集合知識點總結及習題

1、集合一、集合有關概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：(1) 元素的確定性如：世界上最高的山(2) 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y(3) 元素的無序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一個集合3元素與集合的關系（不）屬于關系（1）集合用大寫的拉丁字母A、B、C表示元素用小寫的拉丁字母a、b、c表示（2）若a是集合A的元素，就說a屬于集合A,記作aA;若不是集合A的元素，就說a不屬于集合A,記作aA;4.集合的表示方法：列舉法與描述法。（1）列舉法：將集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合的方法格式： a,b,c,d 適用：一般元素較少的有限集

2、合用列舉法表示（2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。格式：x |x滿足的條件例如：xÎR| x-3>2 或x| x-3>2適用：一般元素較多的有限集合或無限集合用描述法表示u 注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集） 記作：N=0,1,2,3，正整數集 N*或 N+ = 1,2,3，整數集Z ，-3，-2，-1，0,1,2,3，有理數集Q實數集R有時，集合還用語言描述法和Venn圖法表示例如：語言描述法： 不是直角三角形的三角形 Venn圖:4、集合的分類：(1) 有限集 含有有限個元素的集合(2) 無限集 含有無限個元素的集

3、合(3) 空集 不含任何元素的集合例：xR|x2=5二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集定義：若對任意的xA，都有xB，則稱集合A是集合B的子集，記為（或BA）注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。符號與的區(qū)別反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2“相等”關系：A=B 定義：如果AÍB 同時 BÍA 那么A=B實例：設 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等”3.真子集:如果AÍB,且存在元素xB,但xA,那么就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)4.性質 任何一個集合是它本身

4、的子集。AÍA如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同時 BÍA 那么A=B5. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算類型交 集并 集補 集定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB =x|xA，或xB)設S是一個集合，A是S的一個子

5、集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）SA記作，即CSA=韋恩圖示SA性 質AA=A A=AB=BAABA ABBAÍBAB=AAA=AA=AAB=BAABABBAÍBAB=B(CuA) (CuB) = Cu (AB)(CuA) (CuB) = Cu(AB)A (CuA)=U A (CuA)= 第一章：集合與函數的概念第一課時：集合1.1集合的含義與表示1.1.1集合的含義：我們一般把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集。通常用大寫字母A、B、C等表示集合，用小寫字母a、b、c等表示元素，元素與集合之間的關系是屬于和不屬于

6、。元素a屬于集合A，記做aA，反之，元素a不屬于集合A，記做aA。1.1.2集合中的元素的特征：確定性：如世界上最高的山；互異性：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y；無序性：如集合a、b、c和集合b、a、c是同一個集合。1.1.3集合的表示方法：列舉法；描述法；Venn圖；用數軸表示集合。常用數集及記法有非負整數集（即自然數集）正整數集整數集有理數集實數集NN+或N*ZQR1.1.4集合的分類：根據集合中元素的個數可分為有限集、無限集和空集。根據集合中元素的屬性可分為數集、點集、序數對等。本節(jié)精講：一. 如何判斷一些對象是否組成一個集合：判斷一組對象能否組成集合，主要是要看這組對象是否

7、是確定的，即對任何一個對象，要么在這組之中，要么不在，二者必居其一，如果這組對象是確定的，那么，這組對象就能夠組成一個集合。例：看下面幾個例子，判斷每個例子中的對象能否組成一個集合。（1）大于等于1，且小于等于100的所有整數；（2）方程x2=4的實數根；（3）平面內所有的直角三角形；（4）正方形的全體；（5）的近似值的全體；（6）平面集合中所有的難證明的題；（7）著名的數學家；（8）平面直角坐標系中x軸上方的所有點。解：練習：考察下列各組對象能否組成一個集合，若能組成集合，請指出集合中的元素，若不能，請說明理由：（1） 平面直角坐標系內x軸上方的一些點；（2） 平面直角坐標系內以原點為圓心，

