量子力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)簡介

1、目 錄第1章量子力學(xué)簡史1第2章 量子力學(xué)重要內(nèi)容簡介22.1基本假設(shè)22.2對易力學(xué)量完全集32.3態(tài)矢量、算符3態(tài)矢量3算符4第3章 泛函分析簡介43.1集合與空間4集合4拓撲空間5度量空間5賦范線性空間5內(nèi)積空間6希爾伯特空間6希爾伯特空間的重要性質(zhì)6綜述73.2線性算子8線性算子8線性運算與乘法9伴算子9自伴算子10第4章 量子力學(xué)中泛函分析的應(yīng)用114.1量子態(tài)的矩陣表示114.2算符124.3本征方程124.4平均值13第5章 后序13參考文獻15第一章量子力學(xué)簡史1900年，普朗克提出輻射量子假說，假定電磁場和物質(zhì)交換能量是以間斷的形式(能量子)實現(xiàn)的，能量子的大小同輻射頻率成正

2、比，比例常數(shù)稱為普朗克常數(shù)，從而得出黑體輻射能量分布公式，成功地解釋了黑體輻射現(xiàn)象。1905年，愛因斯坦引進光量子(光子)的概念，并給出了光子的能量、動量與輻射的頻率和波長的關(guān)系，成功地解釋了光電效應(yīng)。其后，他又提出固體的振動能量也是量子化的，從而解釋了低溫下固體比熱問題。1913年，玻爾在盧瑟福原有核原子模型的基礎(chǔ)上建立起原子的量子理論。按照這個理論，原子中的電子只能在分立的軌道上運動，在軌道上運動時候電子既不吸收能量，也不放出能量。原子具有確定的能量，它所處的這種狀態(tài)叫“定態(tài)”，而且原子只有從一個定態(tài)到另一個定態(tài)，才能吸收或輻射能量。這個理論雖然有許多成功之處，但對于進一步解釋實驗現(xiàn)象還有

3、許多困難。在人們認識到光具有波動和微粒的二象性之后，為了解釋一些經(jīng)典理論無法解釋的現(xiàn)象，法國物理學(xué)家德布羅意于1923年提出了物質(zhì)波這一概念。認為一切微觀粒子均伴隨著一個波，這就是所謂的德布羅意波。由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子所遵循的運動規(guī)律就不同于宏觀物體的運動規(guī)律，描述微觀粒子運動規(guī)律的量子力學(xué)也就不同于描述宏觀物體運動規(guī)律的經(jīng)典力學(xué)。當(dāng)粒子的大小由微觀過渡到宏觀時，它所遵循的規(guī)律也由量子力學(xué)過渡到經(jīng)典力學(xué)。量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的差別首先表現(xiàn)在對粒子的狀態(tài)和力學(xué)量的描述及其變化規(guī)律上。在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描述，它是坐標和時間的復(fù)函數(shù)。為了描寫微觀粒子狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律，

4、就需要找出波函數(shù)所滿足的運動方程。這個方程是薛定諤在1926年首先找到的，被稱為薛定諤方程。當(dāng)微觀粒子處于某一狀態(tài)時，它的力學(xué)量(如坐標、動量、角動量、能量等)一般不具有確定的數(shù)值，而具有一系列可能值，每個可能值以一定的幾率出現(xiàn)。當(dāng)粒子所處的狀態(tài)確定時，力學(xué)量具有某一可能值的幾率也就完全確定。這就是1927年，海森伯得出的測不準關(guān)系，同時玻爾提出了并協(xié)原理，對量子力學(xué)給出了進一步的闡釋。量子力學(xué)和狹義相對論的結(jié)合產(chǎn)生了相對論量子力學(xué)。經(jīng)狄拉克、海森伯（又稱海森堡，下同）和泡利（pauli）等人的工作發(fā)展了量子電動力學(xué)。20世紀30年代以后形成了描述各種粒子場的量子化理論量子場論，它構(gòu)成了描述基

