yàn)榉匠讨腥鄙傥粗獢?shù) y項(xiàng)，故而可由，組合先消去 y,再求 解.解： ×3+，得 11x+ 10z= 35,3x+ 4

10、z= 7,X= 5,解由，組成的方程組解得11x+ 10z = 35.z= 2.1把代入，得y=3，X= 5,1所以原方程組的解為 y= 1，z= 2.5x 15y + 4z= 38,【例5 2】 解方程組x 3y+ 2z= 10,7x 9y+ 14z= 58.分析：經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)中的5x 15y= 5(x 3y),這就與有了聯(lián)系，因此，可化為5(x 3y+ 2z) 6z= 38,把整體代入該方程中，可求出 Z的值，從而易得X與y的值解：由，得 5(x 3y+ 2z) 6z= 38,把整體代入，得 5X10 6z= 38. 解這個(gè)方程，得Z= 2,把Z= 2分別代入，中，得5x 15y= 30，7

11、x 9y= 30.解，得x= 3， y=1.x= 3，所以原方程組的解是y= 1 ，z= 2.x+ y z= 11 ，例 5 3】 解方程組 y+ z x= 5，z+ x y= 1. 分析：方程組中每個(gè)未知數(shù)均出現(xiàn)了三次，且含各未知數(shù)的項(xiàng)系數(shù)和均為1，故可采用整體相加的方法 .解：+，得x+y+ Z= 17,再由分別減去，各式，分別得 Z= 3, X= 6, y= 8.x= 6，所以原方程組的解是y= 8，z= 3.6. 三元一次方程組的應(yīng)用歸類(lèi)三元一次方程組的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用類(lèi)似，也主要包括兩類(lèi)：(1)構(gòu)造方程組，通過(guò)解方程組解決問(wèn)題 .主要有以下幾種情況 根據(jù)某些數(shù)學(xué)概念構(gòu)造方程

12、組，如：24my1-5n與3n+6y2m是同類(lèi)項(xiàng)，根據(jù) 同類(lèi)項(xiàng)定義列方程求未知數(shù) m， n. 運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程組 .如：如果(X + y 2)2 + y + Z-4+ |x y + 2|= 0,那么 X =, y =, Z=根據(jù)題意列出三元一次方程組求解 . 已知方程的解的情況求未知系數(shù) .如：關(guān)于 x， y 的二元一次方程組的解，也是方程 3x+ 2y= 17 的x y= 9m解，則 m 的值是？根據(jù)題意構(gòu)造一個(gè)以 x， y， m 為未知數(shù)的三元一次方程組求解 .點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是變相的解方程組問(wèn)題 .(2)列方程解應(yīng)用題，根據(jù)實(shí)際生活中的情景，列方程組解決實(shí)際問(wèn)題.【例6-U如

13、果方程組2+ 3y= m中, X與y的和為2,則m的值是().A.16解析：B.4C.2D.8方法 一 ： 因?yàn)?X 與 y 的 和 為 2, 即 X+ y= 2, 所以與3X+ 5y= m+ 2, 3X+ 5y= m+ 2,組成一個(gè)三元一次方程組2X+ 3y= m,解這個(gè)方程2X+ 3y= m,X+ y= 2.組,求出 m= 4.方法二：也可以先解3X+ 5y= m+ 2,2X+ 3y= m.求出X, y的值(含m),再把解得的X, y 的值代入 X+ y= 2 中,求出 m.3X+ 5y= m+ 2,方法三：把X= 2- y代入2+ 3y= m,解含y, m的二元一次方程組答案： B【例

14、6 2】 如果 |X 2y+ 1|+ |Z+ y 5|+ (X Z 3)2= 0,那么 X= ,y= , Z= 解析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為 0,各式都為 0,列出三元一次方程組X- 2y+ 1 = 0,z+ y 5= 0,x- z- 3= 0.x 2y= 1 ,化簡(jiǎn),得 z+ y= 5,解這個(gè)方程組,得 x= 5, y= 3, z= 2.x z= 3.答案： 5 3 27. 運(yùn)用三元一次方程組求代數(shù)式的值 解三元一次方程組是對(duì)消元思想和方法的綜合的、全面的運(yùn)用,另一方面 是將來(lái)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的必備知識(shí),在本章中,經(jīng)常出現(xiàn)一類(lèi)求代數(shù)式值的問(wèn) 題，如：已知代數(shù)式ax2+ bx+ c,當(dāng)X分別取1,0,2

15、時(shí)，式子的值分別是0, 3, 5,求當(dāng)X= 5時(shí)，代數(shù)式ax2+ bx+ C的值.解法：分別將 x= 1,0,2 代入代數(shù)式 ax2+ bx+ c 中,得到一個(gè)三元一次方程a+ b+ c= 0,組 c= 3,4a+ 2b+ c= 5.解這個(gè)三元一次方程組，求出系數(shù) a, b, C的值，再將X= 5回代，再求出 當(dāng)X= 5時(shí)，式子ax2 + bx+ C的值.【例 7 1】已知 x+ 2y+ 3z= 54,3x+ 2y+ 2z= 47, 2x + y+ Z= 31,那么代數(shù) 式 x+ y+ z 的值是 ().A.17B.22C.32D.132x+ 2y+ 3z= 54,解析：將三個(gè)三元一次方程組成

16、方程組,3x+ 2y+ 2z= 47,整體求2x+ y+ z= 31.法，將三個(gè)式子相加，得 6x+ 6y+ 6z= 132,兩邊都除以6,解，得x+ y+Z= 22.B 正確,故選 B.答案： B【例7 2】 在等式y(tǒng)= ax2+ bx+ C中，當(dāng)X分別取1,2,3時(shí)，y的值分別為 3,1,15.則 a = , b= , C = ；當(dāng) x 取 4 時(shí), y 的值為解析：把X= 1,2,3分別代入y= ax2 + bx+ C中，得三兀一次方程組a+ b+ C= 3,a= 10,4a + 2b+ C=- 1,解這個(gè)三元一次方程組得b=- 34,所以等式是y=9a+ 3b+ C= 15.C= 27

17、.IOx2 34x+ 27,把 X = 4 代入 y= 10x2-34x+ 27 中，得 y= 51.答案：10 34 27 518. 含比例方程的方程組的解法三元一次方程組中，有一類(lèi)方程，含有比例式子，如X : y= 3 : 2，y : Z= 5 : 4，這類(lèi)方程組的解法有兩種方式，一是把方程組根據(jù)x+ y+ Z= 66.比例的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，化為一般的三元一次方程組，按常規(guī)思路進(jìn)行解決；二是設(shè)參數(shù)法，如在上面的方程組中設(shè)每一份為 k，則X= 3k，y= 2k，Z= 1.6k，把 它們分別代入中，得 3k+ 2k+ 1.6k= 66即 6.6k= 66,解得 k= 10,所以X= 30， y= 20, Z= 16.從而解出方程