橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析教材選自人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-1.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程是繼學(xué)習(xí)圓以后運(yùn)用“曲線與方程”思想解決二次曲線問題的又一實(shí)例。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是圓錐曲線方程研究的基礎(chǔ)，它的學(xué)習(xí)方法對(duì)整個(gè)這一章具有導(dǎo)向和引領(lǐng)作用。一方面，它是對(duì)前面所學(xué)的運(yùn)用“代數(shù)方法研究幾何問題”的又一次實(shí)際演練，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)和雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)；另一方面，教科書以橢圓作為學(xué)習(xí)圓錐曲線的開始和重點(diǎn)，并依此來介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，為我們后面研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和方法。因此本節(jié)課有承前啟后的作

2、用，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容。橢圓是通過描述橢圓形成過程進(jìn)行定義的，作為橢圓本質(zhì)屬性的揭示和橢圓方程建立的基石，這是本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)；而坐標(biāo)法是解析幾何中的重要數(shù)學(xué)方法，橢圓方程的推導(dǎo)是利用坐標(biāo)法求曲線方程的很好應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓概念形成的數(shù)學(xué)化過程，并通過探究得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象概括的能力。學(xué)生對(duì)“曲線與方程”的內(nèi)在聯(lián)系僅在“圓的方程”一節(jié)中有過一次感性認(rèn)識(shí)，并未真正有所感受。通過本節(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生一方面認(rèn)識(shí)到橢圓與圓的區(qū)別與聯(lián)系，另一方面也為利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)以及為學(xué)生類比橢圓的研究過程和方法，學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線奠定了基礎(chǔ)。根據(jù)以上分析，確定本課

3、時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)和教學(xué)重點(diǎn)分別是：教學(xué)重點(diǎn)：掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，體會(huì)坐標(biāo)法的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：橢圓概念的深入理解及選擇不同的坐標(biāo)系推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。二、學(xué)生學(xué)情分析在學(xué)習(xí)本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，對(duì)曲線和方程的思想方法有了一些了解和運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)坐標(biāo)法研究幾何問題也有了初步的認(rèn)識(shí)。因此，學(xué)生已經(jīng)具備探究有關(guān)點(diǎn)的軌跡問題的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力。而本節(jié)課要求學(xué)生通過自己動(dòng)手親自作出橢圓并且還要利用曲線方程的知識(shí)推導(dǎo)出方程，與前面學(xué)生熟悉的圓相比，對(duì)學(xué)生的抽象、分析、實(shí)踐的能力要求比較高，可能困難要大一點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難是：學(xué)生動(dòng)手作圖慢；用尺規(guī)作圖的思路可能出現(xiàn)障礙；

4、受教材的影響，學(xué)生選擇坐標(biāo)系的思維可能受到限制；方程的化簡也是一個(gè)難點(diǎn)。三、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)課的要求以及對(duì)教材和學(xué)生情況的分析，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)確定為:1、感受建立曲線方程的基本過程，使學(xué)生理解橢圓的定義。即通過學(xué)生動(dòng)手用圖釘、細(xì)繩畫橢圓，能用自己的語言敘述出什么是橢圓，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生利用直尺、圓規(guī)作出橢圓，用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法從不同角度加深對(duì)橢圓的理解。2、體會(huì)坐標(biāo)法的應(yīng)用，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程。即要讓學(xué)生自己選擇坐標(biāo)系，根據(jù)對(duì)橢圓概念的不同理解，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ茖?dǎo)橢圓的方程，在這些活動(dòng)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)一步感受曲線與議程的內(nèi)在聯(lián)系。3、培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力、合作意