5、本粒子現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。第2章 量子力學(xué)重要內(nèi)容簡介2.1基本假設(shè)量子力學(xué)的基本假設(shè)是整個量子力學(xué)體系的基礎(chǔ)，有如下四個。這四個假設(shè)可推導(dǎo)出整個量子力學(xué)（非相對論）。（1） 一個物理系統(tǒng)于時間點的狀態(tài)可以由希爾伯特空間中的一個歸一化矢量來定義。這里的希爾伯特空間指的是定義了內(nèi)積的平方可積的線性矢量空間。（2） 每個可觀測量可以通過狀態(tài)空間中的一個線性厄米算符來表示，可觀測量在狀態(tài)的期望值（即測量結(jié)果的平均值）為 。進一步的，對應(yīng)于可觀測量的厄米算符的所有本征態(tài)構(gòu)成希爾伯特空間中的正交歸一的完備函數(shù)系。任意一個態(tài)矢量都可以由該算符的本征態(tài)展開。如果系統(tǒng)處于算符的本征態(tài)上，對應(yīng)的可觀測量具有唯一確定

6、的測量值，即該本征態(tài)對應(yīng)的本征值。對于任意的態(tài)，觀測量的測量值是各本征值的帶權(quán)平均。量子力學(xué)中的測量是不可逆的，測量后系統(tǒng)處于該測量值的一個特征矢量上。（3） 位置算符和動量算符之間滿足正則對易關(guān)系由此對易關(guān)系可以確定動量算符的表達式，而所有的其他算符都可以由位置算符和動量算符表出。（4） 狀態(tài)矢量的動力學(xué)演化由薛定諤方程表示： 在這里哈密頓算符通常對應(yīng)于系統(tǒng)的總能量。2.2對易力學(xué)量完全集設(shè)有一組彼此獨立而且相互對易的厄米算符，它們的共同本征態(tài)記為，表示一組完備的量子數(shù)。設(shè)給定一組量子數(shù)之后，就能夠確定體系的唯一一個可能狀態(tài)，則我們稱構(gòu)成體系的一組對易可觀測量完全集（complete set

7、 of commuting obserbables，簡稱CSCO），習(xí)慣稱為對易力學(xué)量完全集，或簡稱力學(xué)量完全集1。CSCO在量子力學(xué)中是個很重要的概念，是完全描述系統(tǒng)的最小集合，即從中抽出任何一個可觀測量后，就不再構(gòu)成CSCO。其中可觀測量的數(shù)目一般等于體系的自由度。一個給定的體系往往可以找到多個CSCO，且涉及體系的對稱性。一組力學(xué)量完全集可以找到對應(yīng)的共同本征態(tài)，其性質(zhì)用共同本征函數(shù)描述。所有本征態(tài)的本征函數(shù)構(gòu)成本征函數(shù)系，本征函數(shù)系是完備的，所有物理系統(tǒng)的量子狀態(tài)可以在該本征函數(shù)系中進行展開。至于本征函數(shù)系的完備性是個很復(fù)雜的問題，本文對此不做詳細討論（可參見參考文獻2）。 2.3態(tài)矢

8、量、算符態(tài)矢量量子力學(xué)的基本假設(shè)中已經(jīng)提到，物理系統(tǒng)的某個狀態(tài)用希爾伯特空間中歸一化矢量來描述，這個矢量叫做態(tài)矢量（state vector），簡稱態(tài)矢。態(tài)矢量是一個關(guān)于時間和空間的函數(shù)，它描述物理系統(tǒng)的所有物理性質(zhì)。由于物理意義上的需要，態(tài)矢量函數(shù)還需要滿足以下三個條件：單值的，即在空間每一點只能有一個值；連續(xù)的，即的值不能出現(xiàn)突躍； 對的一級微商也應(yīng)是連續(xù)的；平方可積的（有限），即在整個空間的積分應(yīng)為一有限值，通常要求波函數(shù)歸一化，即。在薛定諤圖像中，態(tài)矢量隨時間的演化、隨空間的變化要滿足薛定諤方程（非相對論理論），在海森堡圖像中則要滿足海森堡方程。這兩個方程是等價的，描述同樣的物理規(guī)律。

