高中數(shù)學極坐標與參數(shù)方程大題詳解

1、參數(shù)方程極坐標系解答題1已知曲線C：+=1，直線l：（t為參數(shù)）（）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程（）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值考點：參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓錐曲線的關系菁優(yōu)網版權所有專題：坐標系和參數(shù)方程分析：（）聯(lián)想三角函數(shù)的平方關系可取x=2cos、y=3sin得曲線C的參數(shù)方程，直接消掉參數(shù)t得直線l的普通方程；（）設曲線C上任意一點P（2cos，3sin）由點到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以sin30°進一步得到|PA|，化積后由三角函數(shù)的范圍求得|PA|的最大值與最小值解答：解：（

2、）對于曲線C：+=1，可令x=2cos、y=3sin，故曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）對于直線l：，由得：t=x2，代入并整理得：2x+y6=0；（）設曲線C上任意一點P（2cos，3sin）P到直線l的距離為則，其中為銳角當sin（+）=1時，|PA|取得最大值，最大值為當sin（+）=1時，|PA|取得最小值，最小值為點評：本題考查普通方程與參數(shù)方程的互化，訓練了點到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題2已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的極坐標方程為：，曲線C的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）（I）寫出直線l的直角坐標方程；（）求曲線C上的點到直線l

3、的距離的最大值考點：參數(shù)方程化成普通方程菁優(yōu)網版權所有專題：坐標系和參數(shù)方程分析：（1）首先，將直線的極坐標方程中消去參數(shù)，化為直角坐標方程即可；（2）首先，化簡曲線C的參數(shù)方程，然后，根據(jù)直線與圓的位置關系進行轉化求解解答：解：（1）直線l的極坐標方程為：，（sincos）=，xy+1=0（2）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）得（x2）2+y2=4，它表示一個以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓，圓心到直線的距離為：d=，曲線C上的點到直線l的距離的最大值=點評：本題重點考查了直線的極坐標方程、曲線的參數(shù)方程、及其之間的互化等知識，屬于中檔題3已知曲線C1：（t為參數(shù)），C2：（為參數(shù)）（1

4、）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（2）若C1上的點P對應的參數(shù)為t=，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：（t為參數(shù)）距離的最小值考點：圓的參數(shù)方程；點到直線的距離公式；直線的參數(shù)方程菁優(yōu)網版權所有專題：計算題；壓軸題；轉化思想分析：（1）分別消去兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)得到兩曲線的普通方程，即可得到曲線C1表示一個圓；曲線C2表示一個橢圓；（2）把t的值代入曲線C1的參數(shù)方程得點P的坐標，然后把直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設出Q的坐標，利用中點坐標公式表示出M的坐標，利用點到直線的距離公式表示出M到已知直線的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式

5、化簡后，利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值解答：解：（1）把曲線C1：（t為參數(shù)）化為普通方程得：（x+4）2+（y3）2=1，所以此曲線表示的曲線為圓心（4，3），半徑1的圓；把C2：（為參數(shù)）化為普通方程得：+=1，所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸為8，短半軸為3的橢圓；（2）把t=代入到曲線C1的參數(shù)方程得：P（4，4），把直線C3：（t為參數(shù)）化為普通方程得：x2y7=0，設Q的坐標為Q（8cos，3sin），故M（2+4cos，2+sin）所以M到直線的距離d=，（其中sin=，cos=）從而當cos=，sin=時，d取得最小值點評：此題考查學生理解

6、并運用直線和圓的參數(shù)方程解決數(shù)學問題，靈活運用點到直線的距離公式及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題4在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立直角坐標系，圓C的極坐標方程為，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l和圓C交于A，B兩點，P是圓C上不同于A，B的任意一點（）求圓心的極坐標；（）求PAB面積的最大值考點：參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程菁優(yōu)網版權所有專題：坐標系和參數(shù)方程分析：（）由圓C的極坐標方程為，化為2=，把代入即可得出（II）把直線的參數(shù)方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d，再利用弦長公式可得|AB|=2，利用三角形的面積計算

