高階系統(tǒng)的零、極點分析自控課設

1、課程設計任務書學生姓名： 專業(yè)班級：指導教師： 工作單位：自動化學院 題 目: 高階系統(tǒng)的零、極點分析 初始條件：設單位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求完成的主要任務: （包括課程設計工作量及其技術要求，以及說明書撰寫等具體要求）1、 當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為時，繪制根軌跡并用Matlab求取當K=15單位階躍響應、單位斜坡響應，并求取動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。2、 當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，a=0.1,b=0.11時，繪制根軌跡并用Matlab求取當K=15單位階躍響應、單位斜坡響應，并求取動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。3、 當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，ab=20時，繪制根軌跡并用Matlab求取K=15單位階躍響應、單位斜坡響

2、應，并求取動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。4、 比較上述三種情況的仿真結果，分析原因，說明偶極子對系統(tǒng)的影響。時間安排：任務時間（天）審題、查閱相關資料1分析、計算3編寫程序1撰寫報告2論文答辯0.5指導教師簽名： 年 月 日系主任（或責任教師）簽名： 年 月 日目錄摘要I1 線性高階系統(tǒng)的零極點分析簡介12 線性高階系統(tǒng)的數(shù)學模型23 高階系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)性能影響分析33.1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為的根軌跡3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位階躍輸入時的根軌跡4系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位斜坡輸入時的根軌跡5動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能分析6參考程序法73.2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（a=0.1,b=0.11）的根軌跡8系統(tǒng)開環(huán)傳遞函

3、數(shù)為,單位階躍輸入時的根軌跡8系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位斜坡輸入時的根軌跡9動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能分析103.3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（ab=20）的根軌跡11系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位階躍輸入時的根軌跡12系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位斜坡輸入時的根軌跡12動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能分析134 分析比較154.1三種仿真結果的比較：154.2高階系統(tǒng)偶極子對系統(tǒng)性能的影響154.3 綜合分析175 心得體會18參考文獻19摘要三階及三階以上的系統(tǒng)通常稱為高階系統(tǒng)，即用高階微分方程描述的系統(tǒng)。在控制工程中，高階系統(tǒng)非常普遍，而分析起來卻十分復雜。在自動控制系統(tǒng)中，對系統(tǒng)的各項性能如穩(wěn)定性、動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能等有一定的要

4、求。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的本質(zhì)，指的是控制系統(tǒng)偏離平衡狀態(tài)后自動回復到平衡狀態(tài)的能力。系統(tǒng)動態(tài)性能是在零初始條件下通過階躍響應來定義的，對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，動態(tài)性能一般指的系統(tǒng)的超調(diào)量、超調(diào)時間、上升時間、調(diào)整時間，描述的是系統(tǒng)的最大偏差以及反映的快速性；穩(wěn)態(tài)性能指的是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，描述的是系統(tǒng)的控制精度。在本文中，主要分析高階系統(tǒng)的各項性能指標，對于高階系統(tǒng)，分析其各項性能指標有很多方法，本文采用高階零級點的分布來研究系統(tǒng)的各項性能指標，主要借助工程軟件Matlab通過編程來繪制系統(tǒng)的根軌跡與階躍響應、斜坡響應曲線，研究系統(tǒng)的零極點分布，進而分析系統(tǒng)的各項性能指標。關鍵詞：自動控制 動態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)

5、性能 高階系統(tǒng) 階躍響應 斜坡響應高階系統(tǒng)的零、極點分析1線性高階系統(tǒng)的零極點分析簡介線性系統(tǒng)的動態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)零極點在S平面的分布有著密切的聯(lián)系，系統(tǒng)的開環(huán)零極點一般是比較容易求得的，但對于高階系統(tǒng)，利用古典的分解因式的方法求閉環(huán)特征方程的極點是十分困難的，當系統(tǒng)的某一參數(shù)發(fā)生改變時，需要反復的求解特征方程的根，從而研究系統(tǒng)的動態(tài)性能。這里，選用根軌跡的方法研究閉環(huán)系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)性能的影響。當閉環(huán)傳遞函數(shù)在S平面的右半平面存在極點時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；只有閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于S平面的左半平面，系統(tǒng)才穩(wěn)定；當閉環(huán)極點位于坐標虛軸上時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。如果閉環(huán)系統(tǒng)無零點且閉環(huán)極點均為實

