高中數(shù)學競賽講義之集合及性質(zhì)

1、第一講 集合的概念與運算例題精講板塊一 元素與子集元素與子集是集合中最基本的概念.其基本題型如下：1、 根據(jù)給定的集合性質(zhì)確定某元素是否屬于某集合或確定某待定元數(shù)值；2、 對數(shù)集中的元素按某種規(guī)律排序并找出其中某個特定元素；3、 對某集合中元素按特定運算規(guī)則進行計算4、 確定滿足某條件的子集個數(shù)基本解題思路有：利用集合的互異性；分類討論或枚舉；對數(shù)集的元素排序；反證法等【例1】 已知, ,且. 求x的所有可能值個數(shù)【例2】 已知數(shù)集具有性質(zhì)：對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（）證明：，且；【例3】 已知集合，,，且，則整數(shù)對的個數(shù)為 （ ）A. 20

2、 B. 25 C. 30 D. 42 【例4】 已知任意的記集合，將M中的元素按從大到小順序排列，則第2005個數(shù)是A. B. C. D. 【例5】 設，若，則實數(shù)的取值范圍為 （ ）A B C D 【例6】 已知a為給定的實數(shù)，那么集合Mx|x23xa220，xR的子集的個數(shù)為( )A.1 B.2 C.4 D.不確定【變式】 一個n元集的子集個數(shù)有多少個？非空子集個數(shù)有多少個？【例7】 對于集合和它的每一個非空子集，定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù).例如：的交替和為，5的交替和為5.對于n=7,求所有這些交替和之和.板塊二 集合的運算集合

3、的基本運算包括交并補運算，.其基本題型如下：1、 給定兩個或多個集合對其做復雜的復合運算，只要先利用函數(shù)或解析幾何等相關(guān)知識確定原始集合，就可以按部就班地計算出最后結(jié)果.2、 題目中對集合定義某種新運算，要求按新運算來進行計算.但第一類題型往往要用到很多高中的知識作為基礎，因此放在以后的章節(jié)中逐漸滲透.【例8】 集合A= ，B= ，求, 【例9】 定義集合運算：，設A=2,0,B=0,8，則集合的所有元素之和為（） A.16 B.18 C.20 D.22【例10】 已知集合對于，定義A與B的差和距離分別為（）當n=5時，設，求，；（）證明：，且;() 證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)板塊三 有限

4、集的階定義：有限集A的元素數(shù)目叫做這個集合的階，記作|A|.注：高考中常記作card(A),本講義中一律寫作|A|.求集合的階的問題通常與組合相關(guān)，特別是求滿足某給定條件的子集的階的最大值問題通常難度很大.這類問題在競賽中變化極多，難以掌握.此處僅舉數(shù)例說明，更深層次的問題將在學完組合基礎之后再來學習.【例11】 設集合.【例12】 S是的一個子集，且S中任兩數(shù)之差不能為4或7,（1） 證明：原集合中任11個連續(xù)整數(shù)中最多有5個能是S中元素.（2） 試求【例13】 已知A與B是集合1，2，3，100的兩個子集，滿足：A與B的元素個數(shù)相同，且AB為空集。若nA時總有2n+2B，則集合AB的元素個

5、數(shù)最多為（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74【例14】 已知集合是集合的子集，且對任意，都有，則集合中的元素最多有多少個？【變式】 已知集合是集合的子集，且對任意，都有，則集合中的元素最多有（ ）（A）67個（B）68個（C）69個（D）70個大顯身手1 集合M=，N=.M,N的關(guān)系為（A）M=N（B）（C）M為N的真子集（D）N為M的真子集2 設集合A的元素都是正整數(shù)，滿足以下條件：(1) A的元素個數(shù)不小于3；(2) 若，則a的所有因數(shù)都屬于A；(3) 若，1<a<b,則.試解答：（1）證明1,2,3,4,5均為A中元素； （2）試確定2005是否為A中元素.3 設A

6、所有可表為兩個整數(shù)平方和的的數(shù)所組成的集合，即證明：若,則4 求集合M=的所有非空子集的元素和之和.5 設全集，若 (注：補集符號)則集合B可能為：（A）（B）（C）（D）6 設集合A=, ,且，中所有元素之和為224.求集合A .7 設,A是M的子集且滿足條件：當時，求.若將15換為17,19又如何.譯者序： 本文譯自澳大利亞數(shù)學家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?”。 Tao 是調(diào)和分析、 微分方程、 組合數(shù)學、 解析數(shù)論等領(lǐng)域的大師級的年輕高手。 2006 年， 31 歲的 Tao 獲得了數(shù)學界的最高獎 Fields 獎， 成為該獎項七

