極坐標(biāo)系速推導(dǎo)

1、§2.7極坐標(biāo)系·速度與加速度 問題的提出：在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。這種用方向和距離表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。如：從這 向北 走2000米?。ǔ霭l(fā)點(diǎn) 方向 距離）一、極坐標(biāo)系 （ plane polar coordinates ） 1 極坐標(biāo)系的建立： 在參考系上取點(diǎn) O ，引有刻度的射線 OX 稱為極軸（有方向的），建成極坐標(biāo)系。 矢徑： 由參考點(diǎn) O 引向質(zhì)點(diǎn)位置 A 的線段長度 由 r 表示矢徑。 如圖示： r= 幅角： 質(zhì)點(diǎn)的位置矢量與極軸所夾的角 （也稱：極角） 規(guī)定： 自極軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)至位置矢量的幅角為正，反之為負(fù)。

2、（ r ，）確定平面上質(zhì)點(diǎn)的位置，稱為極坐標(biāo)。 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn) 動(dòng)學(xué)方程： 、 質(zhì)點(diǎn)的軌跡： 2 極坐標(biāo)系中矢量的正交分解 如圖示：質(zhì)點(diǎn)在 A 點(diǎn)，沿位置矢量方向稱為徑向 徑向單位矢量： 沿質(zhì)點(diǎn)所在處位置矢量的方向。 橫向單位矢量： 與徑向方向垂直且指向 增加的方向。 任何矢量均可在 和 方向上作正交分解。 注意 ：徑向和橫向隨地點(diǎn)而異。 二、徑向速度與橫向速度 討論質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)速度在極坐標(biāo)系中的正交分解式，如圖示： （ 1 ） 用微元法推導(dǎo)速度 設(shè)： t t+ 時(shí)間內(nèi)，圖中質(zhì)點(diǎn)自 A（r，t）經(jīng)歷一微小的位移 ，到達(dá) 由速度的定義： （ 1 ） 位移 對(duì)應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)矢量的改變 徑向位移 ； 位移 對(duì)應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于極點(diǎn)幅角的改變 橫向位移 。 時(shí)， 指向趨于 方向。 ， 時(shí)， 指向趨于 方向。 (2) 故 : 速度的徑向分量： ，速度的徑橫向分量 ： 即： 徑向速度等于矢徑對(duì)時(shí)間的變化率 橫向速度等于矢徑與角速度的乘積。 （ 2 ） 矢量運(yùn)算法推導(dǎo)速度 （ 5 ） 對(duì)于徑向速度是矢徑的變化而引起的速度的大小。 下面討論 ： 如圖所示 是單位徑向方向，模的大小為 1 。 （ ） 另外 的推導(dǎo)也可如下進(jìn)行： 右端展開是 :