高中概率與統(tǒng)計復習知識點與題型

1、概率與統(tǒng)計知識點與題型 3.1.2隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念：（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生

2、的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率 概率的基本性質1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若AB為不可能事件，即AB=，那么稱事件A與事件B互斥；（3）若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

3、（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；若事件A與B為對立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)2、概率的基本性質：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0P(A)1；2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；3）若事件A與B為對立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不

4、發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.2古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；求出總的基本事件數(shù)；求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=3.3.2幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概

5、型的概率公式：P（A）=；（1） 幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等一、隨機變量.1. 隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復進行；試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果.它就被稱為一個隨機試驗.2. 離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若是一個隨機變量，a，b是常數(shù).則也是一個隨機變量.一般地，若是隨機變量，是連續(xù)函數(shù)或單調函數(shù)

6、，則也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量.設離散型隨機變量可能取的值為：取每一個值的概率，則表稱為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.P有性質； .注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.例如：即可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).3. 二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：其中 于是得到隨機變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作B（n·p），其中n，p為參數(shù)，并記.二項分布的判斷與應用.二項分布，實際是對n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是

7、否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.4. 幾何分布：“”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量的概率分布列.123kPq qp 我們稱服從幾何分布，并記，其中5. 超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)是一離散型隨機變量，分布列為.分子是從M件次品中

8、取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定時，則k的范圍可以寫為k=0，1，n.超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1na+b），則次品數(shù)的分布列為.超幾何分布與二項分布的關系.設一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個產(chǎn)品編號，則抽取n次共有個可能結果，等可能：含個結果，故，即.我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法 可以證明：當產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看

9、作放回抽樣.二、數(shù)學期望與方差.1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為P則稱為的數(shù)學期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學期望又簡稱期望.數(shù)學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.2. 隨機變量的數(shù)學期望： 當時，即常數(shù)的數(shù)學期望就是這個常數(shù)本身.當時，即隨機變量與常數(shù)之和的期望等于的期望與這個常數(shù)的和.當時，即常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的乘積.01Pqp單點分布：其分布列為：. 兩點分布：，其分布列為：（p + q = 1）二項分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）幾何分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）3.方差、標準差的定義：當已知隨機變量的分布列為時，則稱為

10、的方差. 顯然，故為的根方差或標準差.隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動越小.4.方差的性質.隨機變量的方差.（a、b均為常數(shù)）01Pqp單點分布： 其分布列為兩點分布： 其分布列為：（p + q = 1）二項分布：幾何分布： 5. 期望與方差的關系.如果和都存在，則設和是互相獨立的兩個隨機變量，則期望與方差的轉化： （因為為一常數(shù)）.三、正態(tài)分布. 1.密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機變量，位于x軸上方，落在任一區(qū)間內的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）的曲線叫的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)叫做的

11、密度函數(shù)，由于“”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.2. 正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機變量的概率密度為：. （為常數(shù)，且），稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用表示.的表達式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布的期望與方差：若，則的期望與方差分別為：.正態(tài)曲線的性質.曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關于直線對稱.當時曲線處于最高點，當x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當時，曲線上升；當時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越

12、小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3. 標準正態(tài)分布：如果隨機變量的概率函數(shù)為，則稱服從標準正態(tài)分布. 即有，求出，而P（ab）的計算則是.注意：當標準正態(tài)分布的的X取0時，有當?shù)腦取大于0的數(shù)時，有.比如則必然小于0，如圖. 正態(tài)分布與標準正態(tài)分布間的關系：若則的分布函數(shù)通常用表示，且有. 習題16名同學排成兩排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 （ ）A BC D 2有10名學生，其中4名男生，6名女生，從中任選2名，恰好2名男生或2名女生的概率是 （）A B. C. D. 3甲乙兩人獨立的解同一道題,甲乙解對的概率分別是,那么至少有1人解對的概率是 （）A. B. C. D.4從