6、數(shù)極點，則系統(tǒng)的響應是單調(diào)的；如果閉環(huán)極點均為復數(shù)極點，那么響應一般是振蕩的。閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量主要由閉環(huán)傳遞函數(shù)復數(shù)主導極點的衰減率決定，而且還與其它閉環(huán)零、極點接近坐標原點的程度密切相關。閉環(huán)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間主要取決于最靠近虛軸的閉環(huán)復數(shù)極點實部絕對值=；如果實數(shù)極點距離虛軸最近而且其附近沒有實數(shù)零點，則系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間主要由該極點的模值決定。給閉環(huán)控制系統(tǒng)增加零點減小了系統(tǒng)的阻尼比，使系統(tǒng)的超調(diào)時間減小，超調(diào)量增大，而閉環(huán)系統(tǒng)的極點增大了系統(tǒng)的阻尼比，使系統(tǒng)的超調(diào)時間變長，而超調(diào)量減小。閉環(huán)零極點的對高階系統(tǒng)性能的影響隨其接近坐標原點的程度而增強。2 線性高階系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

7、（2-1）式（1）中，R(s)為系統(tǒng)輸入的Laplace變換，C（s）為系統(tǒng)輸出的Laplace變換，G(s)為前向通道傳遞函數(shù)，H(s)為反饋傳遞函數(shù)。在一般情況下，G（s）和H(s)都是s的多項式之比，故式（1）可以寫（2-2）為了便于求取高階系統(tǒng)的單位階躍輸入響應和單位斜坡輸入響應，一般將式（2）的分子多項式和分母多項式利用根軌跡法進行因式分解，寫成如下因式的乘積形式（2-3）式（3）中，為閉環(huán)系統(tǒng)的零點，為閉環(huán)系統(tǒng)的極點，K為開環(huán)根軌跡增益。由于M(s)和D(s)均為實系數(shù)多項式，故和只能是實數(shù)或共軛復數(shù)。在實際控制系統(tǒng)中，一般閉環(huán)極點都不相同，因此一般將輸出量的Laplace變換寫為

8、（2-4）式（4）中，q+2r=n,q為實數(shù)極點的個數(shù)，r為共軛復數(shù)極點的對數(shù)。在本次設計中，（a=0.01,b=0.011或a=b=20）, =或=D（s）。3高階系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)性能影響分析根軌跡是指當開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)的極點復平面上移動的軌跡。一般情況下，根軌跡指的是當增益K由零變到無窮大時根的軌跡。當高階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)某一參數(shù)發(fā)生改變時，利用根軌跡可以很直觀的觀察出開環(huán)零極點對閉環(huán)系統(tǒng)特性的影響，并且進行高階系統(tǒng)各項特性的分析與計算。借助Matlab軟件，可以利用其中提供的rlocus函數(shù)直接進行系統(tǒng)根軌跡的繪制。3.1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為的根軌跡當開環(huán)傳

9、遞函數(shù)為時，在Matlab中首先構建開環(huán)傳遞函數(shù)，然后直接調(diào)用rlocus函數(shù)精確的繪制系統(tǒng)的根軌跡，具體的程序代碼如下：num=0,1;%開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子den=1,4,8,0;%開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)分母G=tf(num,den);%構建開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)K=15;rlocus(G)% 直接調(diào)用函數(shù)畫根軌跡圖程序運行結果如圖3-1所示。圖3-1 =（k=15）時系統(tǒng)的根軌跡圖3.1.1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位階躍輸入時的根軌跡當系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)時，輸入函數(shù)Laplace變換R(s)=，開環(huán)傳遞函數(shù)=或D（s）。當開環(huán)傳遞函數(shù)為時，在Matlab中首先構建開環(huán)傳遞函數(shù)，然后直接調(diào)用rloc

