高等數(shù)學(xué)(B)(1)第一次作業(yè)

1、高等數(shù)學(xué)（B）（1）第一次作業(yè)初等數(shù)學(xué)知識一、 名詞解釋鄰域：設(shè)和是兩個實數(shù)，且，滿足不等式的實數(shù)的全體稱為的鄰域。絕對值；數(shù)軸上的點到原點的距離稱為的絕對值，記為。數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和長度的直線稱為數(shù)軸。實數(shù)：實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成。有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)。二、 填空題1、絕對值的性質(zhì)有（）、（）、（）、（）、（）、（）。2、開區(qū)間的表示有（ ）、（ ）（提示：分別用區(qū)間和數(shù)軸形式表示）3、閉區(qū)間的表示有（ ）、（ ）。4、無窮大的記號（）。5（-，+）表示（ 全體實數(shù)），或記為（ R）。6、（-，b）表示（滿足不等式的一切實數(shù)），或記為（）。7、（a，+）表示（滿足不等式的一切實數(shù)）

2、，或記為（）。8、去心鄰域是指（滿足不等式且）的全體，用數(shù)軸表示即為（P7下圖）。9、滿足不等式的數(shù)x用區(qū)間可表示為（）。三、 回答題1、初等數(shù)學(xué)為高等數(shù)學(xué)做了哪些準(zhǔn)備？答：（1）發(fā)展符號意識，實現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)的運算到抽象符號運算轉(zhuǎn)變。符號是一種更為簡潔的語言，沒有國界，全世界共享，并且這種語言具有運算能力。（2）培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力，實現(xiàn)從具體描述到嚴(yán)格證明的轉(zhuǎn)變。（3）培養(yǎng)抽象思維的能力，實現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)到概念化數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。（4）發(fā)展變化意識，實現(xiàn)從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。2、有理數(shù)包括哪些數(shù)？答：有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)。3、 數(shù)軸上二個有理數(shù)之間都是有理數(shù)嗎？答：二個有理數(shù)之間有有理數(shù)，也

3、有無理數(shù)。4、 不等式等價于哪個區(qū)間？答：等價于。a) 點的鄰域如何表示？答：。5、 計算題a) 解不等式解：，或；所以不等式的解為。b) 解不等式解：，或；所以不等式的解為。c) 解方程解：，或。函 數(shù)一、 名詞解釋函數(shù)答：設(shè)和是兩個變量，若當(dāng)變量在其變動區(qū)域D內(nèi)取任一數(shù)值時，變量依照某一法則總有一個確定的數(shù)值與值對應(yīng)，則稱變量為變量的函數(shù)，記作。奇函數(shù)答：設(shè)函數(shù)在關(guān)于原點對稱的集合D上有定義，如果對任意的，恒有，則稱函數(shù)為奇函數(shù)。偶函數(shù)答：設(shè)函數(shù)在關(guān)于原點對稱的集合D上有定義，如果對任意的，恒有，則稱函數(shù)為偶函數(shù)。定義域答：在函數(shù)的定義中，自變量的變動區(qū)域，稱為函數(shù)的定義域。值域答：在函數(shù)

4、的定義中，的取值的集合稱為函數(shù)的值域。初等函數(shù)答：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或復(fù)合運算而得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。三角函數(shù)答：正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)，余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)合稱三角函數(shù)。指數(shù)函數(shù)：答：函數(shù)，稱為指數(shù)函數(shù)。復(fù)合函數(shù)答：設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，如果的值哉包含在的定義域中，則通過構(gòu)成的函數(shù)，記作，這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，其中稱為中間變量。對數(shù)函數(shù)答：函數(shù)，稱為對數(shù)函數(shù)。反函數(shù)答：設(shè)設(shè)是的函數(shù)，其值域為G，如果對于G中的第一個值，都有有一個確定的且滿足的值與它對應(yīng)，則得到一個定義在G 上的以為自變量，為因變量的新函數(shù)，稱它為的反函數(shù)，記作，并稱為直接函數(shù)。冪函數(shù)答：函數(shù)（

