橢圓中三角形

1、橢圓中三角形(四邊形)面積最值求解策略最值問(wèn)題是一種典型的能力考查題，能有效地考查學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能，能綜合考察學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了高考在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題的思想，是高考的熱點(diǎn)，本文舉列探求橢圓中三角形(四邊形)面積最值問(wèn)題的求解策略一 利用橢圓的幾何性質(zhì)(對(duì)稱(chēng)性、取值范圍等) 例1 已知橢圓的右焦點(diǎn)是F（c,0），過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，求三角形ABF面積的最大值。分析:將三角形ABF的面積分割成兩個(gè)三角形的面積之和，并表示成關(guān)于點(diǎn)A的坐標(biāo)的函數(shù)，然后利用橢圓的取值范圍求解解析:因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)A（x0,y0）(

2、y0>0), 設(shè)三角形ABF的面積為S，則S=SAOF+ SBOF=2SAOF=cy0,0<y0b, S=cy0bc.所以三角形ABF面積的最大值是bc。點(diǎn)評(píng): 將三角形ABF的面積表示成關(guān)于點(diǎn)A的坐標(biāo)（x0,y0）y0的一元一次函數(shù)，再利用橢圓的取值范圍求最大值，是本題的解題技巧，若將三角形ABF的面積表示成關(guān)于直線(xiàn)斜率的函數(shù)，則運(yùn)算量要大許多。二 利用基本不等式或參數(shù)方程 例2 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(2，0)，C(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線(xiàn)y=kx(k>0)與橢圓相交于B,D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值 分析:將四邊形ABCD的面積分割成幾個(gè)三角形的面積之和

3、，并表示成關(guān)于k或者點(diǎn)B的坐標(biāo)的函數(shù)，再求函數(shù)的最大值。解析:因?yàn)辄c(diǎn)A(2，0)，C(0,1)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，所以橢圓的方程是，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)B,D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)B（x0,y0）(x0>0),則，即。設(shè)四邊形ABCD的面積為S，則S=SABD+ SBCD=2SAOB+2SCOB=|0A|×y0+|0C|x0=2y0+x0.法一:可設(shè)x0=2cos,y0=sin,S=2y0+x0=2sin+2cos=2sin(+450)2,當(dāng)且僅當(dāng)=450時(shí)取等號(hào)。故四邊形ABCD面積的最大值是2。法二: S=2y0+x0=2，當(dāng)且僅當(dāng)2y0=x0=時(shí)取等號(hào)。故四邊形ABCD面積的最

4、大值是2。點(diǎn)評(píng): 將四邊形ABCD的面積表示成關(guān)于點(diǎn)B的坐標(biāo)（x0,y0）的二元函數(shù)，再利用基本不等式或參數(shù)求最大值，是本題的解題技巧，若將四邊形ABCD的面積表示成關(guān)于k的函數(shù)，則運(yùn)算量要大許多。三 巧設(shè)直線(xiàn)方程，簡(jiǎn)化運(yùn)算 例3 已知橢圓C: ，若經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2作直線(xiàn)交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求面積的最大值。分析: 直線(xiàn)過(guò)x軸上的一點(diǎn)，故可設(shè)直線(xiàn)方程為可簡(jiǎn)化討論和運(yùn)算，不會(huì)出錯(cuò)，認(rèn)真領(lǐng)會(huì)。解 :設(shè)直線(xiàn)AB的方程為把代入得顯然設(shè)A，B則又因?yàn)椋?48令則由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以故即故面積的最大值等于3.點(diǎn)評(píng):解析幾何的最值求解離不開(kāi)目標(biāo)函數(shù)的建立，因目標(biāo)函數(shù)引入變量的背景不同，求法也不同，具體

5、求最值可用到配方法，不等式法，換元法等。四 構(gòu)造關(guān)于k的函數(shù)求最值 例4 過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)E,F，求OEF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值.分析:將OEF的面積分割成兩個(gè)三角形的面積之差，并表示成關(guān)于k的函數(shù)，然后利用換元法、配方法求最大值。解析:顯然直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為:y=k(x-3)(k0)代入消去y整理得(k2+3)x2-6k2x+9k2-3=0,36k4-4(k2+3) (9k2-3)>0,得0<k2<.而SOEF=|SOPE-SOPF|=|y1-y2|=×|k|×|x1-x2|=|k|=3令k2=t,則，SOEF

6、=3再令t+3=m, SOEF=3,m(3,3),配方易求得t=時(shí)，OEF面積的最大值為。點(diǎn)評(píng):利用面積分割，簡(jiǎn)化運(yùn)算，注意>0是直線(xiàn)與橢圓相交于不同兩點(diǎn)的充要條件，任何時(shí)候不能忘，求k取值范圍不能忽視。五 構(gòu)造關(guān)于b的函數(shù)求最值 例5 已知橢圓，過(guò)橢圓上的點(diǎn)P(1,)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)PA，PB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)。（1）求證直線(xiàn)AB的斜率為定值（2）求面積的最大值。分析:利用(1)結(jié)論以b為變量構(gòu)造函數(shù)，用弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線(xiàn)距離求面積。解析:（1）略（2）由(1)可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為:y=x+b代入得4x2+2bx+b2-4=0,b2<8. 設(shè)A，B, AB|=,點(diǎn)P到直線(xiàn)A

7、B的距離d=,=,當(dāng)且僅當(dāng)b=±2時(shí)取等號(hào),所以面積的最大值是。點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，三角形面積求法等知識(shí)，六 利用垂直關(guān)系求四邊形面積最值 例6 P,Q,M,N四點(diǎn)都在橢圓上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，已知=，=，且=0，求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值。分析:利用垂直關(guān)系建立面積關(guān)于k的函數(shù)，然后運(yùn)用單調(diào)性求最值解析:由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0，1)，且PQMN,直線(xiàn)PQ,MN中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為k，又PQ過(guò)點(diǎn)F(0，1)，故PQ方程為y=kx+1.代入橢圓中得(2+k2)x2+2kx-1

8、=0, 設(shè)P，Q則|PQ|=當(dāng)k0時(shí)，MN的斜率為-，用-代換k可推得|MN|=，故四邊形面積S=|PQ|MN|=，令u=k2+,得S=，因?yàn)閡=k2+2，當(dāng)k=±1時(shí)，u=2,S=且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù)，所以S<2，當(dāng)k=0時(shí)，MN為橢圓長(zhǎng)軸，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ|MN|=2，綜合知，四邊形PMQN面積的最大值為2，最小值為。點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了向量共線(xiàn)、垂直，弦長(zhǎng)求法，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，四邊形面積，函數(shù)最值求法等知識(shí)。分類(lèi)討論思想及綜合運(yùn)用知識(shí)解題能力。7，已知拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F且不平行于x軸的動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)在A

9、,B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)M。(1)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；(2)設(shè)直線(xiàn)MF交該拋物線(xiàn)于C,D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值。解析:(1)由已知，得F（0，1），顯然直線(xiàn)AB的斜率存在且不為0，則可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1(k0), A，B,由，消去y，得x2-4kx-4=0,顯然=16k2+16>0.x1+x2=4k, x1x2=-4,由x2=4y，得y=x2, =x, 直線(xiàn)AM的斜率為kAM=x1. 直線(xiàn)AM的方程為y-y1=x1(x-x1),又x12=4y1, 直線(xiàn)AM的方程為x1x=2(y+y1)同理，直線(xiàn)BM的方程為x2x=2(y+y2)由-并據(jù)x1x2，得，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=( x1+x2).即A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。（2）由易得y=-1, 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,-1) (k0)