10、us函數(shù)精確的繪制系統(tǒng)的根軌跡，具體的程序代碼如下：sys=tf(15,1 4 8 0); sysc=feedback(sys,1); step(sysc)程序運行結果如圖3-2所示。圖3-2 =（k=15）單位階躍響應時系統(tǒng)的根軌跡圖3.1.2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位斜坡輸入時的根軌跡當系統(tǒng)輸入為單位斜坡函數(shù)時，r(t)=t,輸入函數(shù)Laplace變換R(s)=，開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=，系統(tǒng)均為I型單位反饋系統(tǒng)。單位斜坡輸入系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差也被稱為速度誤差，但并非指系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在速度上的誤差，而是指系統(tǒng)在斜坡輸入作用下，系統(tǒng)輸出與輸入之間存在位置上的誤差。系統(tǒng)在單位斜坡輸入時

11、的根軌跡，具體的程序代碼如下：num=0 0 0 15; den=1 4 8 0; step(num,den,3) grid程序運行結果如圖3-3所示圖3-3 =（k=15）單位斜坡響應時系統(tǒng)的根軌跡圖3.1.3動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能分析穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運行的首要條件，在此，分析動態(tài)性能時一般以階躍輸入為代表，測定計算系統(tǒng)動態(tài)性能，穩(wěn)態(tài)性能分析單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為標準。單位階躍輸入響應下其動態(tài)性能分析如下，如上圖2所示可得：上升時間risetime：0.699sec 調(diào)節(jié)時間settingtime：7.65sec峰值peakamplitutd：1.37穩(wěn)定值 final valvue： 1超

12、調(diào)量 overshoot ： 36.8 at time：1.83sec穩(wěn)態(tài)誤差：0.06253.1.4參考程序法另可采用程序求動態(tài)穩(wěn)態(tài)性能，程序如下:G=tf(0 0 0 1, 1 4 8 0);y,t=step(G);C=dcgain(G); %求調(diào)節(jié)時間setllingtimei =length(t);while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)i =i-1;endsetllingtime=t(i) C=dcgain(G); %最大（百分比）超調(diào)量percentovershootY,k=max(y);percentovershoot=100*(Y-C

13、)/CY,k=max(y); %峰值時間（ timetopeak ）timetopeak=t(k)C=dcgain(G); %上升時間risetimen =1while y(n)<C n =n+1;endrisetime=t(n)3.2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 （a=0.1,b=0.11）的根軌跡當開環(huán)傳遞函數(shù)為D（s）=時，在Matlab中首先構建開環(huán)傳遞函數(shù)，然后直接調(diào)用rlocus函數(shù)精確的繪制系統(tǒng)的根軌跡，具體的程序代碼如下：n=0 0 0151.65d=1 4.1 8.4 0.8 0rlocus (n,d)程序運行結果如圖3-4所示圖3-4 D（s）=（k=15）時系統(tǒng)的根軌跡圖3.

14、2.1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位階躍輸入時的根軌跡當開環(huán)傳遞函數(shù)為D（s）=時，在Matlab中首先構建開環(huán)傳遞函數(shù)，然后直接調(diào)用rlocus函數(shù)精確的繪制系統(tǒng)的根軌跡，具體的程序代碼如下：sys=tf(0 0 0151.65, 1 4.1 8.4 0.8 0); sysc=feedback(sys,1); step(sysc)程序運行結果如圖3-5所示圖3-5D（s）=（k=15）在單位階躍響應下系統(tǒng)的根軌跡圖3.2.2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位斜坡輸入時的根軌跡系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的根軌跡，具體的程序代碼如下：num=0 0 0151.65; den=1 4.1 8.4 0.8 0; step

15、(num,den,3) grid程序運行結果如圖3-6所示圖3-6D（s）=（k=15）在單位斜坡響應下系統(tǒng)的根軌跡圖動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能分析單位階躍輸入響應下其動態(tài)性能分析如下，如上圖5所示可得：上升時間risetime：0.697sec 調(diào)節(jié)時間settingtime：7.82sec峰值peakamplitutd：1.38穩(wěn)定值 final valvue： 1超調(diào)量 overshoot ： 37.6 at time：1.83sec穩(wěn)態(tài)誤差：0.06673.3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（ab=20）的根軌跡當開環(huán)傳遞函數(shù)為D（s）=時，在Matlab中首先構建開環(huán)傳遞函數(shù)，然后直接調(diào)用rlocus函數(shù)