5、為實數(shù)）稱為冪函數(shù)。常數(shù)函數(shù)答：函數(shù)（為實數(shù)）稱為常數(shù)函數(shù)，它的定義域是。常量答：一類量在考察的過程中不發(fā)生變化，只取一個固定的值，我們稱它為常量。變量答：一類量在考察的過程中是變化的，可以取不同的數(shù)值，我們稱它為變量。二、 填空題1、函數(shù)概念最早是由（萊布尼茲）引進(jìn)的，有了函數(shù)概念，人們就可以從（數(shù)量）上確切地描述運動。2、在歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是（狄里克雷），并給出了一個不能畫出圖形的函數(shù)，這就是著名的（狄里克雷函數(shù)），它的表示式是（ ）。3、函數(shù)的三種表示方法：（解析表達(dá)式），（圖形式），（表格式）。4、函數(shù)表達(dá)了（因變量）與（自變量）之間的一種對應(yīng)規(guī)則。5、單值函數(shù)是當(dāng)（自變

6、量）在（定義域）中取定了一數(shù)值時，與之對應(yīng)的（函數(shù)值）是唯一的函數(shù)。6、奇函數(shù)的圖像特點是（圖像關(guān)于原點對稱 ）。7、單調(diào)函數(shù)的圖像特點是（沿軸正向逐漸上升或沿軸正向逐漸下 降）。8、反函數(shù)的圖像特點是（與原函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱）。三、 回答題1、 什么是有界函數(shù)？答：設(shè)函數(shù)在集合D上有定義，如果存在一個正數(shù)M，對于所有的，恒有，則稱函數(shù)在D上為有界函數(shù)。2、 對于有界函數(shù)要注意哪幾點？答：對于函數(shù)的有界性，要注意以下幾點：（1）當(dāng)一個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有界時，正數(shù)M的取法不是唯一的。（2）有界性是依賴于區(qū)間的。3、 什么是單調(diào)函數(shù)？答：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果對于內(nèi)的任意兩點和，當(dāng)<時，

7、恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；如果對于內(nèi)的任意兩點和，當(dāng)<時，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱單調(diào)函數(shù)。4、 反函數(shù)存在定理是什么？答：若函數(shù)在上是單調(diào)的，其值域是，則函數(shù)存在反函數(shù)，其定義域是，值域為。四、 作圖題（1）用描點法，即多取幾個值，算出相應(yīng)的值，作出眾多點后，用光滑曲線連結(jié)即可。見29-41頁。詳細(xì)過程略。（2）見29-41頁。略（3）見29-41頁。略（4）見29-41頁。略（5）見29-41頁。略（6）見29-41頁。略（7）見29-41頁。略（8）見29-41頁。略（9）見29-41頁。略（10）見29-41頁。略（11）見29-41頁

8、。略（12）見29-41頁。略五、 計算題(1)已知圓的周長為l,求圓的面積S.解：，。(2)已知長方形的周長為60cm,其中一邊為10cm,求其面積。解：另一邊為，求面積為（cm2）（3）求的定義域。解： ，所以所求定義域為。（4），求f(2), f(1/2), f(a+b), f(x2)解：f(2)= ， f(1/2), f(a+b), f(x2) (5)求的反函數(shù)，并指出它的定義域。解：，所以所求反函數(shù)為。（6）求復(fù)合函數(shù)，已知，。解：， 六、 論述題你能對復(fù)合函數(shù)作幾點解釋？答；（1）復(fù)合函數(shù)是函數(shù)之間的一種運算。（2）不是任何兩個函數(shù)都可以構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)，如和就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，因

