導數(shù)壓軸題之導函數(shù)證明題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上導函數(shù)證明復習題(匯編)1. （2014福建20）已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為-1.（I）求的值及函數(shù)的極值；（II）證明：當時，；（III）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當，恒有.本小題主要考查導數(shù)的運算及導數(shù)的應用、全稱量詞等基礎知識的考查運用，考查抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想等。 滿分14分。解法一：（I）由，得.又,得.所以.令,得.當時, 單調(diào)遞減;當時, 單調(diào)遞增.所以當時, 取得極小值,且極小值為無極大值.（II）令,則.由（I）得,故在

2、R上單調(diào)遞增,又,因此,當時, ,即.（III）若,則.又由（II）知，當時, .所以當時, .取,當時，恒有.若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.令,則.所以當時, 在內(nèi)單調(diào)遞增.取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.又.易知.所以.即存在,當時，恒有.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在,當時,恒有.解法二：（I）同解法一（II）同解法一（III）對任意給定的正數(shù)c，取由（II）知，當x0時，所以當時， 因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在,當時,恒有.2.（2014湖北22）為圓周率，e=2.71828，為自然對數(shù)的底(1) 求f(x)=的單調(diào)區(qū)間;(2) 求e3、3e、3、3、e、

3、e這六個數(shù)中的最大值與最小值；(1) e3、3e、3、3、e、e這六個數(shù)從小到大的順序排列,并證明你的結(jié)論.解：（I）函數(shù)的定義域為，因為，所以，當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（II）因為，所以，即，于是根據(jù)函數(shù)、在定義域上單調(diào)遞增，所以，故這6個數(shù)的最大數(shù)在與之中，最小數(shù)在與之中，由及（I）的結(jié)論得，即，由得，所以，由得，所以，綜上，6個數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.（III）由（II）知，又由（II）知，故只需比較與和與的大小，由（I）知，當時，即，在上式中，令，又，則，即得由得，即，亦即，所以，又由得，即，所以，綜上所述，即6個數(shù)從小到大

4、的順序為，.3.（2014陜西21）設函數(shù)，其中是的導函數(shù).（1） ，求的表達式；（2） 若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設，比較與的大小，并加以證明.解：，（1），即，當且僅當時取等號。當時，當時，即數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，當時，（2）在范圍內(nèi)恒成立，等價于成立令，即恒成立，令，即，得當即時，在上單調(diào)遞增所以當時，在上恒成立；當即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以設因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減所以，即所以不恒成立綜上所述，實數(shù)的取值范圍為（3）由題設知：，比較結(jié)果為：證明如下：上述不等式等價于在（2）中取，可得令，則，即故有上述各式相加可得：結(jié)論得證.4（2013湖

5、北）設是正整數(shù),為正有理數(shù).(I)求函數(shù)的最小值;(II)證明:;(III)設,記為不小于的最小整數(shù),例如,.令,求的值.(參考數(shù)據(jù):,)【答案】證明:(I) 在上單減,在上單增. (II)由(I)知:當時,(就是伯努利不等式了) 所證不等式即為: 若,則 , ,故式成立. 若,顯然成立. , ,故式成立. 綜上可得原不等式成立. (III)由(II)可知:當時, 5（2013年大綱）已知函數(shù)(I)若時,求的最小值;(II)設數(shù)列6. (2012年湖北22) （I）已知函數(shù)f（x）=rx-xr+（1-r）（x0），其中r為有理數(shù)，且0r1.求f（x）的最小值；（II）試用（I）的結(jié)果證明如下命

6、題：設a10，a20，b1，b2為正有理數(shù)，若b1+b2=1，則a1b1a2b2a1b1+a2b2；7.(2012天津20)已知函數(shù)的最小值為，其中.（）求的值；（）若對任意的,有成立，求實數(shù)的最小值；（）證明：.21世紀教育網(wǎng)8 .（2011大綱全國22）（）設函數(shù)，證明：當時，；（）從編號1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：【思路點撥】本題第（I）問是利用導數(shù)研究單調(diào)性最值的常規(guī)題，不難證明。第(II)問證明如何利用第（I）問結(jié)論是解決這個問題的關鍵也是解題能力高低的體現(xiàn)?！揪v精析】(I)所以在上單增。

7、當時，。（II）由(I)，當x0時，,即有故于是,即.利用推廣的均值不等式：另解：，所以是上凸函數(shù)，于是因此，故綜上：9.（2011湖北21）（）已知函數(shù)求函數(shù)的最大值；（）設均為正數(shù)，證明：（1）若，則（2）若，則。解：（）的定義域為，令，解得當時，在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)；故函數(shù)在x=1處取得最大值（）（1）由（）知，當，有，即，從而有，得。求和得：，即 （2）先證：。令，則，于是由（1）得，即，。再證記,于是由（1）得，即，綜合，（2）得證。10 （2010湖北21） 已知函數(shù)的圖像在點（1，f（1）處的切線方程為yx1（1）用a表示出b，c；（2）若在1，上恒成立，求a的取值范

