重慶大學研究生2010級矩陣試題答案

1、 學院 年級 班 學號 姓名 -線- - -封- -密- 重慶大學研究生2010級工科碩士生矩陣論 考試試卷A(考試時間：2010年12月10日 晚7：00-9：00 考試方式：閉卷A) 成績： 一、（15分）設, 試求 . 解： (4分)利用長除法或待定系數(shù)法求的 （5分）由于 所以 =A+2E (3分)所以原式= (3分)二、（15分）定義在由數(shù)域上次數(shù)不超過2的多項式構(gòu)成的線性空間,對任意的,定義.證明： (1) 構(gòu)成的內(nèi)積,從而對這個內(nèi)積構(gòu)成歐氏空間; （2）證明為中一組基; (3) 求對基坐標.解：證：(1) 對稱性：。 （2分） 可加性： 對，有。 （2分） 齊次性：對，有。 （2

2、分） 非負性：顯然有，且。從而構(gòu)成內(nèi)積。 （2分）(2) 先證線性無關。假定存在三個常數(shù)，使得：顯然要使得該等式恒成立，必有：，從而線性無關。 （1分）其次，任意多項式 均由線性表示。故得證。 (1分)(3) 方法一，假定存在三個常數(shù)使得= 展開比較。即有坐標為。 （5分）(4) 方法二， 所以有即有坐標為。 學院 年級 班 學號 姓名 -線- - -封- -密-三、（10分）證明：設是上的方陣范數(shù), 是可逆矩陣且. 對于任意矩陣,規(guī)定. 證明：是上的方陣范數(shù). 證明：1.非負性：（1）（2）是可逆矩陣,（3）是可逆矩陣,（3分）2.齊次性：, （2分）3. 三角不等式:, （2分）4.次乘性

3、：, （3分）四、（5分）設若存在一種矩陣范數(shù)使得則證明：1.（2分）2. （2分）3. （1分）五、（5分）設。證明：相容的充要條件為。證明：若，則顯然為的解，故相容。(2分)反過來，若相容，則存在，使得：， (2分)從而：。 （1分） 學院 年級 班 學號 姓名 -線- - -封- -密-六、(10分) 設矩陣求算子范數(shù)與.解：1. = （5分） 2. = （5分）七、（15分）假定(1) 求矩陣的滿秩分解； (5分)(2) 求； (5分)(3) 判斷方程組是否相容？若相容，求其最小范數(shù)解；若不相容，求其極小最小二乘解。(5分)解：（1），故矩陣的滿秩分解為：。（2），。（3）因為，所以方程組是不相容。從而其極小最小二乘解為：。八、（15分）設求解常微分方程組的初值問題. 解：1.求出最小多項式.（5分）2.求出.設于是（3分） .（5分）3.求解方程組：（2分） 學院 年級 班 學號 姓名 -線- - -封- -密-九、（10分）令，。試用圓盤定理估計矩陣的特征值分布范圍，并在復平面上畫出示意圖；為了得到更精確的結(jié)果，請利用矩陣的蓋爾圓盤來隔離矩陣的特征值。解：（1） 由矩陣蓋爾圓的定義，易求得三個蓋爾圓分別為： 。（3分） （2） 顯然，三個蓋爾圓有兩個在復平面上相交。(圖略)（4分） （3）令。（6分） 于是此時可進一步求得的三個蓋爾圓分別為：。顯然，此時三個蓋爾圓兩