5、識(shí)和分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力。即通過對(duì)同一概念從不同角度的理解，坐標(biāo)系的不同選擇，用不同的方法得到不同的方程，通過比較，體會(huì)曲線方程的不確定性及其標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)稱和諧美。四、教學(xué)方法：探究式教學(xué)法。即教師通過問題誘導(dǎo)啟發(fā)討論探索結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察歸納抽象總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，能夠掌握方法、提升能力五、教具準(zhǔn)備：多媒體課件和自制教具：繪圖板、圖釘、細(xì)繩六、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入概念1、“嫦娥一號(hào)”是我國的首顆繞月人造衛(wèi)星。以中國古代神話人物嫦娥命名，已于2007年10月24日18時(shí)05分左右在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心升空，在快要到達(dá)月球時(shí)，依靠控制火箭的反向助推

6、減速。在被月球引力“俘獲”后，成為環(huán)月球衛(wèi)星，繞月球飛行。請(qǐng)問“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星的繞月運(yùn)行軌道是什么？學(xué)生根據(jù)自己平時(shí)的積累，可能會(huì)回答圓或橢圓?！驹O(shè)計(jì)意圖】：展示“嫦娥一號(hào)”繞月球運(yùn)行的軌道圖片，指出衛(wèi)星進(jìn)入太空后，以橢圓形軌道繞月運(yùn)行后又以極月圓軌道繞月球飛行。由于實(shí)際的結(jié)果與學(xué)生已有的認(rèn)知產(chǎn)生了沖突，從而激發(fā)了學(xué)生的興趣和探索欲望。2、用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面上，截面為圓形當(dāng)端起水杯喝水時(shí)，水杯傾斜，再觀察水平面，此時(shí)截面為橢圓形聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形？回憶：1、圓是怎么畫出來的？2、圓的定義是什么？3、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式？（圓是到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，根據(jù)

7、圓的定義，用一根細(xì)繩就可畫出一個(gè)圓將細(xì)繩的一貫固定在黑板上，在另一端系上一支粉筆，將細(xì)繩繃緊并繞固定端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周即可）猜想：1、橢圓是怎么畫出來的？2、橢圓的定義是什么？3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么形式？提出：將圓心從一點(diǎn)“分裂”成兩點(diǎn)，將細(xì)繩的兩端固定在這兩點(diǎn)，用粉筆挑起細(xì)繩并繃緊，移動(dòng)粉筆，可畫出什么圖形？【設(shè)計(jì)意圖】：從生活實(shí)際出發(fā)，從而激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望。用類比的思想，通過已經(jīng)學(xué)過的圓的知識(shí)猜想橢圓，開展后續(xù)教學(xué)。（二）實(shí)驗(yàn)探究，形成概念1學(xué)生分組，合作探究，教師巡視指導(dǎo)通過動(dòng)手實(shí)踐、觀察，猜想軌跡為橢圓（每四人一組，在預(yù)先準(zhǔn)備好的繪圖板上，用圖釘固定細(xì)繩兩端，用鉛筆挑起細(xì)繩并繃緊，

8、移動(dòng)鉛筆，觀察畫出的圖形）2展示學(xué)生成果。請(qǐng)學(xué)生代表本小組交流探究結(jié)論：根據(jù)橢圓畫法，從中歸納橢圓定義與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長（繩長）的點(diǎn)的軌跡為橢圓（繩長大于兩定點(diǎn)間距離）3幾何畫板動(dòng)態(tài)演示動(dòng)點(diǎn)生成軌跡的全過程，印證猜想【設(shè)計(jì)意圖】：給學(xué)生提供一個(gè)動(dòng)手操作，合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)；通過實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生去探究“滿足什么樣的條件下的點(diǎn)的集合為橢圓”；讓每個(gè)人都動(dòng)手畫圖，自己思考問題，由此培養(yǎng)學(xué)生的自信心。4橢圓定義的完善（1）提出問題：要想用上面那句話作為橢圓的定義，要保證它足夠嚴(yán)密、經(jīng)得起推敲那么，這個(gè)常數(shù)可以是任意正實(shí)數(shù)嗎？有什么限制條件嗎？引導(dǎo)學(xué)生回答：在“定義”中需要加上“常數(shù)大于”的限制。（2）深