7、公式即可得出解答：解：（）由圓C的極坐標方程為，化為2=，把代入可得：圓C的普通方程為x2+y22x+2y=0，即（x1）2+（y+1）2=2圓心坐標為（1，1），圓心極坐標為；（）由直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），把t=x代入y=1+2t可得直線l的普通方程：，圓心到直線l的距離，|AB|=2=，點P直線AB距離的最大值為，點評：本題考查了把直線的參數(shù)方程化為普通方程、極坐標化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、弦長公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題5在平面直角坐標系xoy中，橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）以o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為求橢

8、圓上點到直線距離的最大值和最小值考點：橢圓的參數(shù)方程；橢圓的應用菁優(yōu)網版權所有專題：計算題；壓軸題分析：由題意橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），直線的極坐標方程為將橢圓和直線先化為一般方程坐標，然后再計算橢圓上點到直線距離的最大值和最小值解答：解：將化為普通方程為（4分）點到直線的距離（6分）所以橢圓上點到直線距離的最大值為，最小值為（10分）點評：此題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉化，根據(jù)實際情況選擇不同的方程進行求解，這也是每年高考必考的熱點問題6在直角坐標系xoy中，直線I的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），若以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為

9、=cos（+）（1）求直線I被曲線C所截得的弦長；（2）若M（x，y）是曲線C上的動點，求x+y的最大值考點：參數(shù)方程化成普通方程菁優(yōu)網版權所有專題：計算題；直線與圓；坐標系和參數(shù)方程分析：（1）將曲線C化為普通方程，將直線的參數(shù)方程化為標準形式，利用弦心距半徑半弦長滿足的勾股定理，即可求弦長（2）運用圓的參數(shù)方程，設出M，再由兩角和的正弦公式化簡，運用正弦函數(shù)的值域即可得到最大值解答：解：（1）直線I的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于=cos（+）=（），即有2=cossin，則有x2+y2x+y=0，其圓心為（，），半徑為r=，圓心到直線的距離d=，故弦長為

10、2=2=；（2）可設圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），則設M（，），則x+y=sin（），由于R，則x+y的最大值為1點評：本題考查參數(shù)方程化為標準方程，極坐標方程化為直角坐標方程，考查參數(shù)的幾何意義及運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題7選修44：參數(shù)方程選講已知平面直角坐標系xOy，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為，曲線C的極坐標方程為（）寫出點P的直角坐標及曲線C的普通方程；（）若Q為C上的動點，求PQ中點M到直線l：（t為參數(shù)）距離的最小值考點：參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程菁優(yōu)網版權所有專題：坐標系和參數(shù)方程分析：（1）利用x=cos，y=sin即可

11、得出；（2）利用中點坐標公式、點到直線的距離公式及三角函數(shù)的單調性即可得出，解答：解 （1）P點的極坐標為，=3，=點P的直角坐標把2=x2+y2，y=sin代入可得，即曲線C的直角坐標方程為（2）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的普通方程為x2y7=0設，則線段PQ的中點那么點M到直線l的距離.，點M到直線l的最小距離為點評：本題考查了極坐標與直角坐標的互化、中點坐標公式、點到直線的距離公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了計算能力，屬于中檔題8在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)）以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系（）求圓C的極坐標

12、方程；（）直線l的極坐標方程是（sin+）=3，射線OM：=與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長考點：簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關系菁優(yōu)網版權所有專題：直線與圓分析：（I）圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)可得：（x1）2+y2=1把x=cos，y=sin代入化簡即可得到此圓的極坐標方程（II）由直線l的極坐標方程是（sin+）=3，射線OM：=可得普通方程：直線l，射線OM分別與圓的方程聯(lián)立解得交點，再利用兩點間的距離公式即可得出解答：解：（I）圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)可得：（x1）2+y2=1把x=cos，y=sin代入化簡得：=2cos，即為此圓的極坐

