永磁直流電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

1、永磁直流電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì) Nady Boules(通用研究實(shí)驗(yàn)室, 沃倫 ，邁阿密,) 摘要 提出適用于永磁直流電機(jī)的設(shè)計(jì)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。這種模型，結(jié)合電機(jī)的電磁特性和物理變量，可用于計(jì)算電機(jī)的電樞反應(yīng)參數(shù)、電刷壓降特性和鐵心的磁性飽和參數(shù)。本文提出各種變量的轉(zhuǎn)換方法，使模型可廣發(fā)的適用對(duì)各種不同型號(hào)的永磁直流電機(jī)。在計(jì)算機(jī)程序嵌入該模型后，程序能夠有系統(tǒng)地確定電機(jī)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)。 本文介紹了這種最優(yōu)化方法和計(jì)算機(jī)程序的邏輯結(jié)構(gòu)。列舉了一個(gè)例子來(lái)論證這個(gè)程序能夠用于優(yōu)化電機(jī)的設(shè)計(jì)。1 緒論 在今天科學(xué)的快速發(fā)展更換中，通過(guò)大容量和高速性的現(xiàn)代計(jì)算機(jī)使最優(yōu)化技術(shù)在工程運(yùn)用中作為一個(gè)重要的手段。最

2、優(yōu)化技術(shù)廣發(fā)的運(yùn)用在許多工程部分和系統(tǒng)中，尤其近來(lái)被運(yùn)用到電機(jī)的設(shè)計(jì)方面1-7。在許多商業(yè)應(yīng)用中，永磁直流電機(jī)發(fā)揮巨大的作用。在今天激烈競(jìng)爭(zhēng)的時(shí)代，遇到一個(gè)給定操作要求和約束的條件下，有能力去選擇一個(gè)理想的參數(shù)設(shè)計(jì)對(duì)這類永磁直流電機(jī)來(lái)說(shuō)是非常重要的。本文介紹了一種合適此類電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。這種方法取代了電機(jī)的一些參變量，比如電樞直徑，導(dǎo)體數(shù)，其他規(guī)格化量后的導(dǎo)體區(qū)域。規(guī)格化量后的初始變量可以很容易用于不同等級(jí)的電機(jī)中。本文通過(guò)揭漏和解釋設(shè)計(jì)變量的函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)），比如電機(jī)的重量，體積，效率作為一個(gè)函數(shù)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型表達(dá)這個(gè)函數(shù)的最優(yōu)化特性。這個(gè)模型運(yùn)用二維磁場(chǎng)分析法來(lái)獲得一個(gè)精確的磁路閉

3、環(huán)解決方法8。在給定電機(jī)的要求和設(shè)計(jì)約束后，這個(gè)模型嵌入到計(jì)算機(jī)程序中合并一起做為優(yōu)化的手段來(lái)有效的找到電機(jī)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)。介紹了最優(yōu)化技術(shù)和程序的邏輯結(jié)構(gòu)。通過(guò)一個(gè)例子，以電機(jī)的空間和熱量為約束，比較優(yōu)化前后現(xiàn)有電機(jī)的最大效率，可以論證這個(gè)程序的有效性。2 最優(yōu)化問(wèn)題公式表達(dá)對(duì)于任何設(shè)計(jì)問(wèn)題，幾個(gè)可能的對(duì)比設(shè)計(jì)都必須要有，以滿足設(shè)計(jì)場(chǎng)合中不同的要求和設(shè)計(jì)約束。這些設(shè)計(jì)可以叫做可行性設(shè)計(jì)或者可接受性設(shè)計(jì)。最優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種可接受性設(shè)計(jì)，在某種意義上它必須是最好的。它們可以是以最小的重量，尺寸，成本，最大的效率，或者前面這些的整體融合為一起做為優(yōu)化目標(biāo)。由于當(dāng)描述電機(jī)的性能和約束的函數(shù)有非線性和

