時(shí)域有限差分法FDTD算法的基本原理及仿真

1、時(shí)域有限差分法（FDTD算法）時(shí)域有限差分法是1966年發(fā)表在AP上的一篇論文建立起來(lái)的，后被稱(chēng)為Yee網(wǎng)格空間離散方式。這種方法通過(guò)將Maxwell旋度方程轉(zhuǎn)化為有限差分式而直接在時(shí)域求解, 通過(guò)建立時(shí)間離散的遞進(jìn)序列, 在相互交織的網(wǎng)格空間中交替計(jì)算電場(chǎng)和磁場(chǎng)。FDTD算法的基本思想是把帶時(shí)間變量的Maxwell旋度方程轉(zhuǎn)化為差分形式，模擬出電子脈沖和理想導(dǎo)體作用的時(shí)域響應(yīng)。需要考慮的三點(diǎn)是差分格式、解的穩(wěn)定性、吸收邊界條件。有限差分通常采用的步驟是：采用一定的網(wǎng)格劃分方式離散化場(chǎng)域；對(duì)場(chǎng)內(nèi)的偏微分方程及各種邊界條件進(jìn)行差分離散化處理，建立差分格式，得到差分方程組；結(jié)合選定的代數(shù)方程組的解

2、法，編制程序，求邊值問(wèn)題的數(shù)值解。1. FDTD的基本原理FDTD方法由Maxwell旋度方程的微分形式出發(fā)，利用二階精度的中心差分近似，直接將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為差分運(yùn)算，這樣達(dá)到了在一定體積內(nèi)和一段時(shí)間上對(duì)連續(xù)電磁場(chǎng)數(shù)據(jù)的抽樣壓縮。Maxwell方程的旋度方程組為： （1）在直角坐標(biāo)系中，（1）式可化為如下六個(gè)標(biāo)量方程：， （2）上面的六個(gè)偏微分方程是FDTD算法的基礎(chǔ)。Yee首先在空間上建立矩形差分網(wǎng)格，在時(shí)刻時(shí)刻，F(xiàn)(x,y,z)可以寫(xiě)成 （3）用中心差分取二階精度：對(duì)空間離散：對(duì)時(shí)間離散： （4）Yee把空間任一網(wǎng)格上的E和H的六個(gè)分量，如下圖放置:圖1 Yee氏網(wǎng)格及其電磁場(chǎng)分量分布在F

3、DTD中，空間上連續(xù)分布的電磁場(chǎng)物理量離散的空間排布如圖所示。由圖可見(jiàn)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量在空間交叉放置，各分量的空間相對(duì)位置也適合于Maxwell方程的差分計(jì)算，能夠恰當(dāng)?shù)孛枋鲭姶艌?chǎng)的傳播特性。同時(shí)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)在時(shí)間上交替抽樣，抽樣時(shí)間間隔相差半個(gè)時(shí)間步，使Maxwell旋度方程離散以后構(gòu)成顯式差分方程，從而可以在時(shí)間上迭代求解，而不需要進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算。因此，由給定相應(yīng)電磁問(wèn)題的初始條件，F(xiàn)DTD就可以逐步推進(jìn)地求得以后各個(gè)時(shí)刻空間電磁場(chǎng)的分布。根據(jù)這一原則可以寫(xiě)出六個(gè)差分方程:（5）其余的也如法可以寫(xiě)出，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的個(gè)場(chǎng)分兩的新值依賴(lài)于該點(diǎn)在前一時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)刻的值機(jī)該點(diǎn)周?chē)呐R近點(diǎn)上另一場(chǎng)量