13、標方程（II）如圖所示，由直線l的極坐標方程是（sin+）=3，射線OM：=可得普通方程：直線l，射線OM聯(lián)立，解得，即Q聯(lián)立，解得或P|PQ|=2點評：本題考查了極坐標化為普通方程、曲線交點與方程聯(lián)立得到的方程組的解的關系、兩點間的距離公式等基礎知識與基本方法，屬于中檔題9在直角坐標系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為sin（+）=4（1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；（2）設P為曲線C1上的動點，求點P到C2上點的距離的最小值，并求此時點P的坐標考點：簡單曲線的極坐標方程菁優(yōu)網版權所有專題：坐標系

14、和參數(shù)方程分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系把參數(shù)方程化為直角坐標方程，利用直角坐標和極坐標的互化公式x=cos、y=sin，把極坐標方程化為直角坐標方程（2）求得橢圓上的點到直線x+y8=0的距離為，可得d的最小值，以及此時的的值，從而求得點P的坐標解答：解：（1）由曲線C1：，可得，兩式兩邊平方相加得：，即曲線C1的普通方程為：由曲線C2：得：，即sin+cos=8，所以x+y8=0，即曲線C2的直角坐標方程為：x+y8=0（2）由（1）知橢圓C1與直線C2無公共點，橢圓上的點到直線x+y8=0的距離為，當時，d的最小值為，此時點P的坐標為點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程

15、化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎題10已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為=2cos（+）（）求圓心C的直角坐標；（）由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值考點：簡單曲線的極坐標方程菁優(yōu)網版權所有專題：計算題分析：（I）先利用三角函數(shù)的和角公式展開圓C的極坐標方程的右式，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，進行代換即得圓C的直角坐標方程，從而得到圓心C的直角坐標（II）欲求切線長的最小值，轉化為求直線l上的點到圓心的距離的最小值，故先在直角坐標系中算出直線l上的點到圓心的距離的最小值，再

16、利用直角三角形中邊的關系求出切線長的最小值即可解答：解：（I），圓C的直角坐標方程為，即，圓心直角坐標為（5分）（II）直線l的普通方程為，圓心C到直線l距離是，直線l上的點向圓C引的切線長的最小值是（10分）點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化11在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），曲線C1的方程為（4sin）=12，定點A（6，0），點P是曲線C1上的動點，Q為AP的中點（1）求點Q的軌跡C2的直角坐標方程；（

17、2）直線l與直線C2交于A，B兩點，若|AB|2，求實數(shù)a的取值范圍考點：簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程菁優(yōu)網版權所有專題：坐標系和參數(shù)方程分析：（1）首先，將曲線C1化為直角坐標方程，然后，根據(jù)中點坐標公式，建立關系，從而確定點Q的軌跡C2的直角坐標方程；（2）首先，將直線方程化為普通方程，然后，根據(jù)距離關系，確定取值范圍解答：解：（1）根據(jù)題意，得曲線C1的直角坐標方程為：x2+y24y=12，設點P（x，y），Q（x，y），根據(jù)中點坐標公式，得，代入x2+y24y=12，得點Q的軌跡C2的直角坐標方程為：（x3）2+（y1）2=4，（2）直線l的普通方程為：y=ax，根據(jù)題意

18、，得，解得實數(shù)a的取值范圍為：0，點評：本題重點考查了圓的極坐標方程、直線的參數(shù)方程，直線與圓的位置關系等知識，考查比較綜合，屬于中檔題，解題關鍵是準確運用直線和圓的特定方程求解12在直角坐標系xoy中以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系圓C1，直線C2的極坐標方程分別為=4sin，cos（）=2（）求C1與C2交點的極坐標；（）設P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點，已知直線PQ的參數(shù)方程為（tR為參數(shù)），求a，b的值考點：點的極坐標和直角坐標的互化；直線與圓的位置關系；參數(shù)方程化成普通方程菁優(yōu)網版權所有專題：壓軸題；直線與圓分析：（I）先將圓C1，直線C2化成直角坐標方程，再聯(lián)立