4、不可微分性，最優(yōu)化問(wèn)題的公式構(gòu)成做為非線性，非梯度來(lái)約束最小化問(wèn)題。這樣公式可以規(guī)定如下。從開(kāi)始，尋找設(shè)計(jì)變量： -最小化 (1)服從約束： ， i =0,1,2,3 (2)此處：為設(shè)計(jì)優(yōu)化矢量，里面的元素為設(shè)計(jì)優(yōu)化參量； 為初始值的設(shè)計(jì)矢量；為目標(biāo)函數(shù)，描述優(yōu)化設(shè)計(jì)的品質(zhì)特性；為約束函數(shù)，描述設(shè)計(jì)的限制條件。 當(dāng)做為優(yōu)化問(wèn)題，程序會(huì)尋找出上述電機(jī)設(shè)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)最優(yōu)解須包括兩個(gè)幾基本步驟。(1)在這些設(shè)計(jì)變量的術(shù)語(yǔ)中建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型描述電機(jī)的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)；(2)在遇到制定的要求和約束后，有效的運(yùn)用最優(yōu)化技術(shù)找出目標(biāo)函數(shù)的最小值。接下來(lái)的部分，運(yùn)用到永磁直流電機(jī)的步驟還需要討論。設(shè)計(jì)優(yōu)化的

5、約束函數(shù)，描述設(shè)計(jì)的限制條件。3 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型包含一些公式來(lái)描述電路和一些電機(jī)設(shè)計(jì)公式中的磁路。圖1 蓄電池-電動(dòng)機(jī)的等效電路圖Fig.1 Equivalent circuit of the motor-battery system.A 電氣電路 電動(dòng)機(jī)的電氣電路問(wèn)題一般用圖1的等效方程來(lái)表示，電動(dòng)機(jī)的電源（電池）通常由設(shè)計(jì)者指定了。因此，電路的電路電壓為，自身內(nèi)阻為，從電池連接到電動(dòng)機(jī)的導(dǎo)線內(nèi)阻為，在電池-電動(dòng)機(jī)等效模型當(dāng)中，這個(gè)是可以看作不變的參量。電動(dòng)機(jī)的描述包括反向電動(dòng)勢(shì)，電動(dòng)機(jī)內(nèi)阻，和通過(guò)電刷的壓降，可以集中的用一個(gè)等效方程來(lái)表示： (3) (4) 單獨(dú)的,電刷觸點(diǎn)的壓降跟許多因

6、素有關(guān)，比如電刷得材料，彈簧壓力，電刷通過(guò)的電流密度，換向邊緣速率，周?chē)墓ぷ鳝h(huán)境等等。在變量的運(yùn)用中，有這么多的影響因素，電刷的壓降特性近可能的用一個(gè)函數(shù)來(lái)表述這么多重要的影響因素，電刷的類型，名稱，電刷的電流密度由電刷的制造商給定9。這些非線性新因素構(gòu)成的壓降如圖2所示，通過(guò)附錄的公式條可以描述這個(gè)電機(jī)的模型。這個(gè)電池-電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的等效電路方程可以描述為： (5)圖2 電刷壓降特性Fig.2 Brush voltage contact dropB 磁場(chǎng)電路電機(jī)的反向電動(dòng)勢(shì)如(3)所示，對(duì)稱于總的有效磁感應(yīng)線穿過(guò)轉(zhuǎn)子和連接電樞繞組。此場(chǎng)電路的磁阻決定了這個(gè)磁感應(yīng)的大小。因?yàn)榈偷拇艑?dǎo)率，有缺口