9、算符定義算符滿足的數(shù)學(xué)符號稱為算符。其中，為算符的本征函數(shù)系，為算符作用到本征態(tài)而得到的本征值，為所有本征值的加權(quán)平均。量子力學(xué)中的算符源自數(shù)學(xué)中的算子理論，關(guān)于算子理論的內(nèi)容將在下一小節(jié)中做簡要介紹。量子力學(xué)中的可觀測量(observable)，或稱力學(xué)量，由一個線性厄米算符表示。算符的線性要求也正是態(tài)疊加原理的反映。假設(shè)物理系統(tǒng)處于力學(xué)量的本征態(tài)，則算符、本征函數(shù)與本征值之間的關(guān)系在本征方程中得到鮮明體現(xiàn)：對于哈密頓算符則有：其中即為系統(tǒng)總能量。第3章 泛函分析簡介上面對量子力學(xué)中與數(shù)學(xué)相關(guān)的基本概念做了簡單介紹，下面將介紹這些概念背后嚴密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。3.1集合與空間集合集合這一數(shù)學(xué)概念的

10、使用非常廣泛，它是如此之一般，以致很難給它下一個不歸結(jié)為其同義詞的定義。這些同義詞無非是元素的總體，元素的全體等。集合簡稱集。拓撲空間定義 設(shè)（某一個集）是“空間承載子”，是的子集所成的任一集族。如果滿足下列兩條公理：1） 集本身與空集皆屬于，2） 中任意多個（有限個或無限個）集的和及任意有限個集的交都屬于，則稱為中的拓撲。集與在其中給定的拓撲，即偶稱為拓撲空間（topological space）。簡單的說，如果對一個非空集合給予適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，使之能引入微積分中的極限和連續(xù)的概念，這樣的結(jié)構(gòu)就稱為拓撲，具有拓撲結(jié)構(gòu)的空間稱為拓撲空間。引入拓撲結(jié)構(gòu)的方法有多種，如鄰域系、開集系、閉集系、閉包系、

11、內(nèi)部系等不同方法。度量空間定義 由元素（點）的某集（空間）及距離組成的偶叫做度量空間（metric space），其中距離是由中任何與確定的單值實函數(shù)，它滿足以下三條公理：1），當(dāng)且僅當(dāng)時，2） （對稱公理），3） （三角形公理），稱為空間的一個度量（距離）。度量空間也叫距離空間。度量空間中最符合我們對于現(xiàn)實直觀理解的是三維歐氏空間。這個空間中的歐幾里德度量定義兩點之間距離為連接這兩點的直線的長度。賦范線性空間以往的函數(shù)我們一般用來表示，此時的函數(shù)我們用表示，對應(yīng)， 對應(yīng)。設(shè)代表實數(shù)域或復(fù)數(shù)域。設(shè)是實數(shù)域（或復(fù)數(shù)域）上的線性空間，函數(shù)滿足條件：對任意，；且，當(dāng)且僅當(dāng)；（注意：為上的零元）對任意

12、及，（齊次性）；對任意，（三角不等式）。稱是上的一個范數(shù)，上定義的范數(shù)稱為賦范線性空間，記為3。 范數(shù)概念是歐幾里德空間模長脫離了精確定義之后的推廣。完備化的賦范空間就是Banach 空間。內(nèi)積空間定義了內(nèi)積的矢量空間稱為內(nèi)積空間（Inner product space）。內(nèi)積公理（定義在實數(shù)或復(fù)數(shù)域上的）矢量空間中矢量的內(nèi)積是它們的標量值函數(shù)，滿足：1）與互為復(fù)共軛，即；2），其中和是數(shù)域上的標量；3）對于任何，；當(dāng)且僅當(dāng)時，。希爾伯特空間在一個復(fù)向量空間上的給定的內(nèi)積可以按照如下的方式導(dǎo)出一個范數(shù)（norm）： 如果此規(guī)定構(gòu)成的空間對于這個范數(shù)來說是完備的，那么這個空間稱為是一個希爾伯特空