19、方程組解出它們交點的直角坐標，最后化成極坐標即可；（II）由（I）得，P與Q點的坐標分別為（0，2），（1，3），從而直線PQ的直角坐標方程為xy+2=0，由參數(shù)方程可得y=x+1，從而構造關于a，b的方程組，解得a，b的值解答：解：（I）圓C1，直線C2的直角坐標方程分別為 x2+（y2）2=4，x+y4=0，解得或，C1與C2交點的極坐標為（4，）（2，）（II）由（I）得，P與Q點的坐標分別為（0，2），（1，3），故直線PQ的直角坐標方程為xy+2=0，由參數(shù)方程可得y=x+1，解得a=1，b=2點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程、把參數(shù)方程化為普通方程的方法，方程思想的應

20、用，屬于基礎題13在直角坐標系xOy中，l是過定點P（4，2）且傾斜角為的直線；在極坐標系（以坐標原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，取相同單位長度）中，曲線C的極坐標方程為=4cos（）寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標方程；（）若曲線C與直線相交于不同的兩點M、N，求|PM|+|PN|的取值范圍解答：解：（I）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）曲線C的極坐標方程=4cos可化為2=4cos把x=cos，y=sin代入曲線C的極坐標方程可得x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4（II）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t2+4（sin+cos）t+4=0曲線C與

21、直線相交于不同的兩點M、N，=16（sin+cos）2160，sincos0，又0，），又t1+t2=4（sin+cos），t1t2=4|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sin+cos|=，|PM|+|PN|的取值范圍是點評：本題考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標方程、直線與圓相交弦長問題，屬于中檔題14在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，C的極坐標方程為=2sin（）寫出C的直角坐標方程；（）P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標考點：點的極坐標和直角坐標的互化菁優(yōu)網版權所有專題：坐標

22、系和參數(shù)方程分析：（I）由C的極坐標方程為=2sin化為2=2，把代入即可得出；（II）設P，又C利用兩點之間的距離公式可得|PC|=，再利用二次函數(shù)的性質即可得出解答：解：（I）由C的極坐標方程為=2sin2=2，化為x2+y2=，配方為=3（II）設P，又C|PC|=2，因此當t=0時，|PC|取得最小值2此時P（3，0）點評：本題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數(shù)方程的應用、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題15已知曲線C1的極坐標方程為=6cos，曲線C2的極坐標方程為=（pR），曲線C1，C2相交于A，B兩點（）把曲線C1，C2的極坐標方程轉化為

23、直角坐標方程；（）求弦AB的長度考點：簡單曲線的極坐標方程菁優(yōu)網版權所有專題：計算題分析：（）利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，進行代換即得曲線C2及曲線C1的直角坐標方程（）利用直角坐標方程的形式，先求出圓心（3，0）到直線的距離，最后結合點到直線的距離公式弦AB的長度解答：解：（）曲線C2：（pR）表示直線y=x，曲線C1：=6cos，即2=6cos所以x2+y2=6x即（x3）2+y2=9（）圓心（3，0）到直線的距離，r=3所以弦長AB=弦AB的長度點評：本小題主要考查圓和直線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及利用圓的幾何性質計算圓心到直線的距等基本方法，屬于基礎題16在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l的極坐標方程為sin（+）=，圓C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，r0）（）求圓心C的極坐標；（）當r為何值時，圓C上的點到直線l的最大距離為3考點：簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關系菁優(yōu)網版權所有專題：計算題分析：（1）利用兩角差的余弦公式及極坐標與直角坐標的互化公式可得直線l的普通方程；利用同角三角函數(shù)的基本關系，消去可得曲線C的普通方程，得出圓心的直角坐標后再化面極坐標即可（2