9、化問題：若常數(shù)等于或常數(shù)小于,情況會(huì)發(fā)生什么變化？應(yīng)用平面幾何中的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“兩點(diǎn)之間線段最短”為理論依據(jù)，得出結(jié)論：當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡不存在【設(shè)計(jì)意圖】：使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對(duì)橢圓本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)5、概括橢圓定義請(qǐng)學(xué)生給出經(jīng)過修改的橢圓定義：定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。教師指出：這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。思考：焦點(diǎn)為的橢圓上任一點(diǎn)M，有什么性質(zhì)？令橢圓上任一

10、點(diǎn)M，則有，補(bǔ)充：若時(shí)，軌跡是線段；若時(shí)，無軌跡?！驹O(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生通過反思畫圖過程，歸納定義，學(xué)習(xí)定義，為后面分析橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程做下鋪墊；比較深入地理解橢圓定義的條件。（三）研討探究，推導(dǎo)方程問題：請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出焦點(diǎn)是，焦距是，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離之和是的橢圓中的方程。請(qǐng)先說出解決這個(gè)問題的方案，討論之后再進(jìn)行解決?；顒?dòng)方式：學(xué)生先獨(dú)立思考，之后全班交流，確定最后的解決方案，然后分工合作，共同完成，之后再交流。【設(shè)計(jì)意圖】：通過坐標(biāo)系的不同選擇，用不同的方法得到不同的方程，通過比較體會(huì)曲線的方程的不確定性，理解曲線與方程的關(guān)系，感受恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系的優(yōu)越性，感受標(biāo)準(zhǔn)方程的簡潔、對(duì)稱、和

11、諧之美，并在實(shí)踐中通過對(duì)比提高決策能力、計(jì)算能力、培養(yǎng)學(xué)生簡約的思維能力。預(yù)設(shè)的解決方案：方案1：如圖1建立坐標(biāo)系，得到方程方案2：如圖2建立坐標(biāo)系，得到方程方案3：如圖3建立坐標(biāo)系，得到方程方案4：如圖4建立坐標(biāo)系，得到方程方案5：如圖5建立坐標(biāo)系，以下是方案1的過程（其它方案的過程略）：以過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則（稱此式為幾何條件）， 得（實(shí)現(xiàn)集合條件代數(shù)化），（想一想：下面怎樣化簡？）（）教師為突破難點(diǎn)，進(jìn)行引導(dǎo)設(shè)問：我們?cè)趺椿啂Ц降氖阶樱繉?duì)于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢？化簡，得（2）的引入由橢圓的定義可知，,讓點(diǎn)運(yùn)

12、動(dòng)到軸正半軸上（如圖2），由學(xué)生觀察圖形直觀獲得，的幾何意義，進(jìn)而自然引進(jìn)，此時(shí)設(shè)，于是得， 兩邊同時(shí)除以，得到方程：（注意：兩次平方時(shí)的等價(jià)性，可以根據(jù)學(xué)生的具體情況選擇加以證明，或者不加證明的指出。）板書：方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在軸上，其坐標(biāo)是，其中。（把學(xué)生推導(dǎo)橢圓方程的具有代表性的方法，在實(shí)物展臺(tái)上投影。）問題：通過對(duì)比學(xué)生求出橢圓各種形式的方程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？哪一種方程最簡潔？活動(dòng)形式：學(xué)生思考后主動(dòng)發(fā)言回答?！驹O(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生通過對(duì)比及感性認(rèn)識(shí)，總結(jié)歸納出橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：（1）焦點(diǎn)在軸（以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系）上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）

13、焦點(diǎn)在軸（以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系）上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（四）歸納概括，方程特征1、觀察橢圓圖形及其標(biāo)準(zhǔn)方程，師生共同總結(jié)歸納（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)的橢圓中心在原點(diǎn)，以焦點(diǎn)所在軸為坐標(biāo)軸；（2）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1；（3）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a,b,c關(guān)系：；2、在歸納總結(jié)的基礎(chǔ)上，填下表【設(shè)計(jì)意圖】：把兩種類型的橢圓方程推導(dǎo)出來，那這兩類方程有什么相同點(diǎn)，有什么不同點(diǎn)呢？先讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，找出性質(zhì)，再列出表格讓學(xué)生填空。這樣通過表格的對(duì)比可以對(duì)知識(shí)深化理解。（五）例題研討，變式精析例1：判斷分別滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是否為橢圓