9、為后一個函數(shù)的值域不包含在前一個函數(shù)的定義域中。（3）復(fù)合函數(shù)分解的結(jié)果不一定是純粹的基本初等函數(shù)，更多的是由基本初等函數(shù)經(jīng)四則運算形成的函數(shù)構(gòu)成的。一、 名詞解釋極限答：極限分為數(shù)列極限和函數(shù)極限。無窮小量答：極限為0的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小。連續(xù)答：函數(shù)在及其鄰域有定義，且成立，則稱函數(shù)在點處連續(xù)。否則稱在點處不連續(xù)，或稱間斷，點稱為間斷點。數(shù)列極限答：對于數(shù)列，如果當(dāng)無限增大時，無限地靠近一個常數(shù)A，則稱數(shù)列以A為極限，記為：。函數(shù)極限答：對于函數(shù)在（此可為）的鄰域內(nèi)有定義，且當(dāng)時，無限地靠近一個常數(shù)A，則稱在處有極限A，記為：。無窮大量答：如果當(dāng)（）時，的值無限地增大，則稱是無窮

10、大量，簡稱無窮大，記為或。二、 填空題1、從極限產(chǎn)生的歷史背景來看，極限概念產(chǎn)生于（解決微分學(xué)與積分學(xué)的基本問題）：求面積，體積，弧長，（瞬時速度）以及（曲線在一點）的切線問題。2、極限概念描述的是（變量在某一變化過程中）的終極狀態(tài)。3、在中國古代，極限概念已經(jīng)產(chǎn)生，我國春秋戰(zhàn)國時期的莊子。天下篇中說：（一盡之棰）、（日取一半）、（萬世不竭），就是極限的樸素思想。4、公元3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家（劉徽）的割圓術(shù)，就用圓內(nèi)接正多邊形周長去逼近（圓周長）這一極限思想近似地計算（圓周率）的。5、極限概念產(chǎn)生于（拋物線下的面積）和（曲線的切線）兩個實際問題。三、；回答題1簡述連續(xù)性概念答：設(shè)函數(shù)在及其鄰域有定

11、義，且成立，則稱函數(shù)在點處連續(xù)。否則稱在點處不連續(xù)，或稱間斷，點稱為間斷點。2、間斷點分為幾類？答：間斷點分為第一間斷點和第二間斷點。3、什么是單側(cè)連續(xù)？答：如果函數(shù)在及其鄰域有定義，且，則稱在點處右連續(xù)。類似地，如果函數(shù)在及其鄰域有定義，且，則稱在點處左連續(xù)。4、什么是連續(xù)函數(shù)？答：若函數(shù)在它的定義域上的每一點都是連續(xù)的，則稱是連續(xù)函數(shù)。5、述復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理答：設(shè)在點連續(xù)，在點連續(xù)，而，并設(shè)在點的某一鄰域內(nèi)是有定義的，則復(fù)合函數(shù)在點連續(xù)。四、論述題極限思想的意義答：極限思想體現(xiàn)了兩個轉(zhuǎn)化：（1）有限與無限的相互轉(zhuǎn)化。如極限式，從左向右看，是無限向有限的轉(zhuǎn)化；從右向左看，是有限中包含著無

12、限。在學(xué)習(xí)極限的時候，我們較多地注意到無限向有限轉(zhuǎn)化的這個側(cè)面，而常常忽略有限包含無限這個側(cè)面。（2）近似與精 確相互轉(zhuǎn)化。定積分是一種和式的極限，定積分的近似計算就是用有限和去代極限值，得用了近似與精確這對矛盾的轉(zhuǎn)化。另外，如果我們從哲學(xué)上來看待極限概念，首先它表現(xiàn)了量變質(zhì)變律：量的變化引起了質(zhì)的變化。例如，有理數(shù)的序列可以有無理數(shù)的極限；還有近似轉(zhuǎn)化為精確，也是量變引起了質(zhì)變；其次，它表現(xiàn)了否定之否定律：有限-無限-有限；最后，它反映了對立統(tǒng)一律：有限與無限的對立與統(tǒng)一，近似與精確的對立統(tǒng)一，質(zhì)與量的對立統(tǒng)一；運動與靜止的對立統(tǒng)一等等。極限概念的含義是豐富的，它的多種應(yīng)用就基于此。五、計算