8、以1為半徑的園內的所有的點；（3） 一元二次方程x2+bx-1=0的根；（4） 平面內兩邊之和小于第三邊的三角形（5） x2,x2+1,x2+2；（6） y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a0)；（7） 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；（8） 新華書店中意思的小說全體。二有關元素與集合的關系的問題：確定元素與集合之間的關系，即元素是否在集合中，還要看元素的屬性是否與集合中元素的屬性相同。例：集合A=y|y=x2+1,集合B=(x,y)| y=x2+1,(A、B中xR,yR)選項中元素與集合之間的關系都正確的是（ ）A、2A，且2B B、（1,2）A，且（1,2）BC、

9、2A，且（3,10）B D、（3,10）A，且2B解：C練習：3.1415 Q； Q； 0 R+； 1 （x,y）|y=2x-3； -8 Z；三有關集合中元素的性質的問題：集合中的元素有三個性質:分別是確定性互異性無序性例：集合A是由元素n2-n，n-1和1組成的，其中nZ，求n的取值范圍。解：n是不等于1且不等于2的整數。練習:1. 已知集合M=a,a+d,a+2d,N=a,aq,aq2,a0,且M與N中的元素完全相同，求d和q的值。2. 已知集合A=x，,1,B=x2,x+y,0，若A=B，則x2009+y2010的值為 ，A=B= .3. (1)若-3a-3,2a-1,a2-4求實數a的

10、值； (2)若 m,求實數m的值。4.已知集合M=2，a,b,N=2a,2,b2，且M=N,求a,b的值。5.已知集合A=x|ax2+2x+1=0,aR，(1)若A中只有一個元素，求a的值； (2)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍。四集合的表示法：三種表示方法練習；1. 用列舉法表示下列集合。（1） 方程 x2+y2=2d的解集為 ； x-y=0（2）集合A=y|y=x2-1,|x|2,xZ用列舉法表示為 ；（3）集合B=Z|xN用列舉法表示為 ；（4）集合C=x|=+，a，b是非零實數用列舉法表示為 ；2.用描述法表示下列集合。（1）大于2的整數a的集合；（2）使函數y=有意義的實數x的

11、集合；（3）1、22、32、42、3.用Venn圖法表示下列集合及他們之間的關系：（1）A=四邊形，B=梯形，C=平行四邊形，D=菱形，E=矩形,F=正方形；（2）某班共30人，其中15人喜歡籃球，10人喜歡兵乓球，8人對這兩項運動都不喜歡，則喜歡籃球但不喜歡乒乓球的人數為 ，用Venn圖表示為： 。五有關集合的分類：六集合概念的綜合問題：練習1. 若，則t的值為 _；2. 設集合A=y|y=x2+ax+1，xR,B=(x,y)|y= x2+ax+1, xR ,試求當參數a=2時的集合A和B；3. 已知集合A=x|ax2-3x+2=0,aR,求（1）若集合A為空集，則a的取值范圍；（2）若集合

12、A中只有一個元素，求a的值，并寫出集合A；（3）若集合A中至少有一個元素，則a的取值范圍。1.1課后作業(yè)：1.判斷下列各組對象能否組成集合：（1）不等式的整數解的全體；（2）我班中身高較高的同學；（3）直線上所有的點；（4）不大于10且不小于1的奇數。2.用符號或填空：（1）2_ （2）_（3）0_（4）_ （5）0_（6）（7）（8）（9）3.寫出下列集合中的元素（并用列舉法表示）：（1）既是素數又是偶數的整數組成的集合（2）大于10而小于20的合數組成的集合4.用適當的方法表示：（1）(x1)20的解集；（2）方程組的解集；（3）方程3x2y10的解集；（4）不等式2x10的解集；（5）奇

13、數集；（6）被5除余1的自然數組成的集合。5.集合1，a2中a的取值范圍。1.2集合間的基本關系1.2.1子集：一般地，兩個集合A和B，如果 集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記做AB（或BA）,讀作“A包含于B”（或“B包含A”） 。如右圖示。比如說，集合A=1、2、3，集合B=1、2、3、4、5，那么，集合A中的元素1、2、3都屬于集合B，所以，集合A為集合B的子集，記做AB（或BA）。1.2.2集合相等：如果集合AB且BA時，集合A中的元素與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記做A=B?；駻B。1.2.3真子集