7、場(chǎng)的機(jī)械當(dāng)中，電磁感應(yīng)線在磁體間不是徑向的穿過(guò)氣隙。本文分析二維磁場(chǎng)的分布情況，和用集成元法逼近去計(jì)算磁場(chǎng)電路有點(diǎn)不準(zhǔn)確。而運(yùn)用有限元法，雖然很精確，但是很耗費(fèi)時(shí)間，因此沒(méi)有一種很合適的方法來(lái)優(yōu)化這個(gè)結(jié)果。在文獻(xiàn)8中的作者基于二維磁場(chǎng)分析給出了一種封閉的剖面計(jì)算，提供了精度性和加速收斂的優(yōu)化方法。這個(gè)模型只用于分析磁鐵和氣隙間的區(qū)域，對(duì)比圖3和圖4，改變了氣隙長(zhǎng)度從到，計(jì)算齒槽效應(yīng)和飽和效應(yīng)。當(dāng)： (6)式中：是通常的卡特系數(shù)；是飽和系數(shù)，定義為總的電機(jī)磁動(dòng)勢(shì)除以空氣氣隙磁動(dòng)勢(shì)，總的電機(jī)磁動(dòng)勢(shì)包括整個(gè)磁電路磁動(dòng)勢(shì)和氣隙磁動(dòng)勢(shì)。 (7)式中:和都是磁動(dòng)勢(shì)需要磁力線分別的穿過(guò)磁路的鐵表面和氣隙部分

8、。圖3 四極永磁直流電機(jī)的截面Fig.3 Section in a four-pole permanent magnet dc motor圖4 電機(jī)磁路的分析模型Fig.4 Analytical model of the magnetic circuit圖5 氣隙磁密大概的波形分布空載、總的電樞Fig.5 Approximate flux density waveforms in the air gap -no load, - armature, -total.在圖5中，給出了空載運(yùn)行下電機(jī)的磁密波形分布的大致形狀，接近矩形分布。運(yùn)用文獻(xiàn)8提出的計(jì)算模型，提出在電樞表面空載狀態(tài)下磁密最大值的計(jì)

9、算表達(dá)式： (8)此處： (9)和 (10)在圖5給出的矩形磁密波形分布中，電樞所感應(yīng)出來(lái)的磁力線同樣給出說(shuō)明，并疊加在近似線性的電樞磁密分布上。因此，在永磁體下合成的磁密是，不在是恒定的，面向永磁體的齒槽效應(yīng)會(huì)帶來(lái)多樣的磁密總量。而集成元法逼近用于分析磁路，這些齒槽和其余的鐵片會(huì)帶來(lái)磁動(dòng)勢(shì)，必不可缺少的，和隨后而來(lái)的磁飽和率，知道，改變氣隙長(zhǎng)度，那么通過(guò)(6)、(8)式就可以計(jì)算。由于磁鐵感應(yīng)的非線性，這個(gè)計(jì)算需要一步步迭代獲得，文獻(xiàn)8有相關(guān)解釋。C. 性能等效方程式下列方程式是基于電機(jī)的電路，磁場(chǎng)，和幾何模型的相互聯(lián)系來(lái)描述電機(jī)的性能。電機(jī)的電磁功率是由(3)式電機(jī)的反向電動(dòng)勢(shì)所長(zhǎng)生的，而

10、電樞電流，是由(3)(5)所確定。例如： (11)繞組電流密度決定電樞繞組的熱負(fù)荷： (12)電流面密度： (13)電機(jī)軸上的輸出功率： (14)式中：為為鐵損耗；為摩擦損耗和繞組損耗。電機(jī)的輸入功率： (15)式中： = 銅損耗 = (16) = 碳刷壓降 = (17)電機(jī)的效率表達(dá)式： (18)除電機(jī)的性能之外，制定了目標(biāo)函數(shù)需要的評(píng)價(jià)電機(jī)體積和重量，可以容易地得到電機(jī)的實(shí)際尺寸。這些計(jì)算將不會(huì)給出了簡(jiǎn)明扼要。 D.設(shè)計(jì)變量與參數(shù)定量描述永磁直流電動(dòng)機(jī)1）用于電機(jī)的迭片結(jié)構(gòu)、定子框架、永磁鐵、碳刷等材料； 2）電機(jī)的結(jié)構(gòu)，比如電機(jī)的極對(duì)數(shù)、繞組的連接方式（疊繞組或者波繞組）；3）電機(jī)的幾何