16、精確的繪制系統(tǒng)的根軌跡，具體的程序代碼如下：n=0 0 015300d=1 2488160 0rlocus (n,d)程序運行結果如圖3-7所示圖3-7 D（s）=（k=15）時系統(tǒng)的根軌跡圖3.3.1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位階躍輸入時的根軌跡當開環(huán)傳遞函數(shù)為D（s）=時，在Matlab中首先構建開環(huán)傳遞函數(shù)，然后直接調(diào)用rlocus函數(shù)精確的繪制系統(tǒng)的根軌跡，具體的程序代碼如下：sys=tf(0 0 015300, 1 2488160 0); sysc=feedback(sys,1); step(sysc)程序運行結果如圖3-8所示圖3-8 D（s）=（k=15）單位階躍響應系統(tǒng)的根軌跡圖3

17、.3.2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,單位斜坡輸入時的根軌跡系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的根軌跡，具體的程序代碼如下：num=0 0 015300; den=1 2488160 0; step(num,den,3) grid程序運行結果如圖3-9所示圖3-9 D（s）=（k=15）單位斜坡響應系統(tǒng)的根軌跡圖動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能分析單位階躍輸入響應下其動態(tài)性能分析如下，如上圖8所示可得：上升時間risetime：0.699sec 調(diào)節(jié)時間settingtime：7.65sec峰值peakamplitutd：1.37穩(wěn)定值 final valvue： 1超調(diào)量 overshoot ： 36.8 at time：1.8

18、3sec穩(wěn)態(tài)誤差：0.06674分析比較4.1三種仿真結果的比較： 表格 1三種情況下的動態(tài)性能對照表開環(huán)傳遞函數(shù)上升時間Risetime調(diào)節(jié)時間Srttingtime峰值peakamplitutd穩(wěn)定值Finalvalue超調(diào)量overshoot穩(wěn)態(tài)誤差峰值時間情況10.699sec7.65sec1.37136.80.06251.83sec情況20.697sec7.82sec1.38137.60.06671.83sec情況30.699sec7.65sec1.37136.80.06671.83sec（1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為時與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，a=0.1,b=0.11時較：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

19、，a=0.1,b=0.11時，系統(tǒng)零點、極點數(shù)增加，使得上升時間減小，調(diào)節(jié)時間增大，超調(diào)量增大，穩(wěn)態(tài)誤差變大，峰值和峰值時間不變。（2）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，a=0.1,b=0.11時與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，ab=20時比較：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，ab=20時上升時間增大，調(diào)節(jié)時間減小，峰值減小，超調(diào)量減小，穩(wěn)態(tài)值、穩(wěn)態(tài)誤差和峰值時間都不變。（3）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為時與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，ab=20時比較：由于兩者傳遞函數(shù)一樣，動態(tài)性能近乎完全相同，僅僅是穩(wěn)態(tài)誤差存在誤差，但相差不大。4.2高階系統(tǒng)偶極子對系統(tǒng)性能的影響如果閉環(huán)系統(tǒng)的零極點相距很近，那么這樣的閉環(huán)零極點則被稱為偶極子。偶極子有實數(shù)偶

20、極子和復數(shù)偶極子之分，而復數(shù)偶極子是以共軛復數(shù)的形式出現(xiàn)的。對于遠離坐標原點的偶極子，其對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響幾乎可以忽略不計。在本設計中，給定的開環(huán)傳遞函數(shù)為，由前面的分析可知，閉環(huán)傳遞函數(shù)增加一對接近原點的偶極子時，系統(tǒng)的根軌跡基本上沒有變化，系統(tǒng)在增益K值一定的情況下，其對階躍輸入的閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能產(chǎn)生了影響，使系統(tǒng)的超調(diào)量增加，峰值時間滯后，但對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能沒有影響；對于斜坡輸入的閉環(huán)系統(tǒng)，增加的這對接近原點的偶極子提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能得到了改善。當增加一對遠離坐標原點的偶極子時，在增益K值相同情況下，階躍輸入系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能均沒有改變，斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)性