4、在早半個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)的值。因此任一時(shí)刻可一次算出一個(gè)點(diǎn)，并行算法可計(jì)算出多個(gè)點(diǎn)。通過(guò)這些運(yùn)算可以交替算出電場(chǎng)磁場(chǎng)在各個(gè)時(shí)間步的值。已知 0時(shí)刻空間各處的電磁場(chǎng)初始值根據(jù)上述FDTD差分方程組可得出計(jì)算電磁場(chǎng)的時(shí)域推進(jìn)計(jì)算方法，如圖2所示。計(jì)算 時(shí)刻空間各處的磁場(chǎng)值 計(jì)算 時(shí)刻空間各處的電場(chǎng)值 循環(huán)n次圖2 FDTD在時(shí)域的交叉半步逐步推進(jìn)計(jì)算2.數(shù)值穩(wěn)定性條件時(shí)間步長(zhǎng)，空間步長(zhǎng)，必須滿足一定的關(guān)系，否則就使得數(shù)值表現(xiàn)不穩(wěn)定，表現(xiàn)為：隨著計(jì)算步數(shù)的增加，計(jì)算場(chǎng)量的數(shù)值會(huì)無(wú)限的增大，這種增大不是由于誤差積累造成的，而是由于電磁波的傳播關(guān)系被破壞造成的。所以，必須滿足一定的關(guān)系以保證穩(wěn)定性。Taflo

5、ve等在1975年對(duì)Yee氏差分格式的穩(wěn)定性進(jìn)行了討論，并導(dǎo)出了對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的限制條件。數(shù)值解是否穩(wěn)定主要取決于時(shí)間步長(zhǎng)與空間步長(zhǎng)、的關(guān)系。對(duì)于非均勻媒質(zhì)構(gòu)成的計(jì)算空間選用如下的穩(wěn)定性條件： （6）若采用均勻立方體網(wǎng)格：， （7）而一般?。?，c為光速。當(dāng)，不相等時(shí)， （8）3.數(shù)值色散FDTD網(wǎng)格中，會(huì)導(dǎo)致數(shù)字波模在網(wǎng)格中發(fā)生改變，這種改變是由于計(jì)算網(wǎng)格本身引起的，而非物理因素，所以必須考慮。即在FDTD網(wǎng)格中，電磁波的相速與頻率有關(guān)，電磁波的相速度隨波長(zhǎng)、傳播方向及變量離散化的情況不同而改變。色散將導(dǎo)致非物理因素引起的脈沖波形畸變、人為的各向異性和虛假折射等現(xiàn)象。顯然，色散與空間、時(shí)間的離散間

6、隔有關(guān)，如下式所示： （9）與數(shù)值色散關(guān)系相對(duì)應(yīng)，在無(wú)耗介質(zhì)中的單色平面波，色散解析關(guān)系是： （10）由式（9）可知，當(dāng)式（9）中的、均趨于零時(shí)，它就趨于式（10）。也就是說(shuō)數(shù)值色散是由于用近似差分替代連續(xù)微分而引起的，而且在理論上可以減小到任意程度，只要此時(shí)時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)都足夠小。為獲得理想的色散關(guān)系，問(wèn)題空間分割應(yīng)按照小于正常網(wǎng)格的原則進(jìn)行。一般選取的最大空間步長(zhǎng)為，為所研究范圍內(nèi)電磁波的最小波長(zhǎng)。由上分析說(shuō)明，數(shù)值色散在用FDTD法分析電磁場(chǎng)傳播中的影響是不可能避免的，但我們可以盡可能的減小數(shù)值色散的影響?，F(xiàn)在適當(dāng)選取時(shí)間和空間步長(zhǎng)，傳播方向，可以得到理想情況，如下所示：3-D方形網(wǎng)格：（數(shù)值穩(wěn)定的極限狀態(tài)，可得理想色散關(guān)系）取波沿對(duì)角線傳播， （11）2-D方形網(wǎng)格:也是沿對(duì)角線傳播， （12）1-D網(wǎng)格： （13）4.吸收邊界條件在電磁場(chǎng)的輻射和散射問(wèn)題中，邊界總是開(kāi)放的，電磁場(chǎng)占據(jù)無(wú)限大空間，而計(jì)算機(jī)內(nèi)存是有限的，所以只能模擬有限空間。即：時(shí)域有限差分網(wǎng)格將在某處被截?cái)?。這要求在網(wǎng)格截?cái)嗵幉荒芤鸩ǖ拿黠@反射，因而對(duì)向外傳播的波而言，就像在無(wú)限大的空間傳播一樣，一種行之有效的方法是在截?cái)嗵幵O(shè)置一種吸收邊界條件。使傳播到截?cái)喑龅牟ū贿吔缥斩划a(chǎn)生反射。下面只給出Engquist-Majda吸收邊界條件，采用Mur差分格式，其總體虛