11、構(gòu)造，其中包括轉(zhuǎn)子的迭片結(jié)構(gòu)，定子外形框架和永磁鐵，電樞繞組和換向器。  電機(jī)材料和外形構(gòu)造的選擇后，通常這些只有有限的變化，往往是決定某一特定的基礎(chǔ)上應(yīng)用的可用性，成本和以往的經(jīng)驗(yàn)。因此，這些數(shù)量被認(rèn)為是不變的，在設(shè)計(jì)優(yōu)化進(jìn)程，并將被稱為參數(shù)。應(yīng)該指出的是，這個(gè)問(wèn)題的公式表達(dá)式和優(yōu)化程序，通過(guò)重新分配他們新的定值和重復(fù)優(yōu)化過(guò)程后，使電機(jī)的結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行有界差分。這樣的結(jié)果計(jì)算可以減少許多變量，并有相當(dāng)簡(jiǎn)化的問(wèn)題。所有的優(yōu)化技術(shù)要求，提供一個(gè)初始值為設(shè)計(jì)變量（要素） 。體積和重量，這可以很容易地獲得汽車(chē)物理尺寸。這些計(jì)算將不會(huì)給出了簡(jiǎn)明扼要。由于一些設(shè)計(jì)變量，如電樞直徑，一些導(dǎo)線，并指

12、揮領(lǐng)域，不同的范圍廣泛，根據(jù)機(jī)器評(píng)級(jí)和外加電壓，有時(shí)很難猜出合理的初始值為這些變數(shù)。因此，在制定這一問(wèn)題，這些變數(shù)所取代其他形式的正?；跏贾悼梢院苋菀椎亟⑦m用于各種機(jī)器評(píng)級(jí)。詳細(xì)推導(dǎo)的轉(zhuǎn)變給出變量B部分附錄。因此，一套新的變數(shù)被定義為 (19)這些初始值： (20)代表一個(gè)合理的起點(diǎn)，不論電機(jī)的尺寸和電源電壓。對(duì)于每一個(gè)確定的變量，極間距是通過(guò)求解第六階多項(xiàng)式方程： (21)在多項(xiàng)式系數(shù)是函數(shù)變量載體所界定的(19)。該解決方案得到反復(fù)使用牛頓的方法。一旦眾所周知，電樞直徑可確定： (21)導(dǎo)體截面是通過(guò)結(jié)合(A8)和(A10)作為 (22)從(A8)可以得知導(dǎo)體總數(shù)： (23)所有其他機(jī)

13、器尺寸和客觀和約束功能現(xiàn)在可以得到的。E設(shè)計(jì)約束約束方程為，定義為式(2)，是可計(jì)算的表達(dá)式代表施加約束電機(jī)的設(shè)計(jì)。一些設(shè)計(jì)約束來(lái)自業(yè)績(jī)或行為的要求。例如，電池冷安培（共同國(guó)家評(píng)估）在汽車(chē)應(yīng)用樹(shù)立了一個(gè)上限手搖馬達(dá)電流。此外，退磁安培開(kāi)始輪流在設(shè)定的下限，以高度的磁鐵，以避免長(zhǎng)期消磁的磁鐵。該類型的保溫和運(yùn)作模式（連續(xù)或間歇）確定最大允許電流密度等其他制約因素，如最高機(jī)直徑或長(zhǎng)度，最低氣隙長(zhǎng)度，限制范圍的設(shè)計(jì)變量，由于空間，制造或經(jīng)濟(jì)上的考慮。4. 優(yōu)化BLEM的求解在一些非線性設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)里羅列出很多有用的技術(shù)方法，其中有系統(tǒng)地尋找目標(biāo)函數(shù)的最小值。非線性，不具有可微分性質(zhì)的函數(shù)來(lái)描述電機(jī)的性

