選修21空間向量及其運(yùn)算知識點(diǎn)

1、3.1空間向量及其運(yùn)算知識點(diǎn)1 空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量(2)單位向量：模為1的向量稱為單位向量(3)相等向量：方向相同且模相等的向量(4)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量(5)共面向量：平行于同一個平面的向量2.空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算向量的加減法滿足平行四邊形法則和三角形法則向量加法的多邊形法則：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.運(yùn)算律：加法交換律：abba 加法結(jié)合律：(ab)ca(bc) 數(shù)乘分配律：(ab)ab.3共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線

2、向量定理對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ab.推論：點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使得 或?qū)臻g任意一點(diǎn)O,有 或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有其中xy1 【推論推導(dǎo)過程：】(2)共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么p與a，b共面的充要條件是存在唯一有序?qū)崝?shù)對（x,y）使pxayb推論：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在唯一有序?qū)崝?shù)對（x,y）使，或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有，其中xyz1 【推論推導(dǎo)過程：】(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc基底：把

3、a，b，c叫做空間的一個基底，空間任何三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底4 空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是0a，b，若a，b，則稱a與b互相垂直，記作ab.兩向量的數(shù)量積：已知空間兩個非零向量a，b，向量a，b的數(shù)量積記作a·b，且a·b|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律： 結(jié)合律：(a)·b(a·b)； 交換律：a·bb·a； 分配律：a·(bc)a·ba

4、83;c.5 空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：a·ba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示：ababa1b1，a2b2，a3b3 (R)， aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式：|a|， cosa，b . 設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則dAB|.6. 用空間向量解決幾何問題的一般步驟：(1)適當(dāng)?shù)倪x取基底a，b，c；(2)用a，b，c表示相關(guān)向量；(3)通過運(yùn)算完成證明或計算問題題型一空間向量的線性運(yùn)算用已知向量來表示未知向量，

5、應(yīng)結(jié)合圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，表示為其他向量的和與差的形式，進(jìn)而尋找這些向量與基向量的關(guān)系例1：三棱錐OABC中，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是ABC的重心，用基向量，表示， .解析：()(). .例2：如圖所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四邊形若，2，且,試求x、y、z的值.解連接AF，. （）（） 題型二共線定理應(yīng)用向量共線問題：充分利用空間向量運(yùn)算法則，用空間中的向量表示a與b，化簡得出ab，從而得出ab，即a與b共線點(diǎn)共線問題：證明點(diǎn)共線問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線問題，如證明A、B、C三點(diǎn)共線，即證明與共線例3：如圖所示，四邊形ABCD，

6、ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，判斷與是否共線？2，即與共線例4：如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2ED1，F(xiàn)在對角線A1C上，且.求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線證明：設(shè)a，b，c.2=b，=()()abcEabc， bcaabc，.所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線題型三共面定理應(yīng)用點(diǎn)共面問題：證明點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P、A、B、C四點(diǎn)共面，只要能證明xy，或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有xy或xyz(xyz1)即可例5：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對于平面ABC外一點(diǎn)O，若 ，則點(diǎn)P是否與A、B、C一定共面？試說明理由解析： ，故A、B

7、、C、P四點(diǎn)共面.例6：如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC、PD，點(diǎn)E、F、G、H分別為PAB、PBC、PCD、PDA的重心，應(yīng)用向量共面定理證明：E、F、G、H四點(diǎn)共面證明：分別延長PE、PF、PG、PH交對邊于M、N、Q、R. E、F、G、H分別是所在三角形的重心，M、N、Q、R為所在邊的中點(diǎn)順次連結(jié)M、N、Q、R，所得四邊形為平行四邊形，且有，.()()()()(). 由共面向量定理得E、F、G、H四點(diǎn)共面.例7：正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1和A1D1的中點(diǎn)，求證向量，是共面向量證明：如圖所示，().由向量共面的充要條件知，是

8、共面向量題型四空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例8：如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長； (2)求BD1與AC夾角的余弦值解析：(1)記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×6，|，即AC1的長為.(2)bca，ab，|，|，·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos，.AC與BD1夾

9、角的余弦值為.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則·的值為() Aa2 B.a2 C.a2 D.a2解析：設(shè)a，b，c，則|a|b|c|a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60°.(ab)，c，·(ab)·c(a·cb·c)(a2cos60°a2cos60°)a2.題型五 空間向量坐標(biāo)運(yùn)算例9：如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E為PB的中點(diǎn)，cos，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ()A(1,1,1)