13、間（Hilbert space）。希爾伯特空間的重要性質(zhì)定義：（1）設(shè)。若，則說與正交或直交，記為。（2）設(shè)。若當(dāng)時，則稱為正交系。若是正交系且（這等價于，是Konecker記號），則稱為標準正交系。（3）設(shè)。約定，有；，有；，稱為的正交補。當(dāng)時，稱與相互正交。性質(zhì)：若是一有限正交系，則有。一般地，若，類似地有。性質(zhì)：不含零元的正交系必線性無關(guān)。性質(zhì)：設(shè)是中的標準正交系。若可表為，則有，即表達式中的系數(shù)惟一確定。定義：若每個均可表為，則稱為的標準正交基。定理 設(shè)是Hilbert空間中的標準正交系，則以下條件相互等價：（1）是的標準正交基；（2）是的基本集；（3）是極大正交系，即若，則；（4）對

14、任給的，成立如下的Parseval等式：；（5）對任給的，成立如下內(nèi)積公式：。推論（標準正交基的存在問題）：設(shè)是一個可分的無限維Hilbert空間，則其一定存在標準正交基。綜述一個集合，加上一套公理就稱為一個空間。對一個集合賦予一定的拓撲機構(gòu)就構(gòu)成一個拓撲空間。度量空間就是一種拓撲空間。同樣，賦范空間屬于度量空間，因為如果在任一賦范空間中引入度量4：則可推知其滿足度量空間的公理，故賦范空間是一種度量空間。內(nèi)積可以誘導(dǎo)出范數(shù)，故內(nèi)積空間又屬于賦范空間。完備化的內(nèi)積空間就是希爾伯特空間5。如下圖所示：量子力學(xué)所使用的希爾伯特空間是函數(shù)空間，即空間的元素是函數(shù)，更確切的說是定義在一定區(qū)間上（有界或無

15、界）上的復(fù)值平方可積函數(shù)（即對于，確保有限）6?？梢宰C明，這樣的平方可積函數(shù)的集合對于加法和數(shù)乘是封閉的，因此構(gòu)成一個線性空間（矢量空間）。量子力學(xué)中內(nèi)積的定義如下：對于任意兩個函數(shù)定義為對應(yīng)量子體系的內(nèi)積，也叫標積（scalar product）1。3.2線性算子線性算子假設(shè)等是（實數(shù)或復(fù)數(shù)）上的向量空間。定義： 若一個映射滿足，則稱為從到的線性算子。容易看出，上述等式可推廣到更一般的情形：。若，則稱為零算子，就記為0；若為常數(shù)，則稱為純量算子（或相似變換，若），記作，當(dāng)與1時，分別是零算子和單位算子。線性運算與乘法對線性算子可定義兩種自然的運算：線性運算與乘法。若是線性算子，則是一個線性算

16、子，它定義為若是另一個算子，則由定義出一個線性算子，稱它為與的乘積。實際上，線性算子的乘積就是它們的復(fù)合。容易驗證，如上定義的運算有以下性質(zhì)：只要以上等式的一端有意義。伴算子定義 設(shè)和為定義在一定函數(shù)空間內(nèi)的線性（微分）算子，若對于該函數(shù)空間內(nèi)的任意函數(shù)和，恒有 即 則稱是的伴算子6。若為微分算子，于是所以，當(dāng)和都滿足邊界條件時，的伴算子是。如果是的伴算子，則對于任意函數(shù)和也有所以，也是的伴算子。自伴算子定義 若算子的伴算子就是它本身，則稱是自伴算子。若是自伴算子，則對于該函數(shù)空間內(nèi)的任意函數(shù)和，恒有 即 定義 設(shè)為自伴算子，則方程稱為自伴算子的本征值問題。自伴算子的本征值問題具有一下幾個重要