14、能和約束，建議使用間接的方法約束優(yōu)化目標(biāo)，比如“順序無(wú)約束最極小化技術(shù)”(補(bǔ)償函數(shù)）10 。這些技術(shù)的使用使原始約束難題轉(zhuǎn)換成為一個(gè)無(wú)約束難題，這可以解決使用直接搜索方法只需要目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)值，而不是其他的衍生出來(lái)的問(wèn)題。SUMT的主要思想是增加一個(gè)目標(biāo)函數(shù)約束的術(shù)語(yǔ)，而由干擾約束的程度或消失來(lái)決定，如果約束函數(shù)得到滿足的話。因此，這一術(shù)語(yǔ)被稱為補(bǔ)償函數(shù)，有時(shí)被稱為“補(bǔ)償函數(shù)技術(shù)。 ”補(bǔ)償函數(shù)有序的以這樣一種方式：以連續(xù)無(wú)約束問(wèn)題的最優(yōu)解去逼近約束函數(shù)的最優(yōu)解。有許多的補(bǔ)償函數(shù)公式的制定，其中有所謂的“外部補(bǔ)償函數(shù)”可被挑選。在數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)角度來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)換化的無(wú)約束的問(wèn)題都可以表達(dá)如下。 從開(kāi)始，找

15、到設(shè)計(jì)的，比如： (25)此處：=懲罰無(wú)限制目標(biāo)函數(shù)= (26) for =0 for R為罰因子（積極參數(shù)）。圖6說(shuō)明這種方法背后的邏輯性。實(shí)線代表初始目標(biāo)函數(shù)，這是(在這種情況下)眾多車(chē)用起動(dòng)電機(jī)的設(shè)計(jì)參數(shù)(Em/Eb)中以電機(jī)的體積作為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的。而虛線代表電流密度函數(shù)，最大的約束電流密度為33A/mm2。很顯然，第1點(diǎn)是無(wú)約束的極小化體積量，極小化體積量滿足電流密度函數(shù)的約束應(yīng)當(dāng)是在第2點(diǎn)，此點(diǎn)處于可行和不可行領(lǐng)域的邊界之間。補(bǔ)償無(wú)約束目標(biāo)函數(shù)的極小化隨著r的逐漸增加，而收斂到求解結(jié)果。從圖6很明顯的看出來(lái)，如果r是選擇足夠大，的極小值點(diǎn)將會(huì)與第2點(diǎn)一致。但是，如果r是非常大的選擇

16、，函數(shù)將變得非常陡峭，很難取到極小值。這就是為什么該方法叫做有序極小化函數(shù)，它是以r取一個(gè)適中的值開(kāi)始，然后r逐步增加，最后取到極小值。簡(jiǎn)單的模塊框圖如圖7所示r逐漸更新的步驟順序。把r0的值先輸入到程序當(dāng)中去，然后通過(guò)“極小化單變量的方法”11尋找無(wú)約束目標(biāo)函數(shù)的極小值。正如名字所指的那樣，該方法變更設(shè)計(jì)變量，在一個(gè)循環(huán)下，一次改變一個(gè)變量。r2>r1圖6 “外補(bǔ)償函數(shù)”技術(shù)的例子Fig.6 Example illustrating the “exterior penalty function” technique.開(kāi)始初始化變量r=r0開(kāi)始，極化小所有約束函數(shù)都滿足？停 止Yr=ar

17、N圖7 簡(jiǎn)單的模塊框圖Fig.7 Simplified block diagram.根據(jù)： (27)式中：是一個(gè)循環(huán)命令的單位向量， =(1,0,0,0), = (0,l,0,0,0);和為可自由挑選的可正、可負(fù)的步長(zhǎng)，比如： (28)表1 電機(jī)參數(shù)的優(yōu)化參數(shù)單位實(shí)際電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)定子外徑mm84.084.0迭片長(zhǎng)度mm36.636.6轉(zhuǎn)子外徑mm54.163.1轉(zhuǎn)子槽數(shù)1015定子極數(shù)24重量kg1.081.23有效效率%5772這種收斂的搜尋采用加速的極小化步長(zhǎng)方法，此方法的步長(zhǎng)長(zhǎng)度CY的選擇在一個(gè)給定特別的方向上可給函數(shù)帶來(lái)最大的縮減量，這個(gè)理論的背景給定見(jiàn)參考文獻(xiàn)11.5. 數(shù)值計(jì)算 驗(yàn)

