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文檔簡介
1、高等數(shù)學(xué)競賽 不定積分不定積分的概念與性質(zhì)1、設(shè),求2、設(shè),求3、已知,試求函數(shù)利用基本積分法求不定積分一、 利用湊微分法求不定積分1、 求下列不定分;(1)(2)(3)(4)2、求下列不定積分(1) (2)(3) (4) (5)二、利用第二換元積分法求不定積分1、三角代換求下列積分(1) (2) (3) (4)2、倒代換(即令)求下列積分(1) (2)3、指數(shù)代換(令則)(1) (2)4、利用分部積分法求不定積分(1) (2)(3) (4)(5)5、建立下列不定積分的遞推公式(1) (2)有理函數(shù)的積分1、求下列不定積分(1) (2) (3)2、求下列不定積分(1) (2) (3) (4)簡
2、單無理函數(shù)積分1、 2、三角有理式積分1、 2、 3、4、 5、 6、含有反三角函數(shù)的不定積分1、 2、抽象函數(shù)的不定積分1、 2、分段函數(shù)的不定積分例如:設(shè) 求.高等數(shù)學(xué)競賽 定積分比較定積分大小1、 比較定積分和的大小2、 比較定積分和的大小利用積分估值定理解題一、估值問題1、試估計(jì)定積分的值2、試估計(jì)定積分的值二、不等式證明1、證明不等式:2、證明不等式:三、求極限1、 2、關(guān)于積分上限函數(shù)及牛頓-萊布尼茲公式問題1、求下列導(dǎo)數(shù):(1);(2)由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、設(shè)在上連續(xù)且滿足,求3、設(shè)為關(guān)于的連續(xù)函數(shù),且滿足方程,求及常數(shù).4、求下列極限:(1) (2)5、設(shè)是連續(xù)函數(shù),且,
3、求.6、已知且,求及定積分的計(jì)算一、分段函數(shù)的定積分1、設(shè)求2、求定積分二、被積函數(shù)帶有絕對值符號(hào)的積分1、求下列定積分:(1) (2)2、求定積分的值三、對稱區(qū)間上的積分1、設(shè)在上連續(xù),計(jì)算2、設(shè)在上連續(xù),且對任何有,計(jì)算3、計(jì)算積分4、設(shè)在區(qū)間上連續(xù),為偶函數(shù),且滿足條件(為常數(shù)).(1)證明:(2) 利用(1)的結(jié)論計(jì)算定積分四、換元積分法1、求下列定積分:(1) (2) (3)五、分部積分1、設(shè)有一個(gè)原函數(shù)為,求2、 3、積分等式的證明一、換元法(適用于被積函數(shù)或其主要部分僅給出連續(xù)條件)1、若函數(shù)連續(xù),證明:(1)(2)(3)2、設(shè)連續(xù),求證,并計(jì)算3、設(shè)連續(xù),且關(guān)于對稱,z證明:
4、(提示:關(guān)于對稱,即)二、分部積分法(適用于被積函數(shù)中含有或變上限積分的命題)例:設(shè)連續(xù),證明: 三、構(gòu)造輔助函數(shù)法(適用于證明在積分限中至少存在一點(diǎn)或使等式成立的命題)解題思路:(1)將或改成,移項(xiàng)使等式一端為零,則另一端即為所作的輔助函數(shù)或。(2)驗(yàn)證滿足介值定理或微分中值定理的條件。(3)由介值定理或微分中值定理,即可證得命題。1、設(shè)在上連續(xù),證明:至少存在一點(diǎn),使得: 2、設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),.求證:在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使四、積分不等式的證明常用的證明積分不等式的定理有:定積分的比較定理,估值定理,函數(shù)的單調(diào)性,積分與微分中值定理。1、設(shè)在上連續(xù),且嚴(yán)格遞增,證明: 2、設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)
5、減少,求證: 3、設(shè)在上可導(dǎo),且.證明: 廣義積分1、求下列廣義積分(1) (2) (3) (4)2、證明:無窮積分當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散.3、當(dāng)時(shí),是以為瑕點(diǎn)的瑕積分,證明它在時(shí)收斂,在時(shí)發(fā)散.高等數(shù)學(xué)競賽 導(dǎo)數(shù)與微分練習(xí)利用導(dǎo)數(shù)定義解題1、 設(shè)函數(shù) 又在處可導(dǎo),求復(fù)合函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。2、 已知在處可導(dǎo),求3、 設(shè) 求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)4、 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),且試求5、 設(shè)求極限6、 設(shè)在上有定義,且又,求導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用1、 設(shè)函數(shù)由方程確定,求曲線在處的法線方程2、 已知是周期為5的連續(xù)函數(shù),它在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有關(guān)系式 其中是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小,且在處可導(dǎo),求曲線在點(diǎn)處的切線方程.利用導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則求導(dǎo)1、已知,求2、若,求3、若4、設(shè)函數(shù)由方程確定。求5、設(shè)函數(shù)由所確定,求6、設(shè)函數(shù),其中具有二階導(dǎo)數(shù),且其一階導(dǎo)數(shù)不等于1,求求高階導(dǎo)數(shù)常用方法:(1)將函數(shù)變形。利用已知函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式; (2)利用萊布尼茲公式求某些積的階導(dǎo)數(shù)。1、設(shè)函數(shù)
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