14、（1）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；（是）（2）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡；（不是）（3）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；（是）（4）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡；（不是）【設(shè)計(jì)意圖】：鞏固橢圓定義例2、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于10.變式一：將上題焦點(diǎn)改為、，結(jié)果如何？變式二：將上題改為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為8，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和等于10，結(jié)果如何？（學(xué)生直接搶答）【設(shè)計(jì)意圖】：1、根據(jù)不同條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（定義或待定系數(shù)）；2、提醒學(xué)生在解題時(shí)先要根據(jù)焦點(diǎn)位置判斷使用哪種形式的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.例3、寫出適合

15、下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，并且經(jīng)過點(diǎn)P活動(dòng)形式：學(xué)生獨(dú)立思考完成教師巡視，投影學(xué)生答案學(xué)生討論總結(jié)解題思路1：先根據(jù)已知條件設(shè)出焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)代入此方程，并結(jié)合、間的關(guān)系求出、的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【設(shè)計(jì)意圖】：學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解題思路2：利用橢圓定義（橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)2）求出值，再結(jié)合已知條件和、間的關(guān)系求出的值，進(jìn)而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程【設(shè)計(jì)意圖】：使學(xué)生體會(huì)橢圓定義在解題中的重要作用.（六）小結(jié)歸納，提高認(rèn)識(shí)最后進(jìn)行課堂小結(jié)，先由學(xué)生小組討論，再個(gè)別提問，然后集體補(bǔ)充，最后教師才引導(dǎo)和完善。

16、師生應(yīng)共同歸納本節(jié)所學(xué)內(nèi)容、知識(shí)規(guī)律以及所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法。定義橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0), F2(-c,0)F1(0,c), F2(0,-c)的關(guān)系【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生總結(jié)出在知識(shí)、數(shù)學(xué)思想等方面的收獲【設(shè)計(jì)意圖】擺脫傳統(tǒng)教學(xué)中教師小結(jié)的做法，以表格形式出現(xiàn)，讓學(xué)生自己總結(jié)，加深對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的認(rèn)識(shí)（七）作業(yè)訓(xùn)練，鞏固提高1、課本作業(yè)；2、你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點(diǎn)嗎？作圖的依據(jù)是什么？根據(jù)你的作圖方法，能找到與之相應(yīng)的方法求出橢圓方法嗎？活動(dòng)方式：留作課后自主或交流完成?！驹O(shè)計(jì)意圖】：鞏固橢圓標(biāo)準(zhǔn)方

17、程的相關(guān)知識(shí)。按照能力來選擇作業(yè)也體現(xiàn)了分層教學(xué)的思想，還可以激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)自己的能力，激發(fā)興趣。（八）板書設(shè)計(jì)根據(jù)課堂教學(xué)要求，板書設(shè)計(jì)如下。七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明本節(jié)課以問題為紐帶，以探究活動(dòng)為載體，學(xué)生在自覺進(jìn)入問題情境后，在問題的指引下和老師的指導(dǎo)下，通過實(shí)踐、探索、體驗(yàn)、反思等活動(dòng)把探究活動(dòng)層層展開、步步深入，親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程。使學(xué)生在知識(shí)的形成過程中，獲得數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn)，享受到成功的樂趣，同時(shí)在思想方法運(yùn)用、思維能力等方面得到提高和發(fā)展。課堂進(jìn)行中通過實(shí)際操作、多媒體課件演示等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生讓學(xué)生在生生互動(dòng)、師生互動(dòng)中把學(xué)生的學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，希望對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想的建立心理品質(zhì)的優(yōu)化起到良好的作用。本節(jié)課學(xué)生活動(dòng)較