21、能也沒有改變，由此可得，當系統(tǒng)增加了一對遠離坐標原點的偶極子時，其對系統(tǒng)的動態(tài)性能幾乎沒有影響。下面分析偶極子離坐標原點不同位置時對系統(tǒng)性能造成不同影響的原因。（1）當輸入為階躍信號時，研究閉環(huán)傳遞函數(shù)為時系統(tǒng)的響應，在這種情況下，閉環(huán)系統(tǒng)有一對復數(shù)極點，一個實數(shù)極點和和一個實數(shù)零點。當時，實數(shù)閉環(huán)零極點十分接近，構成偶極子，當不非常接近坐標原點時，系統(tǒng)單位階躍響應為（5）當時上式可簡化為（6）當遠離原點時，式（6）可進一步簡化為（7）此時，偶極子的影響完全可以忽略不計，系統(tǒng)的單位階躍響應完全由主導極點決定。當偶極子十分接近坐標原點時，時，式（6）只可簡化為（8）此時，與a可比，影響不能忽略，

22、所以接近坐標原點的偶極子對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響必須考慮。以上結論對不同閉環(huán)傳遞函數(shù)的高階系統(tǒng)同樣適用，在本設計中，增加的偶極子為0.11和0.1時，十分接近原點，其對系統(tǒng)的動態(tài)性能的影響不能夠忽略，所以，系統(tǒng)的超調(diào)量與峰值時間發(fā)生了改變；增加的偶極子為時，遠離原點，其對系統(tǒng)的動態(tài)性能的影響幾乎可以忽略不計，所以，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標均沒有改變。對于I型穩(wěn)定系統(tǒng)，增加偶極子并不影響階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標，穩(wěn)態(tài)誤差始終為零。（2）當輸入為斜坡信號且系統(tǒng)穩(wěn)定時，穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)為穩(wěn)態(tài)誤差為通過增加的偶極子可以改變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，改變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。當沒有增加a與b時，穩(wěn)態(tài)誤差；當a=0.11，b=0.

23、1時，穩(wěn)態(tài)誤差，由比較知斜坡輸入的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能得到了改善，能夠更好的跟蹤斜坡輸入信號；當時，穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能沒有發(fā)生改變。4.3 綜合分析 綜上可以得到以下結論：零點可以減小系統(tǒng)的阻尼，使峰值時間提前，超調(diào)量增大；極點可以增大系統(tǒng)的阻尼，使峰值時間滯后，超調(diào)量減小；如果閉環(huán)零、極點相距很近，那么這樣的零、極點常稱為偶極子，如果他們離坐標原點比較近他們對系統(tǒng)有比較大的影響，如果他們離坐標原點比較遠，他們對系統(tǒng)的影響就可以忽略不計；若某零點遠離虛軸與其它零極點，則其對系統(tǒng)的動態(tài)性能的影響可以忽略；若偶極子遠離虛軸，則其對系統(tǒng)的動態(tài)性能的影響可以忽略；若偶極子靠近虛軸，則其對系統(tǒng)的動態(tài)性能的影

24、響不能忽略。5 心得體會 通過本次自動控制原理的課程設計，我真的學會了許許多多的東西。首先，進一步的鞏固與深化了書本上所學到的知識。這次課程設計我的主要任務是分析高階系統(tǒng)零極點分析，對于穩(wěn)定系統(tǒng)，通常在系統(tǒng)階躍響應曲線上定義系統(tǒng)的動態(tài)性能指標，系統(tǒng)的階躍響應完整的反映了系統(tǒng)的動態(tài)特性，穩(wěn)態(tài)性能一般用系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差來表示，知道了系統(tǒng)零級點的分布首先可以很容易的判斷出系統(tǒng)是否穩(wěn)定性，然后分別計算出系統(tǒng)的各項動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標。對與一階或二階系統(tǒng)，我們可以通過手工的方法比較容易的近似計算出系統(tǒng)的各項性能指標，但對于三階及其以上的高階系統(tǒng)，用手工的方法分析系統(tǒng)的各項性能指標將顯得十分的復雜，這里，借助強大的工程軟件Matlab來繪制高階系統(tǒng)的根軌跡