13、數(shù)字1, 2, 3, 4, 5這五個數(shù)中, 隨機抽取2個不同的數(shù), 則這2個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是 ()A. B. C. D. 5有2n個數(shù)字，其中一半是奇數(shù)，一半是偶數(shù)，從中任取兩個數(shù)，則所取的兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率是 （ ）A、 B、 C、 D、6有10名學生，其中4名男生，6名女生，從中任選2名學生，恰好是2名男生或2名女生的概率是 （）A BC D7已知P箱中有紅球1個，白球9個，Q箱中有白球7個，（P、Q箱中所有的球除顏色外完全相同）現(xiàn)隨意從P箱中取出3個球放入Q箱，將Q箱中的球充分攪勻后，再從Q箱中隨意取出3個球放入P箱，則紅球從P箱移到Q箱，再從Q箱返回P箱中的概率等于 （）AB C

14、DC9 2/C10 3 乘以C9 2/C10 3 8已知集合A=12，14，16，18，20，B=11，13，15，17，19，在A中任取一個元素用ai(i=1，2，3，4，5)表示，在B中任取一個元素用bj(j=1，2，3，4，5)表示，則所取兩數(shù)滿足ai>bI的概率為（）A、 B、 C、 D、9在圓周上有10個等分點，以這些點為頂點，每3個點可以構成一個三角形，如果隨機選擇3個點，剛好構成直角三角形的概率是（ ）直徑有5個A. B. C. D. 10已知10個產(chǎn)品中有3個次品，現(xiàn)從其中抽出若干個產(chǎn)品，要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應抽出產(chǎn)品 ( )A.7個 B.8

15、個 C.9個 D.10個11甲、乙獨立地解決 同一數(shù)學問題，甲解決這個問題的概率是0.8，乙解決這個問題的概率是0.6，那么其中至少有1人解決這個問題的概率是（ ） A、0.48 B、0.52 C、0.8 D、0.9212.某小組有三名女生，兩名男生，現(xiàn)從這個小組中任意選出一名組長，則其中一名女生小麗當選為組長的概率是_13.擲兩枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為3的概率是_14.某班委會由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔任正副班長，其中至少有1名女生當選的概率是_15.我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內的概率如下表所示：年降水量/mm 100, 150 ) 150, 200 ) 200, 2

16、50 ) 250, 300 概率0.210.160.130.12則年降水量在 200，300 （m,m）范圍內的概率是_16、向面積為S的ABC內任投一點P，則PBC的面積小于的概率是_。17、有五條線段，長度分別為1，3，5，7，9，從這五條線段中任取三條，則所取三條線段能構成一個三角形的概率為_18、在等腰RtABC中，在斜邊AB上任取一點M，則AM的長小于AC的長的概率為_19甲、乙兩名籃球運動員，投籃的命中率分別為0.7與0.8（1）如果每人投籃一次，求甲、乙兩人至少有一人進球的概率；（2）如果每人投籃三次，求甲投進2球且乙投進1球的概率20加工某種零件需要經(jīng)過四道工序，已知死一、二、

17、三、四道工序的合格率分別為，且各道工序互不影響（1）求該種零件的合格率（2）從加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率（3）假設某人依次抽取4件加工好的零件檢查，求恰好連續(xù)2次抽到合格品的概率（用最簡分數(shù)表示結果）21甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為、，和的分布列如下：012012PP則比較兩名工人的技術水平的高低為 .思路啟迪：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小.22. 某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.1

18、0.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元表示經(jīng)銷一件該商品的利潤（）求事件：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望參考答案：1-5、BDDBC 6-11、CBBBCD12. 13.14.15.0.25 16、 17、18、19：解：設甲投中的事件記為A，乙投中的事件記為B，（1）所求事件的概率為：P=P（A·）+P（·B）+P（A·B）=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8=0.94（2）所求事件的概率為：P=C0.72×0.3×C0.8×0.22=0042336 20：解：（1）該種零件