高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案 時(shí)間： 2016/3/18 注意：本試卷均為解答題. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.總分150分,考試時(shí)間120分鐘. 1. （本小題滿分15分） 設(shè)集合，（1）若求的值； （2）若,求的取值范圍； （3）若,求的取值范圍.2.（本小題滿分15分）設(shè)（1） 求證：（2） 為單調(diào)函數(shù)時(shí)，是否有？請(qǐng)說(shuō)明理由.3（本小題滿分15分）已知函數(shù)在有最大值5，求實(shí)數(shù)的值4（本小題滿分15分） 已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)且在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0，(1)試判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性；(2)試求方程f(x)0在閉區(qū)間2

2、 011,2 011上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論5（本小題滿分15分）已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和. （1）如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：；（2）如果，求的取值范圍.6（本小題滿分15分）如圖，直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，。（1） 證明：；（2） 求二面角的大小。7（本小題滿分15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù) f(x)x22xb(x R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論8（本小題滿分20分） 設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x1,x

3、20，都有且f（1）=a0 （） （）證明是周期函數(shù)； （）記求9（本小題滿分20分）設(shè)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）若，求的解析式；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若的值域?yàn)?，求的取值范?高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案1、解： （1） 即，解得 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上（2） 當(dāng)時(shí)，則該一元二次方程無(wú)解，即<0，即 當(dāng)時(shí)，則該一元二次方程有解，即0，即1. 當(dāng)時(shí)， 2. 當(dāng)時(shí)，該一元二次方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根1和2 ，即 ，即 （舍） ,綜上（3） 當(dāng)<0時(shí)，即，滿足要求 當(dāng)=0時(shí)，即，舍 當(dāng)>0時(shí)，即，所以只需將1代入方程中得;將2代入方程中得所以綜上，的取值范圍

4、為2、3、解： 令，則，從而令，由題意知在有最大值5.當(dāng)時(shí)，在時(shí)有最大值5，故符合條件； 當(dāng)時(shí)，矛盾！當(dāng)時(shí)，矛盾！綜上所述，所求的實(shí)數(shù) 4、解(1)若yf(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(2(x2)f(2(x2)f(4x)f(x)，f(7)f(3)0，這與f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是偶函數(shù)若yf(x)為奇函數(shù)，則f(0)f(0)f(0)，f(0)0，這些f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是奇函數(shù)綜上可知：函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)，f(x)f7(x7)f(7(x7)

5、f(14x)，f(14x)f(4x)，即f10(x4)f(4x)f(x10)f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為10.又f(1)f(3)0，f(1)f(110n)0(nZ)，f(3)f(310n)0(nZ)，即x110n和x310n(nZ)均是方程f(x)0的根由2 011110n2 011及nZ可得n0，±1，±2，±3，±201，共403個(gè)；由2 011310n2 011及nZ可得n0，±1，±2，±3，±200，201，共402個(gè)；所以方程f(x)0在閉區(qū)間2 011,2 011上的根共有805個(gè)5、解：設(shè)，則的

6、二根為和.（1）由及，可得 ，即，即 兩式相加得，所以，;（2）由, 可得 .又，所以同號(hào). ，等價(jià)于或,即 或解之得 或.6、【解析】（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接 ，面面面 得：點(diǎn)與點(diǎn)重合 且是二面角的平面角 設(shè)，則， 既二面角的大小為7、【解答】 (1)令x0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b)；令f(x)x22xb0，由題意b0且0，解得b1且b0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2y2DxEyF0.令y0得x2DxF0，這與x22xb0是同一個(gè)方程，故D2，F(xiàn)b.令x0得y2Eyb0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出Eb1.所以圓C的方程為x2y22x(b1)yb0. (3)圓C必過(guò)定點(diǎn)，證明如下：假設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)(x0，y0不依賴于b)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，并變形為xy2x0y0b(1y0)0.(*)為使(*)式對(duì)所有滿足b<1(b0)的b都成立，必須有1y00，結(jié)合(*)式得xy2x