10、 B. C. D(1,1,2)設(shè)PDa (a>0)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E，(0,0，a)，cos，a·，a2.E的坐標(biāo)為(1,1,1)例10：已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)=_解析：由題意得ctab(2t，t4，3t2)，例11：已知ABC的頂點(diǎn)A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，試求ABC的面積(1,1,1)，(2,1,3)，|，|，·2136，cosAcos，.sinA.SABC|·|·sinA×××.例1

11、2：已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值可以是()A2， B， C3,2 D2,2解析由題意知：解得或例13：已知空間中三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.，若kab與ka2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值方法一kab(k1，k,2)ka2b(k2，k，4)，且kab與ka2b互相垂直， (k1，k,2)·(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或，方法二由(2)知|a|，|b|，a·b1，(kab)·(ka2b)k2a2ka·b2b22k2k100，得k2或.例14：已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(

12、2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，為邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|，且a分別與，垂直，求向量a的坐標(biāo)解(1)cos，.sin，以，為邊的平行四邊形的面積為S2×|·|·sin，14×7.（2） 設(shè)a(x，y，z)，由題意得，解得或，例15：如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，則 ()AEF至多與A1D、AC之一垂直 BEF與A1D、AC都垂直 CEF與BD1相交 DEF與BD1異面 解析：設(shè)AB1，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間

13、直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1，1)，··0，從而EFBD1，EFA1D，EFAC.例16：已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，當(dāng)·取最小值時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是_解析：設(shè)(，2)，則(1，2，32)，(2，1，22)·(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106()2.當(dāng)時，·取最小值為.此時，(，)，綜合練習(xí)1、 選擇題1、下列命題：

14、其中不正確的所有命題的序號為_若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有0； |a|b|ab|是a、b共線的充要條件；若a、b共線，則a與b所在直線平行； 對空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若xyz (x、y、zR)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面設(shè)命題p：a，b，c是三個非零向量；命題q：a，b，c為空間的一個基底，則命題p是命題q的充要條件解析：選，中四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，正確；中當(dāng)a、b同向時，應(yīng)有|a|b|ab|；中a、b所在直線可能重合；中需滿足xyz1，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面；只有不共面的三個非零向量才能作為空間的一個基底，應(yīng)改為必要不充分條件2、有下列命題：其中真命題的個數(shù)是(

15、)若pxayb，則p與a，b共面； 若p與a，b共面，則pxayb；若xy，則P，M，A、B共面； 若P，M，A，B共面，則xy.A1 B2 C3 D4解析其中為真命題中，若a，b共線，則pxayb；3、已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，與的夾角為120°，則的值為()A± B. C D±解析：(1，)，cos120°，得±.經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去，.4、 如圖所示，已知PA平面ABC，ABC120°，PAABBC6，則PC等于()A6 B6 C12 D144解析2()2=2222·3636362×36cos

16、60°144|12證明設(shè)a，b，c，則a(abc)abc，()abc. ，即B、G、N三點(diǎn)共線5、正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)M在AC1上且，N為B1B的中點(diǎn)，則|為 ()A.a B.a C.a D.a解析以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.設(shè)M(x，y，z)點(diǎn)M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.M，|a.6、如圖所示，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC，則cos，的值為 ()A0 B. C. D.解析設(shè)a，b，c，由已知條件a，ba，c，且|b|c|， ·a&

17、#183;(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.7、如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是 ()A abc B.abc Cabc D.abc解析()c(ba)abc.8、 8、平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量，兩兩的夾角均為60°，且|1，|2，|3，則|等于() A5 B6 C4 D8設(shè)a，b，c，則abc，2a2b2c22a·b2b·c2c·a25，|5.9、在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是()A.32 B0 C 0

18、 D解析：C中.故M、A、B、C四點(diǎn)共面2、 填空題10、同時垂直于a(2,2,1)和b(4,5,3)的單位向量是_解析設(shè)與a(2,2,1)和b(4,5,3)同時垂直b單位向量是c(p，q，r)，則解得或所求向量為或.11 若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則_.解析由已知得，83(6)，解得2或.12 在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(4,1,9)、B(10，1,6)、C(x,4,3)為頂點(diǎn)的ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)x的值為_解析由題意知·0，|，可解得x2.13 已知a3b與7a5b垂直，且a4b與7a2b垂直，則a，b_.解析由條件知(a3b)·(7a5b)7|a|216a·b15|b|20，及(a4b)·(7a2b)7|a|28|b|230a·b0.兩式相減，得46a·b23|b|2，a·b|b|2.代入上面兩個式子中的任意一個，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b60°.14. 如圖所示，已知二面角l的平面角為 ，ABBC，BCCD，AB在平