18、證這種有效的方法是，對(duì)涉及電機(jī)的體積空間和熱力學(xué)約束問(wèn)題，通過(guò)檢測(cè)優(yōu)化的電機(jī)設(shè)計(jì)與原機(jī)設(shè)計(jì)的最大有效功率的比較。電機(jī)的輸出要求是： 輸出功率P=154W，額定轉(zhuǎn)速n=3250 r/min，端電壓V=12V。既然有效的優(yōu)化常常趨向?qū)е略O(shè)計(jì)的參變量存在可能極大化的尺寸，而減少損耗，那就必須有足夠的空間約束電機(jī)的定子外徑、轉(zhuǎn)子工作長(zhǎng)度，這樣才能等效于實(shí)際的電機(jī)結(jié)構(gòu)，因此： 最大定子外徑Dsout=84mm； 最大迭片長(zhǎng)度Ls=36.6mm。同樣，對(duì)實(shí)際的電機(jī)要有個(gè)正確的比較關(guān)系。在電樞繞組當(dāng)中要有全負(fù)荷的電流密度，這樣可以決定電機(jī)的熱負(fù)荷大小，被用來(lái)等效實(shí)際電機(jī)的約束最大值。因此，最大電流密度為15

19、.32 A/mm2。為了避免交換性問(wèn)題，這個(gè)交換性區(qū)域應(yīng)當(dāng)限制在一個(gè)小于或等于無(wú)控制作用的參數(shù)范圍內(nèi)： 在設(shè)計(jì)當(dāng)中假定的陶瓷永磁體(Allen-Bradley M10)，同樣與現(xiàn)有的電機(jī)一樣。在原機(jī)與優(yōu)化的電機(jī)當(dāng)中，主要的設(shè)計(jì)區(qū)別由表1羅列的參數(shù)所決定，從表1可以看到電機(jī)的有效效率提高了大約28%(72 %相對(duì)于57%)，同樣增加了13.8%(1.23 kg相對(duì)于1.08 kg)的電機(jī)重量和體積。既然最優(yōu)解僅僅是基于有效效率的，那么優(yōu)化得到的4級(jí)、15槽的電機(jī)要比先前2極、10操的電機(jī)發(fā)費(fèi)更多的錢(qián)。盡管如此，在電機(jī)總的成本中，成本因素很容易的移入到目標(biāo)函數(shù)中。6. 結(jié)論本文介紹了一種PMDC電

20、機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，這個(gè)模型利用二維封閉的形式優(yōu)化電機(jī)的磁場(chǎng)，結(jié)合對(duì)電機(jī)的電磁物理量、電樞反應(yīng)的作用、磁路飽和、非線性碳刷電壓降等約束，得到優(yōu)化結(jié)果。本文也描述了電機(jī)設(shè)計(jì)變量的轉(zhuǎn)化和標(biāo)準(zhǔn)化的方法，使其模型能應(yīng)用于一系列不同等級(jí)電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。結(jié)合精確的和高的計(jì)算速度，使模型能夠更好的用于優(yōu)化意圖。這個(gè)模型的計(jì)算通過(guò)優(yōu)化程序來(lái)執(zhí)行，可以有系統(tǒng)的決定電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，比如電機(jī)的體積、重量和效率。這種最優(yōu)化技術(shù)可以在程序使用中所描繪。并給出一個(gè)數(shù)值計(jì)算來(lái)驗(yàn)證這個(gè)模型的有效性。 參考文獻(xiàn)l R. W. Menziea and G. W. Neal, “Optimization programs

21、for large-induction motor design,” Proc. IEE, vol. 122, pp. 643-646, June 1975.2 J. Appelhaum, “Optimized design of three phase power transformer,” ETZ-A, vol. 98, no. 6, 1977.3 R. Ramamourty and P. J. Rao, “Optimization of polyphase segmented-rotor reluctance motor design: A linear programming approach,”IEEE Trans. Power App. Syst., vol. PAS-98, pp. 527-535, 1979.4 O. R. Mandryka, V. E. Verkloglyand, and O. A. Luganskaya, “Investigating the possibility of increasing the torque of a direct-currenttraction motor,” Electrotekhnika, vol. 54, no. I , pp. 7- 10, 1983.