高二數(shù)學(xué)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、【課 題】拋物線的幾何性質(zhì)(2)【教學(xué)目標(biāo)】1、靈活運(yùn)用拋物線的性質(zhì)；2、掌握拋物線的焦半徑公式的證明及應(yīng)用；3、掌握拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)及焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的求法；4、拋物線幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用【教學(xué)重點(diǎn)】拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用，【教學(xué)難點(diǎn)】【教學(xué)過程】一、 復(fù)習(xí)引入1、復(fù)習(xí)拋物線的幾何性質(zhì)；2、通徑的概念及幾何意義；二、 講解新課（一）拋物線的焦半徑定義：拋物線上任意一點(diǎn)M與拋物線焦點(diǎn)的連線段，叫做拋物線的焦半徑焦半徑公式：拋物線，拋物線， 拋物線， 拋物線，三、 例題講解（一）焦半徑問題【例1】 已知半圓的直徑AB為2r，半圓外的直線l與BA的延長(zhǎng)線垂直且交于G點(diǎn)，½AG½=2a，（

2、2a<）半圓上有相異兩點(diǎn)M和N。它們與直線l的距離分別為d1、d2,d1 =½MA½，d2=½NA½，求證：½AM½+½AN½=2r。證明：以AG的中點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則圓的方程為(xar)2+y2=r2，又由已知可知點(diǎn)M、N在以A為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線線y2=4ax上，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，將拋物線線的方程代入圓方程可得：x2+2(ar)x+a22ar=0，從而有：x1+x2=2(ra)；又由拋物線的焦半徑公式可得：½MA½=x1+=x1+

3、a , ½NA½= x2+=x2+a所以½AM½+½AN½= x1+a ,+ x2+a=x1+x2+2a=2(ra)+2a=2r（二）焦點(diǎn)弦問題【例2】 （課本118頁(yè)例3）斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng).解法1：如圖所示，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程x=1.由題可知，直線AB的方程為y=x1代入拋物線方程y2=4x，整理得：x26x+1=0解上述方程得x1=3+2,x2=32分別代入直線方程得y1=2+2,y2=22即A、B的坐標(biāo)分別為（3+2，2+2），（32

4、，22）|AB|=解法2：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x1+x2=6,x1·x2=1|AB|=|x1x2|解法3：設(shè)A（x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義可知，|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=1的距離|AA|即|AF|=|AA|=x1+1同理|BF|=|BB|=x2+1|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8【注】解法2是利用韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，是解析幾何中求弦長(zhǎng)的一種普遍適用的方法；解法3充分利用了拋物線的定義，解法簡(jiǎn)潔，值得引起重視。【例3】 已知拋物線的一條經(jīng)過焦點(diǎn)的弦AB被焦點(diǎn)F分成長(zhǎng)分別為m、n的兩段，即。求證：（1）若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分

5、別為，則（2）；（3）證明：（1）因?yàn)?，?dāng)AB不垂直x軸時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為由所以，當(dāng)AB垂直x軸時(shí)，直線AB的方程為：，則（2）證法1：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過焦點(diǎn)F的弦AB，l為準(zhǔn)線，作AA1l于A1，BB1l于B1，準(zhǔn)線交拋物線的對(duì)稱軸于D，則FDAA1BB1，由拋物線的性質(zhì)知： 在直角梯形AA1B1B中, 過B作BCAA1于C, 交DF于E, 則,(Pn)(m + n) = n(mn)P(m + n) = 2mn上式兩邊同除以2mn, 得： 分析2：焦點(diǎn)分弦AB成定比，利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及拋物線的性質(zhì), 可建m、n、P之間的關(guān)系式。證法2: 設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)F的弦的兩端點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分

6、別為(x1, y1)、(x2, y2), 因?yàn)榉諥B成為m, n兩段, 所以, 則由證法一, 作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，則即即P(m + n) = 4mnP(m + n)P(m + n) = 2mn上式兩邊同除以mnP, 得。證明3：如圖,設(shè)AFx=(0<<)，則根據(jù)拋物線定義,得所以同理得兩式相加,即得證.證法4：，將代入上式得（3）證明：由知，又所以【例4】 已知拋物線y=x2，動(dòng)弦AB的長(zhǎng)為2，求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值.分析一：要求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)最小值，可求出y1+y2最小值.從形式上看變量較多，結(jié)合圖形可以觀察到y(tǒng)1、y2是梯形ABCD的兩底，這樣就使中點(diǎn)縱坐標(biāo)y成為梯形

