春季學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教必修五正弦定理集體備課教案

1、正弦定理集體備課教案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理，并能解決一些簡單的度量問題及三角形形狀和解的個(gè)數(shù)的判斷.2.從學(xué)過的知識出發(fā)，探究任意三角形中邊與其對角的關(guān)系，并通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，從而培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.3.在學(xué)習(xí)中體會轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類討論思想及由特殊到一般的思維方法.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù).二、課前預(yù)習(xí)1在ABC中，ABC，.2在RtABC中，C，則sin_A，sin_B.3一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b

2、，c叫做三角形的元素已知三角形的幾個(gè)元素求其它元素的過程叫做解三角形4正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即，這個(gè)比值是三角形外接圓的直徑2R.5、在中，則 答案：解：由正弦定理，得，即，.三、導(dǎo)入課題 想一想：如圖，在RtABC中，A30，斜邊c2.ABC的其它邊和角為多少？學(xué)生：B60，C90，a1，b.算一算：試計(jì)算，的值，三者有何關(guān)系？學(xué)生：2，2，2，三者的值相等議一議：對于任意的直角三角形是否也有類似的結(jié)論？學(xué)生：是理由如下：如圖sin A，c.sin B，c.sin C1，.議一議：在鈍角ABC中，BC30，b，試求其它邊和角學(xué)生：如圖，ACD為直角三角形，C

3、30，AC，則AD，CD，BC3.AB，BAC120.教師：正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.即.議一議：如圖，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動.C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大. 能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ 四、解疑與探究教師：在RtABC中，C為直角，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又, 則. 從而在直角三角形ABC中，.想一想：那么對于鈍角三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？議一議：如圖，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)C為鈍角，作邊AB

4、上的高CD，則有CD=，故.作邊BC上的高AE，則有AE=csinB=bsin(180-ACB)=bsinACB，故可得.從而在鈍角三角形ABC中，.想一想：那么對于銳角三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)同理可得.（參看教材第2頁）思考：是否可以用其他方法證明這一等式？由于涉及邊與角關(guān)系問題，從而考慮用向量來研究這個(gè)問題。對正弦定理的理解(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系(4)主要功能

5、：正弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化范例講解一已知三角形任意兩角和一邊解三角形例1. 若中，則_解析：由題意得由正弦定理得，則，評注：求解這類問題時(shí)，畫出草圖，在圖形中標(biāo)出已知的邊與角，選準(zhǔn)運(yùn)用正弦定理的等式.點(diǎn)評：已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路(1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角(2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊注意：若已知角不是特殊角時(shí)，往往先求出其正弦值(這時(shí)應(yīng)注意角的拆并，即將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如754530)，再根據(jù)上述思路求解二.已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形例2. 在ABC中，若c，C，a2，求A，B，b.解析：由，得sin

6、A.A或A.又ca，CA，只能取A，B，b1. 點(diǎn)評：已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值(2)如果已知的角為大邊所對的角時(shí)，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一(3)如果已知的角為小邊所對的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論三利用正弦定理判斷三角形的形狀例3.在ABC中，sin2 Asin2 Bsin2 C，且sin A2sin Bcos C試判斷ABC的形狀解析：由正弦定理，得sin A，sin B，sin C.sin2 Asin2 Bsin2 C，即

7、a2b2c2，故A90.C90B，cos Csin B.2sin Bcos C2sin2 Bsin A1.sin B.B45或B135(AB225180，故舍去)ABC是等腰直角三角形點(diǎn)評：判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關(guān)系入手，也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別五、反思與小結(jié)1.正弦定理的常用變形： （1），；（2）； （3），.2.正弦定理的應(yīng)

8、用范圍：已知兩角和任一邊，求其他兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角.3.解的判斷要把握三角形中大邊對大角，小邊對小角的關(guān)系.已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其它兩個(gè)角，這時(shí)三角形解的情況比較復(fù)雜，可能無解，可能一解或兩解例如：已知a、b和A，用正弦定理求B時(shí)的各種情況.三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解六、課堂反饋一選擇題1.在ABC中，a3，b5，sin A，則sin B( )A. B. C. D1B解：在ABC中，由正弦定理，得sin B.2.在ABC中，若a18，b24，A45，則此三角形( )A無解 B有兩解C有一解 D解的個(gè)數(shù)不確定B解：，sin B sin Asin 45，sin B.又ab，B有兩個(gè)3、在銳角中，則的取值范圍為 .解: 由正弦定理得，由銳角得，又，則，故.4、在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的值為_解：由正弦定理得，即(cos A3cos C)sin B(3sin Csin A)cos B，化簡可得，sin(AB)3sin(BC)，又知ABC，sin C3sin A，因此3.七、創(chuàng)新與思考同學(xué)們在對正弦定理的探索與研究中得到=