高等數(shù)學(xué) 各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)——

1、第1章函數(shù)與極限總結(jié)1、極限的概念 （1）數(shù)列極限的定義 給定數(shù)列xn，若存在常數(shù)a ，對(duì)于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正整數(shù)N , 使得對(duì)于n >N 時(shí)的一切n, 恒有 |xn-a |<e 則稱a 是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a , 記為 或xn®a (n®¥).（2）函數(shù)極限的定義 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)（或當(dāng)）有定義，如果存在常數(shù)A, 對(duì)于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正數(shù)d,（或存在X） 使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x0|<d 時(shí),（或當(dāng)時(shí)） 恒有 |f(x)-A|<e

2、 , 那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)（或）時(shí)的極限, 記為或f(x)®A(當(dāng)x®x0).（ 或）類似的有：如果存在常數(shù)A,對(duì)當(dāng)（）時(shí)，恒有，則稱為當(dāng)時(shí)的左極限（或右極限）記作顯然有 如果存在常數(shù)A,對(duì)當(dāng)時(shí)，恒有，則稱為當(dāng)（或當(dāng)）時(shí)的極限記作顯然有2、極限的性質(zhì)（1）唯一性若，則若，則 （2）有界性（i）若，則使得對(duì)恒有（ii）若，則當(dāng)時(shí)，有（iii）若，則當(dāng)時(shí)，有（3）局部保號(hào)性（i）若且則，當(dāng)時(shí)，恒有（ii）若，且，則當(dāng)時(shí)，有 3、極限存在的準(zhǔn)則（i）夾逼準(zhǔn)則給定數(shù)列若當(dāng)時(shí)有，則 給定函數(shù)， 若當(dāng)（或）時(shí)，有，則（ii）單調(diào)有界準(zhǔn)則 給定數(shù)列，若對(duì)有使對(duì)有則存在 若在點(diǎn)的

3、左側(cè)鄰域（或右側(cè)鄰域）單調(diào)有界，則（或）存在4、極限的運(yùn)算法則（1）若，則(i)(ii)(iii)（）（2）設(shè)（i）（ii）當(dāng)時(shí)（iii）則5、兩個(gè)重要極限（1），（2）6、無窮小量與無窮大量的概念（1） 若，即對(duì)當(dāng)（或）時(shí)有，則稱當(dāng)無窮小量（2） 若即對(duì)當(dāng)（或）時(shí)有則稱當(dāng)無窮大量7、無窮小量與有極限的量及無窮大量的關(guān)系，無窮小量的運(yùn)算法則（1）（2）（3）（4）當(dāng)（或）時(shí)有，則（5）當(dāng)（或）時(shí)有，則（6）則8、無窮小量的比較若（1），則稱當(dāng)時(shí)，與是同階無窮小。（2），則稱當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，記作（）。（3），則稱當(dāng)時(shí)，是是高階無窮小，記作（）。（4）（或），有，則記（）（5），則稱當(dāng)時(shí)，是

4、是k階無窮小，9、常用的等價(jià)無窮小當(dāng)時(shí)，有（1）（2）（3）（4）10、函數(shù)連續(xù)的概念（1） 函數(shù)連續(xù)的定義 設(shè)在點(diǎn)及其鄰域內(nèi)有定義，若（i）或（ii）或（iii）當(dāng)時(shí)，有則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)設(shè)在點(diǎn)內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)，設(shè)在點(diǎn)內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)若函數(shù)在內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù)若函數(shù)在內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)，且，則稱函數(shù)在上連續(xù)，記作（2） 函數(shù)的間斷點(diǎn)設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義若函數(shù)： （i）在點(diǎn)處沒有定義 （ii）雖然在有定義, 但f(x)不存在; (3)雖然在有定義且f(x)存在, 但f(x)¹f();則函數(shù)f(x)在點(diǎn)為不連續(xù), 而點(diǎn)稱為函數(shù)f(x)的不

5、連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)為的間斷點(diǎn)，（1），則稱點(diǎn)為的可去間斷點(diǎn)，若（2），則稱點(diǎn)為的跳躍間斷點(diǎn)，可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)（3）則稱點(diǎn)為的無窮型間斷點(diǎn)，（4）若不存在且都不是無窮大，則稱點(diǎn)為的振蕩型間斷點(diǎn)，無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)11、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算（1） 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)則在點(diǎn)處也連續(xù)（2） 反函數(shù)的連續(xù)性， 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，則其反函數(shù)在其對(duì)應(yīng)的區(qū)間上也單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)。（3） 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù)由函數(shù)復(fù)合而成，若（1）（2）則 （或）（4） 初等函數(shù)的連續(xù)性 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的（5） 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) （ i）有界性 若，則在上有界 （