8、圍；（3）證明：解：（）f（x）=a，則有，解得（）由（）知，f（x）=ax+12a。令g（x）= f（x）-x= ax+12a-x，x1，+，則g（1）=0，g（x）= a=1）當0a時，1。若1x，則g（x）0，g（x）是減函數(shù)，所以g（x）0,g(x)是增函數(shù)，所以g(x)g(1)=0,即f(x)lnx.故當x故當x1時，f(x)lnx.綜上所述，所求a的取值范圍是+）。3.當a時，有f(x)lnx(x)，令a=,有f(x)= (x-)lnx,令x=，有l(wèi)n即ln(k+1)-lnk注：函數(shù)導數(shù)的聯(lián)合考查，第一問兩個方程聯(lián)立即可得出結(jié)果，第二問需要求導轉(zhuǎn)化函數(shù)方程，考查一元二次方程的相關知

9、識，容易得到范圍，第三問需要把對數(shù)函數(shù)進行變形，把一個對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化成n個對數(shù)函數(shù)的相加減，然后裂開進行求和即可得到結(jié)果。11（2015武昌元調(diào)22）已知函數(shù)(a為常數(shù))，曲線yf(x)在與y軸的交點A處的切線斜率為1.()求a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；()證明：當時，；()證明：當時，.解：（）由，得.又，所以.所以，.由，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（4分） ()證明：由（）知.所以，即，.令，則.所以在上單調(diào)遞增，所以，即.（8分） ()首先證明：當時，恒有.證明如下：令，則.由()知，當時，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.所以，即.依次取，代入上式，則，.以上各式

10、相加，有所以，所以，即.（14分）12（2015黃岡元調(diào)21）已知函數(shù)，其中（）若函數(shù)有極值1，求實數(shù)a的值；（）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（）證明：解：（）當時，遞減，無極值；當時，令，得，遞增，4分（）上是增函數(shù)，恒成立，時，恒成立，當時，等價于，設遞增，故的取值范圍是9分（）由（）知，當時，上是增函數(shù)，令，則，故14分13（2015湖北部分重點高中第二次聯(lián)考21）已知函數(shù)()若，討論的單調(diào)性；()當時，若恒成立，求滿足條件的正整數(shù)的值；()求證：解析：() ，時為常函數(shù)，不具有單調(diào)性。時，在上單調(diào)遞增；()時， ，設，則。因為此時在上單調(diào)遞增可知當時，；當時，當時，；當

11、時，當時，即，所以，故正整數(shù)的值為1、2或3。 ()由()知，當時，恒成立，即，令，得則（暫時不放縮），.以上個式子相加得：所以，即。14.(2015湖北省六校元調(diào)22)已知函數(shù)f(x)=ax+(1-2a)(a0)（1）若f(x)x在1，)上恒成立，求a的取值范圍；（2）證明：1+（n+1）+（n1）；（3）已知S=，求S的整數(shù)部分.（，）解: ()令則（i）當若是減函數(shù)，所以即上不恒成立.（ii）當若是增函數(shù)，所以即時，綜上所述，所求a的取值范圍為 （4分）（II）由（I）可知：當時，有令有且當令，即將上述n個不等式依次相加得整理得（9分） ()由重要不等式,令，得，通過累加可得1+， 所以

12、1+(n+1)+ 令n=2014,得8.6079ln2014+1Sln2015+8.1所以S的整數(shù)部分為8 （14分）15（2015武漢九調(diào)21）已知函數(shù)f(x)axxlnx的圖象在點xe（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3（）求實數(shù)a的值；（）若f(x)kx2對任意x0成立，求實數(shù)k的取值范圍；（）當nm1（m，nN*）時，證明：解：（）求導數(shù)，得f (x)alnx1 1分由已知，得f (e)3，即alne13a12分（）由（），知f(x)xxlnx，f(x)kx2對任意x0成立k對任意x0成立，4分令g(x)，則問題轉(zhuǎn)化為求g(x)的最大值求導數(shù)，得g(x)，令g(x)0，解得x15分