13、題（1）解：。（2）解：。（3）解：（4）解：。六、討論在處的極限是否存在。解：，所以在處的極限不存在。作業(yè)二一、 名詞解釋導(dǎo)數(shù)答：設(shè)函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，給以改變量，則函數(shù)的相應(yīng)改變量為，如果當(dāng)時，兩個改變量比的極限：存在，則稱這個極限為函數(shù)在可導(dǎo)或具有導(dǎo)數(shù)，也稱為在可微。平均變化率答：設(shè)函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，給以改變量，則函數(shù)的相應(yīng)改變量為，則稱為平均變化率瞬時變化率答：設(shè)函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)，稱為在在點的瞬時變化率導(dǎo)函數(shù)答：若函數(shù)在點可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，則可建立一個函數(shù)，這就是導(dǎo)函數(shù)高價導(dǎo)數(shù)答：，都稱為高階導(dǎo)數(shù)。駐點答：若函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)=0，則稱為函數(shù)的駐點。極值答：若函數(shù)在點的領(lǐng)域內(nèi)有

14、定義，若對任意的，都有，則稱為函數(shù)的極大值（或極小值）。二、 填空題1、導(dǎo)數(shù)的物理意義是（距離函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為速度，速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為加速度）2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義是（函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)，就是該函數(shù)在這點處的切線的斜率）3、導(dǎo)數(shù)的第三種解釋是（函數(shù)的微分除以自變量的微分）4、導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，因而它遵循（極限運算）的法則。5、可導(dǎo)的函數(shù)是連續(xù)的，但連續(xù)函數(shù)（不一定可導(dǎo)）。三、回答題1、什么是費馬定理？答：設(shè)函數(shù)在點的領(lǐng)域內(nèi)有定義并且在處可導(dǎo)，如果對任意的，有，那么。2、什么是羅爾定理？答：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，并且滿足條件，那么至少存在一點，使得。3、什么是拉格朗日中值定理，它的哺助函數(shù)是怎

15、么構(gòu)造的？答：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，那么至少存在一點，使得。4、函數(shù)的性質(zhì)有哪些？答：單調(diào)性、極值性、最大、最小值等。導(dǎo)數(shù)是解決所有這些問題的主要工具。5、導(dǎo)數(shù)的絕對值大小告訴我們什么？它反映在函數(shù)曲線上情況又怎樣？答：、導(dǎo)數(shù)的絕對值大小告訴我們：當(dāng)絕對值較大時，函數(shù)曲線就陡峭一些；當(dāng)絕對值較小時，函數(shù)曲線就平坦一些。6、什么是極大值（或極小值）？答：若函數(shù)在點的領(lǐng)域內(nèi)有定義，若對任意的，都有，則稱為函數(shù)的極大值（或極小值）。7、請舉例就明費馬定理只給出了極值的必要條件而不是充分條件。答：函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)為0，但其在0處不是極值點。8、最大值與極大值是一回事嗎？答：函數(shù)的最大值與極大值是兩

16、個不同的概念。最大值是指函數(shù)在給定區(qū)間的全部函數(shù)值中最大、最小的值。而極值描述的只是在極值點附近的局部變化情況，在一個閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有且只有一個最大值，而極大值可能有幾個。極大值不一定是最大值，最大值不一定是極大值。9、解決最大或最小問題通常要用哪幾步驟？答：解決最大或最小問題通常要他二步走“（1）求出函數(shù)在區(qū)間的一切駐點；（2）計算函數(shù)在駐點和端點的函數(shù)值并進(jìn)行比較，其中最大（?。┑氖亲畲螅ㄐ。┲?。四、計算題1、求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)（用定義做此題）。解：2、求函數(shù)有導(dǎo)數(shù)。解：3、求的導(dǎo)數(shù)解：4、求的導(dǎo)數(shù)解：5、求的導(dǎo)數(shù)。解：6、求的導(dǎo)數(shù)。解：7、求的導(dǎo)數(shù)。解：8、求的導(dǎo)數(shù)解：9、求的導(dǎo)數(shù)解