14、：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合A是集合B的真子集。記作：AB（或BA） 也可記作：（或）1.2.4空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記做，并規(guī)定：空集是任何非空集合的子集（當然是真子集）本節(jié)精講：一 集合間的包含與相等的問題:對于集合相等，我們要從以下三個方面入手： 若集合AB且BA時，則A=B；反之，如果A=B，則集合AB且BA。這就給出了我們證明兩個集合相等的方法，即欲要證明A=B，只需要證明AB和BA都成立就行了。 兩個集合相等，則所含元素完全相同，與集合中元素的順序無關。 要判斷兩個集合是否相等，對于元素較少的有限集合，可以用列舉法將元素列舉出來，看看兩個集合中的元素是否

15、完全相同；若是無限集合，則因從“互為子集”兩個方面入手。例：若集合，且滿足，求實數的取值范圍.解：練習：1.已知，且，求實數p、q所滿足的條件. 2. 若，則（ ）. A. B. C. D. 3. 已知集合Px|x2x60與集合Qx|ax10，滿足QP，求a的取值組成的集合A。二 有關子集以及子集個數的問題：例1：判定以下關系是否正確 (2)1，2，33，2，1 (4)00 （5）=0 （6）0 解 根據子集、真子集以及集合相等的概念知是正確的，后兩個都是錯誤的說明：含元素0的集合非空例2：列舉集合1，2，3的所有子集分析：子集中分別含1，2，3三個元素中的0、1、2或者3個解：含有0個元素的

16、子集有：含有1個元素的子集有1，2，3；含有2個元素的子集有1，2，1，3，2，3；含有3個元素的子集有1，2，3共有子集8個例3：已知a、bAa、b、c、d,則滿足條件集合A的個數為_分析：A中必含有元素a，b，又A是a，b，c，d子集，所以滿足條件的A有：a，b，a，b，c，a，b，d，a、b、c、d。解：共3個例4：設集合Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，則下列關系式中正確的是 。 解：A例5：已知集合A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合C是這樣一個集合：其各元素都加2后，就變?yōu)锳的一個子集；若各元素都減2后，則變?yōu)锽的一個子集，求集合C分析:逆向

17、操作：A中元素減2得0，2，4，6，7，則C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，則C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7答:C4或7或4，7練習： A1個 B.2個 C.3個 D.4個 是 A8個 B.7個 C.6個 D.5個4設I=0，1，2，3，4，5，A=0，1，3，5，B=0,則:0_A 0_B CIA_CIB5已知A=x|x=(2n1)， nZ，B=y|y=(4k±1)，kZ，那么A與B的關系為 6.已知集合A=1,3，a,B=1,a2-a+1,且AB，求a的值。7已知集合A=xR|x23x3=0，B=yB|y25y6=0，8已知集合A=x|x=a21，

18、aN，B=x|x=b24b5，bN，求證：A=B。課后作業(yè)：A組1.寫出集合1，2，3的所有子集，并指出哪些是它的真子集。2.下列命題：空集沒有子集；任何集合至少有兩個子集；空集是任何集合的真子集；若，則。其中正確的有（ ）A、0個 B、1個 C、2個 D、3個3.設，則A，B的關系是_4.已知，求實數的取值范圍。5.已知集合,集合，若，則實數的值。6.設集合，若A是B的真子集，求實數的取值范圍。7.用適當的符號填空： _ 8.判斷下列兩個集合之間的關系：,是8的約數 _， _,是4與10的公倍數 _9.設集合，若，求實數的值。10.下列選項中的M與P表示同一集合的是（ ）A、，B、，C、，D