7、的中位線，可以利用幾何圖形的性質(zhì)和拋物線定義求解.解法一：設(shè)拋物線y=x2的弦AB的端點(diǎn)A（x1,y1）、B(x2,y2)，中點(diǎn)M（x,y），拋物線y=x2的焦點(diǎn)F（0，），準(zhǔn)線y=.設(shè)A、B、M到準(zhǔn)線距離分別為AD、BC、MN.2|MN|=|AD|+|BC|,且|MN|=y+根據(jù)拋物線定義，有|AD|=|AF|,|BC|=|BF|2（y+)=|AF|+|BF|在ABF中，|AF|+|BF|AB|=22(y+)2y即M點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為.分析二：要求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值，可列出縱坐標(biāo)y關(guān)于某一變量的函數(shù)，然后求此函數(shù)的最小值.解法二：設(shè)拋物線y=x2上點(diǎn)A（a,a2)、B(b,b2),AB中

8、點(diǎn)M（x,y).x=|AB|=2(ab)2+(a2b2)2=4則(a+b)24ab+(a2+b2)24a2b2=4由2x=a+b,2y =a2+b2,得ab=2x2y4x24(2x2y)+4y24(2x2y)2=4整理得y=x2+y=(4x2+1)+ 2 =1=當(dāng)且僅當(dāng)(4x2+1)= 即x=±時(shí)等號(hào)成立.AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為.【例5】 定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).解法1：設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=, y=,又設(shè)點(diǎn)A，B，M在準(zhǔn)線l：x=上的射影分別為A/,B/

9、,M/, MM/與y軸的交點(diǎn)為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)³(|AB|)=.等號(hào)在直線AB過焦點(diǎn)時(shí)成立，此時(shí)直線AB的方程為y=k(x).由得：16k2x28(k2+2)x+k2=0.依題意|AB|=|x1x2|=×=3,k2=, 此時(shí)x=(x1+x2)=.y= ±.即M(,), N(,).解法2：設(shè)A(x1，y1)和B(x2,y2),那么AB中點(diǎn)M(x,y)到y(tǒng)軸的距離由得整理得：因?yàn)閷?shí)數(shù),故由此得：因?yàn)閤0,所以：4x+16，故AB中點(diǎn)M距y軸最短距離為且相應(yīng)中點(diǎn)坐標(biāo)為四、 課堂練

10、習(xí)1正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)（答案：邊長(zhǎng)為）2正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求正三角形外接圓的方程分析：依題意可知圓心在軸上，且過原點(diǎn)，故可設(shè)圓的方程為：，又 圓過點(diǎn)， 所求圓的方程為3已知的三個(gè)頂點(diǎn)是圓與拋物線的交點(diǎn)，且的垂心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程（答案：）4已知直角的直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，、在拋物線上，（1）分別求、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積；（2）直線是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不經(jīng)過，說明理由；（3）求點(diǎn)在線段上的射影的軌跡方程 答案：（1）； ；（2）直線過定點(diǎn)（3）點(diǎn)的軌跡方程為

11、5已知直角的直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，、在拋物線上，原點(diǎn)在直線上的射影為，求拋物線的方程（答案：）6已知拋物線與直線相交于、兩點(diǎn)，以弦長(zhǎng)為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，求此拋物線的方程（答案：）7已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）且，求拋物線的方程（答案：）8頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線被直線截得的弦長(zhǎng)為，求拋物線的方程（答案：或）五、 小結(jié)六、 課后練習(xí)1頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過點(diǎn)P（4，2）的拋物線方程是（A）(A) x28y (B) x24y (C) x22y (D) 2拋物線y28x上一點(diǎn)P到頂點(diǎn)的距離等于它們到準(zhǔn)線的距離，這點(diǎn)坐標(biāo)是（ D ）(A) （2，4） (B) （2，±