7、十年來最年輕的獲獎者之一。 美國數(shù)學學會 (AMS) 對 Tao 的評價是： “他將精純的技巧、 超凡入圣的獨創(chuàng)及令人驚訝的自然觀點融為一體”。 著名數(shù)學家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎得主) 的評價則是： “如果你有解決不了的問題， 那么找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。 1. 數(shù)學品質(zhì)的諸多方面我們都認為數(shù)學家應該努力創(chuàng)造好數(shù)學。 但 “好數(shù)學” 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個問題。 我們幾乎立刻能夠意識到有許多不同種類的數(shù)學都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數(shù)學” 可以指 (

8、不分先后順序)：好的數(shù)學題解 (比如在一個重要數(shù)學問題上的重大突破)；好的數(shù)學技巧 (比如對現(xiàn)有方法的精湛運用， 或發(fā)展新的工具)；好的數(shù)學理論 (比如系統(tǒng)性地統(tǒng)一或推廣一系列現(xiàn)有結(jié)果的概念框架或符號選擇)；好的數(shù)學洞察 (比如一個重要的概念簡化， 或?qū)σ粋€統(tǒng)一的原理或主題的實現(xiàn))；好的數(shù)學發(fā)現(xiàn) (比如對一個出人意料、 引人入勝的新的數(shù)學現(xiàn)象、 關(guān)聯(lián)或反例的揭示)；好的數(shù)學應用 (比如應用于物理、 工程、 計算機科學、 統(tǒng)計等領(lǐng)域的重要問題， 或?qū)⒁粋€數(shù)學領(lǐng)域的結(jié)果應用于另一個數(shù)學領(lǐng)域)；好的數(shù)學展示 (比如對新近數(shù)學課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個清晰而合理的論證)；好的數(shù)學教學 (比如能讓

9、他人更有效地學習及研究數(shù)學的講義或?qū)懽黠L格， 或?qū)?shù)學教育的貢獻)； 好的數(shù)學遠見 (比如富有成效的長遠計劃或猜想)； 待續(xù)好的數(shù)學品味 (比如自身有趣且對重要課題、 主題或問題有影響的研究目標)；好的數(shù)學公關(guān) (比如向非數(shù)學家或另一個領(lǐng)域的數(shù)學家有效地展示數(shù)學成就)；好的元數(shù)學 (比如數(shù)學基礎、 哲學、 歷史、 學識或?qū)嵺`方面的進展)； 嚴密的數(shù)學 (所有細節(jié)都正確、 細致而完整地給出)；美麗的數(shù)學 (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式； 陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結(jié)果)；優(yōu)美的數(shù)學 (比如 Paul Erdos 的 “來自天書的證明” 觀念； 通過最少的努力得到困難的結(jié)果)；

10、 創(chuàng)造性的數(shù)學 (比如本質(zhì)上新穎的原創(chuàng)技巧、 觀點或各類結(jié)果)；有用的數(shù)學 (比如會在某個領(lǐng)域的未來工作中被反復用到的引理或方法)；強有力的數(shù)學 (比如與一個已知反例相匹配的敏銳的結(jié)果， 或從一個看起來很弱的假設推出一個強得出乎意料的結(jié)論)；深刻的數(shù)學 (比如一個明顯非平凡的結(jié)果， 比如理解一個無法用更初等的方法接近的微妙現(xiàn)象)；直觀的數(shù)學 (比如一個自然的、 容易形象化的論證)；明確的數(shù)學 (比如對某一類型的所有客體的分類； 對一個數(shù)學課題的結(jié)論)；其它。如上所述， 數(shù)學品質(zhì)這一概念是一個高維的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在顯而易見的標準排序注二。 我相信這是由于數(shù)學本身就是復雜和高維的， 并且會以一種自我調(diào)整及難以預料的方式而演化； 上述每種品質(zhì)都代表了我們作為一個群體增進對數(shù)學的理解及運用的不同方式。 至于上述品質(zhì)的相對重要性或權(quán)重， 看來并無普遍的共識。 這部分地是由于技術(shù)