17、：10、求的n階導(dǎo)數(shù)。解：當(dāng)m為自然數(shù)，n=4m時, 。當(dāng)m為自然數(shù)，n=4m+1時, 。當(dāng)m為自然數(shù)，n=4m時, 。當(dāng)m為自然數(shù)，n=4m+時, 。五、應(yīng)用題1、氣球充氣時，半徑R以1cm/s的速率增大，設(shè)充氣過程中氣球保持球形，求當(dāng)R=10cm時，休積V增加的速率。解：， ， 。2、把長為1的線段分成兩段，使得以兩段分別作為長寬所的的矩形面積最大。解：兩個線段中的一段為，則另一段為，兩段分別作為長寬所的的矩形面積，為駐點，此時面積最大3、某工廠需要建一個面積為512M2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的壁，其綜三邊需要砌新的壁，問長和寬各為多少時，才能使砌壁所用的材料最少。解：設(shè)矩形的一邊

18、長為，則另一邊為，用料為，則為駐點，此時用料最省。長和寬各為。微分一、 名詞解釋微分答：設(shè)在點處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點處的微分，記作，即函數(shù)的一階微分不變性。答：設(shè)在點處可微，在對應(yīng)的處可微，且復(fù)合函數(shù)在點處的可微，且微分的線性化答：因為，所以，令，則有這個能常駐稱為的一次近似或線性近似。二、 填空題 1、微分有雙重意義，一是表示（微小的量），二是表示（一種與求導(dǎo)密切相關(guān)的運算）。2、微分學(xué)包含兩個系統(tǒng)：（概念系統(tǒng)）和（算法系統(tǒng)）。3、導(dǎo)數(shù)是逐點定義的，它研究的是函數(shù)在（一點附近）的局部性質(zhì)。4、微分中值定理建立了函數(shù)的（局部性質(zhì)）和（整體性質(zhì)）的聯(lián)系，建立了微積分理論聯(lián)系實際的（橋梁）。三、

19、回答題1、 微分學(xué)基本問題是什么？答：當(dāng)自變量有一個改變，函數(shù)值也產(chǎn)生了一個變化。若記，則。2、 微分學(xué)的基本運算是什么？見書144頁的表7.1.3、 微分的線性化有什么應(yīng)用？答：在數(shù)學(xué)上最容易處理的函數(shù)的線性函數(shù)，借助微分可使一大批非線性函數(shù)在局部轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，使我們在處理問題時達(dá)到簡單、方便、高效的目的。四、 計算題1、 求以下微分（1）解：（2）解：。（3）解：。（4）解：。2、 半徑為8cm的金屬球加熱以后，其半徑伸長30.04cm，問它的體增大了多少？解：原體積為，現(xiàn)體積為，則體積增加了228429.102(cm3).3、 計算近似值。解：設(shè)，故當(dāng)|x|很小時，所以。五、 證明題當(dāng)

20、|x|很小時，。證明：因為，所以當(dāng)|x|很小時，。令，有，故。作業(yè)三 不定積分一、 名詞解釋原函數(shù)答：如果函數(shù)與定義在同一區(qū)間，并且處處都有或，則稱是的一個原函數(shù)。不定積分答：函數(shù)的原函數(shù)的全體稱為的不定積分，記為。不定積分幾何意義答；不定積分的幾何意義就是曲線族，由一條曲線上下平移而得到，它們在同一點的切線斜率相等。二、 填空題1、在數(shù)學(xué)中必須考慮的運算有兩類：（正運算）與（逆運算）。2、對應(yīng)于加法運算的逆運算是（減法），對應(yīng)于微分運算的逆運算是（不定積分）3、關(guān)于逆運算我們至少有兩條經(jīng)驗：一是逆運算一般說比正運算（困難），二是逆運算常常引出（新的結(jié)果）。如減法引出（負(fù)數(shù)）除法引出（有理數(shù)）