13、當0x1時，g(x)0，g(x)在(0，1)上是增函數(shù)；當x1時，g(x)0，g(x)在(1，)上是減函數(shù)6分故g(x)在x1處取得最大值g(1)1k1即為所求8分（）令h(x)，則h(x)9分由（），知x1lnx（x0），h(x)0，10分h(x)是(1，)上的增函數(shù)nm1，h(n)h(m)，即，11分mnlnnnlnnmnlnmmlnm，12分即mnlnnmlnmmnlnmnlnn，即lnnmnlnmmlnmmnlnnn，即ln(mnn)mln(nmm)n， 13分(mnn)m(nmm)n，14分16. （2014五調(diào)22）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當時，函數(shù)恒成立，求實數(shù)k的取值

14、范圍;（）設正實數(shù)滿足，求證：17.（2014武漢四調(diào)22） 已知函數(shù). （I）求的最大值； （II）設，是曲線的一條切線,證明：曲線 上的任意一點都不可能在直線的上方； （III）求證：（其中為自然 對數(shù)的底數(shù)，）.18（2014武漢二調(diào)22）（）已知函數(shù)f(x)ex1tx，x0R，使f(x0)0，求實數(shù)t的取值范圍；（）證明：ln，其中0ab；（）設x表示不超過x的最大整數(shù)，證明：ln(1n)11lnn（nN*）解：（）若t0，令x，則f()e110；若t0，f (x)ex10，不合題意；若t0，只需f(x)min0求導數(shù)，得f (x)ex1t令f (x)0，解得xlnt1當xlnt1時，

15、f (x)0，f(x)在(，lnt1)上是減函數(shù)；當xlnt1時，f (x)0，f(x)在(lnt1，)上是增函數(shù)故f(x)在xlnt1處取得最小值f(lnt1)tt(lnt1)tlnttlnt0，由t0，得lnt0，t1綜上可知，實數(shù)t的取值范圍為(，0)1，+)4分（）由（），知f(x)f(lnt1)，即ex1txtlnt取t1，ex1x0，即xex1當x0時，lnxx1，當且僅當x1時，等號成立，故當x0且x1時，有l(wèi)nxx1令x，得ln1（0ab），即ln令x，得ln1（0ab），即ln，亦即ln綜上，得ln9分（）由（），得ln令ak，bk1（kN*），得ln對于ln，分別取k1，2

16、，n，將上述n個不等式依次相加，得lnlnln1，ln(1n)1 對于ln，分別取k1，2，n1，將上述n1個不等式依次相加，得lnlnln，即lnn（n2），11lnn（nN*） 綜合，得ln(1n)11lnn易知，當pq時，pq，ln(1n)11lnn（nN*）又1lnn1lnn，ln(1n)11lnn（nN*）14分19（2014湖北八校第二次聯(lián)考22）已知函數(shù) （）當時，求曲線在點處的切線方程； （）求的單調(diào)減區(qū)間； （）當時，設在區(qū)間上的最小值為，令， 求證：1)當時， 2分 曲線在點處的切線方程為： 即 3分20（2014武漢十一調(diào)21）已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f (x)，且對任

17、意x0，都有f (x)（）判斷函數(shù)F(x)在(0，)上的單調(diào)性；（）設x1，x2(0，)，證明：f(x1)f(x2)f(x1x2)；（）請將（）中的結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論解：（）對F(x)求導數(shù)，得F(x)f (x)，x0，xf (x)f(x)，即xf (x)f(x)0，F(xiàn)(x)0故F(x)在(0，)上是增函數(shù)4分（）x10，x20，0x1x1x2由（），知F(x)在(0，)上是增函數(shù)，F(xiàn)(x1)F(x1x2)，即x10，f(x1)f(x1x2)同理可得f(x2)f(x1x2)以上兩式相加，得f(x1)f(x2)f(x1x2)8分（）（）中結(jié)論的推廣形式為：設x1，x2，xn

18、(0，)，其中n2，則f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)x10，x20，xn0，0x1x1x2xn由（），知F(x)在(0，)上是增函數(shù)，F(xiàn)(x1)F(x1x2xn)，即x10，f(x1)f(x1x2xn)同理可得f(x2)f(x1x2xn)，f(x3)f(x1x2xn)，f(xn)f(x1x2xn)以上n個不等式相加，得f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)14分21（2014武漢九調(diào)21）已知函數(shù)f(x)aln(x1)（aR）（）若f(x)在2，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（）當a2時，求證：12ln(x1)2x4（x2）；（）求證：lnn1（nN*，且n2）解：（）由已知，得f(x)1aln(x1)，求導數(shù)，得f (x)f(x)在2，)上是增函數(shù)，f (x)0在2，)上恒成立，即a在2，)上恒成立，a()maxx2，01，a1故實數(shù)a的取值范圍為1，)4分（）當a2時，由（）知，f(x)在2，)上是增函數(shù)，當x2時，f(x)f(2)，即12ln(x1)0，2ln(x1)1令g(x)2x42ln(x1