17、的基本性質(zhì)：（1） 自伴算子的本征值必然存在。本征值有無數(shù)多個，構(gòu)成可數(shù)集。（2） 自伴算子的本征值必為實數(shù)，且構(gòu)成可數(shù)集。（3） 自伴算子的本征函數(shù)具有正交性，即對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)一定正交。（4） 自伴算子的本征函數(shù)（的全體）構(gòu)成一個完備函數(shù)組，即任意一個在區(qū)間中有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)、且滿足和自伴算子相同的邊界條件的函數(shù)，均可按本征函數(shù)展開為絕對而且一致收斂的級數(shù)其中。特別是，如果本征函數(shù)是歸一化的，則上式分母為1，展開形式更加簡單。算子的自伴性總是和一定的函數(shù)空間聯(lián)系在一起的。通常，我們總是要求函數(shù)定義在給定的區(qū)間上，要求函數(shù)具有足夠的連續(xù)性，（例如，對于二階微分算子，就要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

18、連續(xù)，至少分段連續(xù)；如果是無界區(qū)間，則要求函數(shù)平方可積），我們實際上總是限于希爾伯特空間。并且，還要求函數(shù)滿足一定的（齊次）邊界條件，即總是局限在希爾伯特空間中的特定子空間內(nèi)。絕不能脫離邊界條件的約束來討論算子的自伴性。一個算子，相對于某一個函數(shù)是自伴的，但相對于另一個函數(shù)，就可能不是自伴的6。伴算子也叫共軛算子，自伴算子也叫自共軛算子。算子也叫算符。量子力學(xué)的基本假設(shè)中已經(jīng)提到，要求可觀測量用一個線性厄米算符表示。一般認為厄米算符就是自伴算子（自共軛算子），按著自伴算子的數(shù)學(xué)性質(zhì)進行數(shù)學(xué)運算（實際上兩者有微小區(qū)別，數(shù)學(xué)上已證明，自共軛算符一定是厄密算符，反之不然。自共軛算符不一定具有完備的本

19、征函數(shù)組7）。所以量子力學(xué)中關(guān)于算符的各種運算，比如加法、乘法、乘冪以及算符的函數(shù)，還有算符的復(fù)共軛、轉(zhuǎn)置、厄米共軛等都是根據(jù)泛函分析里有關(guān)算子的數(shù)學(xué)性質(zhì)得出的。第4章 量子力學(xué)中泛函分析的應(yīng)用由上面介紹的數(shù)學(xué)知識可知，自伴算子的本征函數(shù)組構(gòu)成完備函數(shù)系，即滿足上述條件的函數(shù)均可在該函數(shù)系中展開。這也正如量子力學(xué)的假設(shè)中提到的，對應(yīng)于可觀測量的厄米算符的所有本征態(tài)構(gòu)成希爾伯特空間中的正交歸一的完備函數(shù)系。任意一個態(tài)矢量都可以由該算符的本征態(tài)展開。4.1量子態(tài)的矩陣表示假設(shè)某一力學(xué)量的厄米算符為，本征值為,本征方程為 （）為力學(xué)量的本征函數(shù)系，也就是在表象下的基矢，不妨用狄拉克符號表示為。那么對

20、于任意一個量子態(tài)可以展開為：由基矢的正交歸一性，可知它表示在基矢上的“投影”。當(dāng)所有都給定，就給定了一個態(tài)，所以這組數(shù)就是態(tài)在表象中的表示。排成列矢為：此即量子態(tài)的矩陣表示形式1。4.2算符已知設(shè)算符作用到態(tài)矢量（已歸一化）上，使之變?yōu)閼B(tài)（已歸一化），則兩邊乘左，取內(nèi)積可得假設(shè)為力學(xué)量的本征函數(shù)系，則即為算符在表象下的矩陣元。故關(guān)系式可以寫成矩陣的形式如下：。薛定諤方程的矩陣表示為哈密頓算符在表象中的矩陣元1。4.3本征方程可變?yōu)閮蛇呑蟪巳朔e，并假設(shè)波函數(shù)已歸一化，得所以可得這既是的本征方程在表象中的形式，它是線性齊次代數(shù)方程組，有非平庸解的充要條件為即4.4平均值矩陣形式的平均值為第5章 后序在1926年左右，出現(xiàn)了兩種量子物理的理論，即海森堡、波恩和約當(dāng)?shù)木仃嚵W(xué)和薛定諤的波動力學(xué)。1926年，薛定諤第一個證明兩者的等價性，雖然薛定諤