19、、，11.試寫出滿足條件Æ的所有集合M12.寫出滿足條件的所有集合M13.已知，求14.已知集合,，若A=B，求的值。15.已知集合,，求滿足AB的實數的取值范圍。16.設集合,且BA，求的值。B組1.下列命題：空集沒有子集；任何集合至少有兩個子集；空集是任何集合的真子集；若ÆA，則Æ其中正確的是（ ）A、0個 B、1個 C、2個 D、3個2.已知集合，且A中至少含有一個奇數，則這樣的集合A有（ ） A、13個 B、12個 C、11個 D、10個3.設集合，則（ ） A、M=N B、MN C、 D、NM4.已知集合,，且BA，則實數的取值范圍是_。5.已知集合,若

20、集合A有且僅有2個子集，則的取值是（ ） A、1 B、 C、0，1 D、，0，16.設，集合，則（ ） A、1 B、 C、2 D、7.已知,則_8.已知,則_9.已知集合,，若Æ且BA，求實數的值。10.如果數集中有3個元素，那么不能取哪些值？11.不等式組的解集為，試求及12.已知集合, （1）、若，求實數的取值范圍。 （2）、若，求A的非空真子集的個數。1.3集合的基本運算1.3.1并集：一般地,由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作AB,(讀作“A并B”).即 AB=x|xA,或xB。如圖1-3-1所示。例如，設A=4,5,6,8, B=3,

21、5,7,8,求AB.解: AB=4,5,6,8 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8UCUA再比如說，設集合A=x|-1<x<2,集合B=x|1<x<3，求AB.A解: AB=x|-1<x<2 x|1<x<3=x|-1<x<3 圖1-3-1 圖1-3-2 圖1-3-31.3.2交集：一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作AB,(讀作“A交B”),即AB=x|xA,且xB。如圖1-3-2所示。例如，設A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求AB.解: AB.=4,5,6,83,5,7,8=5

22、,8再比如說，新華中學開運動會,設A=x|x是新華中學高一年級參加百米賽跑的同學B=x|x是新華中學高一年級參加跳高比賽的同學,求AB.解:AB=x|x是新華中學高一年級既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學.1.3.4補集：一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中所涉的所有元素,那么就稱這個集合為全集,通常記作U. 對于一個集合A,由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集,簡稱為集合A的補集. ，如圖1-3-3所示。例如，設U=x|x是小于9的正整數,A=1,2,3，B=3,4,5,6,求CuA,CuB解:根據題意可知,U=1,2,3,4,5,6,7,8,所以 CuA=

23、4,5,6,7,8； CuB=1,2,7,8 .1.3.5集合中，一些常用的運算性質：本節(jié)精講一 有關兩個集合的并集、交集的問題1已知集合M直線，N圓，則MN的元素個數為()個()A0B1 C2 D不確定2(2010·江西理，2)若集合Ax，By|yx2，xR，則AB()Ax|1x1 Bx|x0 Cx|0x1 D3(09·山東文)集合A0,2，a，B1，a2若AB0,1,2,4,16，則a的值為()A0 B1 C2 D44(2010·福建文，1)若集合Ax|1x3，Bx|x>2，則AB等于()Ax|2<x3 Bx|x1 Cx|2x<3 Dx|x&

24、gt;25設集合Ax|1x2，Bx|xa，若AB，則a的取值范圍是()Aa2 Ba2 Ca1 D1a26(08·山東文)滿足Ma1，a2，a3，a4，且Ma1，a2，a3a1，a2的集合M的個數是()A1 B2 C3 D47(09·全國理)設集合Ax|x>3，B，則AB()A B(3,4) C(2,1) D(4，)8設P、Q為兩個非空實數集合，定義集合PQx|xab，aP，bQ，若P0,1,2，Q1,1,6，則PQ中所有元素的和是()A9 B8 C27 D269已知集合Ax|x2k1，kN*，Bx|xk3，kN，則AB等于()AB BA CN DR10當xA時，若x1A，且x1A，則稱x為A的一個“孤立元素”，由A的所有孤立元素組成的集合稱為A的“孤星集”，若集合M0,1,3的孤星集為M，集合N0,3,4的孤星集為N，則MN()A0,1,3,4 B1,4 C1,3 D0,3二、填空題11若集合A2,4，x，B2，x2，且AB2,4，x，則x_.12已