21、，正數(shù)開方引出（無理數(shù)），負(fù)數(shù)開方引出（虛數(shù)）。三、回答題1、什么叫函數(shù)在區(qū)間的原函數(shù)，有多少個原函數(shù)？原函數(shù)彼此之間有什么關(guān)系？答：如果函數(shù)與定義在同一區(qū)間，并且處處都有或，則稱是的一個原函數(shù)。如果一個函數(shù)存在原函數(shù)，則存在無數(shù)多個原函數(shù)。原函數(shù)之間的差為常數(shù)。2、什么叫函數(shù)在區(qū)間的不定積分。答：函數(shù)的原函數(shù)的全體稱為的不定積分，記為。3、兩個函數(shù)的不定積分相等是什么意思？答：指的是二個函數(shù)的所有原函數(shù)所組成的集合相等。4、說明數(shù)學(xué)運算中存在的正運算和逆運算。答：在數(shù)學(xué)中必須考慮的運算有兩類，正運算和逆運算。加法的逆運算為減法，乘法的逆運算為除法，乘方的逆運算為開方，微分的逆運算為不定積分。

22、關(guān)于逆運算我們有二個經(jīng)驗：一是逆運算一般說比正運算（困難），二是逆運算常常引出（新的結(jié)果）。如減法引出（負(fù)數(shù)）除法引出（有理數(shù)），正數(shù)開方引出（無理數(shù)），負(fù)數(shù)開方引出（虛數(shù)）。5、說明原函數(shù)和不定積分的關(guān)系。答：一個函數(shù)的全體原函數(shù)稱為此函數(shù)的不定積分。四、 計算題1、求下列函數(shù)的原函數(shù)（1）解：（2）解：。（3）解：。（4）解：。（5）解：。（6）解：。（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：2、求下列各不定積分（1）解：。（2）解：。（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（此題已超出本課程要求的范圍）定積分一、名詞解釋定積分答：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點把區(qū)間分為n

23、個小區(qū)間，其長度為在每個小區(qū)間上任取一點，求出它們的部分和，記，當(dāng)時，若有極限，并且值在區(qū)間的分法無關(guān)，與中間值的取法無關(guān)，則稱此極限值為在上的定積分，記作。定積分的幾何意義答：若，則表示由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積。定積分中值定理答：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點，使得。微積分基本定理答：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，是其的一個原函數(shù)，那么。牛頓萊布厄茲公式答：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，是其的一個原函數(shù)，那么公式稱為牛頓萊布厄茲公式。二、填空題1、定積分是對（連續(xù)變化過程總效果）的度量，求（曲邊形區(qū)域的面積）是積分概念的最直接的起源。2、積分學(xué)的基本問題是（非均勻變化量的求積問題）。它的數(shù)

24、學(xué)模型是（積分和=），它的物理原型（求變速運動的路程），它的幾何原型是（曲邊梯形的面積）。3、微分學(xué)的基本問題是（求非均勻變化量的變化率），它的數(shù)學(xué)模型是（平均變化率蓄=），它的物理原型（瞬時速度=平均速度的極限），它的幾何原型是（曲線在一點處的切線斜率=割線斜率的極限），它的基本運算是（求導(dǎo)運算和求微分運算）。4、微分學(xué)研究的是函數(shù)的（的局部性質(zhì)），無論是微商概念，還是微分概念，都是（逐點）給出的，數(shù)學(xué)家研究函數(shù)的局部性質(zhì)，其目的在于（從局部性質(zhì)去探索整體性質(zhì)）。5、積分學(xué)包含（包含定積分）和（不定積分）兩大部分。不定積分的目的是提供（計算方法）。三、 回答題1、定積分有哪些應(yīng)用？答：可求曲

25、邊梯形的面積；可求變速度的路程；可求旋轉(zhuǎn)體體積，平均值等等，總之定積分解決了非均勻變化量的求積問題。2、定積分的性質(zhì)有哪些？答：答：設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)，且為常數(shù)，那么有（1）。（2）。（3）。 （4）。（5）。（6）（7）如果在上，則。（8）如果，則。（9）在上至少存在一點，使得。3、簡述積分區(qū)間上限為變量時定積分定理。答：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則。4、建立定積分步驟有哪些？答：（1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點把區(qū)間分為n個小區(qū)間，其長度為。（2）在每個小區(qū)間上任取一點。（3）求出它們的部分和。（4）記，當(dāng)時，和式趨于。 四、 計算題1、 利用定積分性質(zhì)，比較下列積分值大?。?）和解：因為在上

26、，則>.（2）和解：因為在上，則>。（3）和解：因為在上，所以>.2、 求函數(shù)在區(qū)間上的平均值。解：=。3、 設(shè)，求。解：。4、 設(shè)，求。解：。5、 計算下列定積分。（1）解：原式=（2）解：原式=。（3）解：原式=。（4）解：原式=。（5）解：原式=。（6）解：原式=。6、 求拋物線，直線及軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體積。解：。7、 求直線及兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體積。解：直線與兩標(biāo)軸交點為（2，0）（0，1），8、 計算所圍圖形的面積。解：兩曲線交點坐標(biāo)滿足即(-1,1)和(3,9),則。9、計算所圍圖形的面積。解：。作業(yè)4微積分簡史1、 論述微分學(xué)的早期史答

27、：在微分學(xué)這個鄰域內(nèi)，費馬給出了一個統(tǒng)一的無窮小方法，用以解決求最大最小值問題。牛頓和萊布尼茨各自創(chuàng)立一套一般的符號體系，建立計算的正規(guī)程序或算法?？挛鞯?9世紀(jì)數(shù)學(xué)家為這門學(xué)科重建邏輯上的一致的、嚴(yán)格的基礎(chǔ)。2、 簡述費馬對微分學(xué)的貢獻(xiàn)。答：屬于微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作是1629年費馬給出的。曲線的切線問題和函數(shù)的極大、極小值問題都是微分學(xué)的基本問題。正是這兩個問題的研究促進(jìn)了微分學(xué)的誕生，費馬在這兩個問題都作出了重要貢獻(xiàn)，他處理這兩個問題的方法是一致的。用現(xiàn)代語言來說，都是先取增量，而后讓增量趨向于0，而這正是微他學(xué)的實質(zhì)所在。在費馬求面積的過程中，我們看到了定積分的概念與運

28、算的大部分的主要方面。可以肯定地說，除了巴羅以外，沒有任何數(shù)學(xué)家像費馬這樣接近于微積分的發(fā)明了。3、 簡述巴羅對微分學(xué)的貢獻(xiàn)。答：巴羅最重要的著作是他的光學(xué)和幾何學(xué)講義。在這本書中我們能夠找到非常接近近代微分過程的步驟。巴羅求切線的方法非常接近于微分學(xué)中所采用的方法。特別有趣重要的是巴羅把作曲線的切線與曲線的求積聯(lián)系了起來。這就是說。他把微分學(xué)和積分學(xué)的兩個基本問題以幾何對比形式聯(lián)系起來了。巴羅的確走到了微積分基本定理的大門口了。4、 論述積分學(xué)的早期史。答：積分學(xué)起源于各種求積問題，如面積、體積和弧長的計算這些問題的研究在西方要追溯到遙遠(yuǎn)的古希臘。安提豐提出，隨著一個圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)逐次成倍增加，圓與多邊形的差將被窮竭。阿基米德對窮竭法做出發(fā)最巧妙的應(yīng)用。得到了球的體積和圓柱體的體積。我國古代的劉徽的割圓術(shù)和祖恒提出的“冪勢既同，則積不容異”原理，對微積分作出了重大貢獻(xiàn)。5、 論述微積分對人類歷史的貢獻(xiàn)。答：微積分的誕生具有劃時代的意義，是數(shù)學(xué)史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點，這個偉大的發(fā)明明顯不同于舊數(shù)學(xué)。舊數(shù)學(xué)是關(guān)于常量的、靜止的，而新數(shù)學(xué)是關(guān)于變量的、運動的。關(guān)于微積分的地位，恩格斯是這樣評價的：“一切理論成就中，末必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的