2019-2020學(xué)年北京市北京一零一中學(xué)高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1頁共 17 頁x si nA a y c 0與b xy sinBsinC0位置關(guān)系是（A 平行B.重合C .垂直D .相交但不垂直【答案】C【解析】a,b,c分別是VABC中代B, C所對邊的邊長，則直線x si nA a yb x y sinB sinCc 0斜率為:0的斜率為：si nAabsi nB泄n丄=-1, 兩條直線垂直.a sin B故選 C.3 .已知下列三個命題：若復(fù)數(shù) Z1, Z2的模相等，貝yZ1, Z2是共軛復(fù)數(shù)；Z1, Z2都是 復(fù)數(shù)，若 Z 什 Z2是虛數(shù)，則 Z1不是 Z2的共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù) Z 是實數(shù)的充要條件是 ZZ. 則其中正確命題的個數(shù)為（）C. 2 個

2、B. 1 個2019-2020 學(xué)年北京市北京一零一中學(xué)高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題、單選題1 復(fù)數(shù) z 口，則 |Z|=（）1iA 1B. 2C.、2D 2.2【答案】A【解析】運用復(fù)數(shù)的除法運算法則，先計算出 z 的表達式，然后再計算出Z.【詳解】故選A【點睛】本題考查了運用復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)的表達式，并能求出復(fù)數(shù)的模，需要掌握其計算法則，較為基礎(chǔ).由題意復(fù)數(shù) z 口得1 i(1 i)21 2i i2(1 i)(1 i)i,所以z=1.2設(shè)a,b,c分別是VABC中A，B，C所對邊的邊長，則直線)第2頁共 17 頁【答案】C【解析】 運用復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、虛數(shù)等知識對命題進行判斷【詳

3、解】 對于中復(fù)數(shù)Zi和Z2的模相等，例如Zi= 1+i,z2= 2i，則乙和Z2是共軛復(fù)數(shù)是錯誤的對于Zi和Z2都是復(fù)數(shù)，若乙+Z2是虛數(shù)，則其實部互為相反數(shù)，則Zi不是Z2的共軛復(fù)數(shù),所以是正確的;a，則Z a所以z Z，反之當(dāng)z z時，亦有復(fù)數(shù)z是實數(shù)，故對于復(fù)數(shù)Z是實數(shù)，令Z復(fù)數(shù) z 是實數(shù)的充要條件是Z Z是正確的綜上正確命題的個數(shù)是2個.故選C【點本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，判斷命題是否正確需要熟練掌握基礎(chǔ)知識，并能運用舉例方法進行判斷，本題較為基礎(chǔ)2Xo4 .橢圓y2=1 的長軸為4A1A2,短軸為 B1B2,將坐標平面沿 y 軸折成一個銳二面角,使點 Ai在平面 B1A2B2上的射

4、影恰是該橢圓的一個焦點，則此二面角的大小為B. 45C.60 D. arctan2第3頁共 17 頁【答案】A【解析】結(jié)合題意畫出滿足條件的圖象，利用圖象直觀分析，找到二面角的平面角，然后解三角形求出二面角的大小點A在平面BA2B2上的射影恰是該橢圓的一個焦點，所以FOAi即為所求二面角的平2面角，因為橢圓標準方程為 y21,所以4OA 2,OF.3,cos FOA1坐3,所以O(shè)A12FOA1=30【詳?shù)?頁共 17 頁故選A【點睛】本題考查了求二面角的平面角的大小，結(jié)合橢圓的翻折，能夠畫出或者直觀看出二面角的平面角，并結(jié)合解三角形求出結(jié)果，需要掌握解題方法5.已知兩圓C1:(x 4)22y；

5、169,C2:(x 4)22y9，動圓在圓G內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()2 222222 2Ax y A .1B.xx xy_ 1x y *D.11C.6448486448646448【答案】D【解析】設(shè)出動圓半徑為r，根據(jù)兩圓外切和內(nèi)切判定圓心距與兩圓半徑和差的關(guān)系, 消去r，根據(jù)橢圓的定義，即可求得動圓圓心M的軌跡，進而可求其方程.【詳解】設(shè)動圓圓心M x, y，半徑為r,Q圓M與圓Ci:(x 4)2y2169內(nèi)切，與圓C?:(x 4)2y29外切,MCi13 r,MC2r 3,|MC1MC218,由橢圓的定義，M的軌跡為以C1,C2為焦點的橢圓，可得

6、a 8,c 4；則b2a2c248,2 2動圓圓心M的軌跡方程：1，故選 D.6448【點睛】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及橢圓的定義和標準方程，屬于中檔題.兩圓半徑為R,r,段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為()357A.B.1C.D .-444【答案】C兩圓心間的距離d，比較d與Rr及d與R r的大小，即可得到兩圓的位置關(guān)系26 .已知F為拋物線 y X 的焦點,代B是該拋物線上的兩點,AF BF 3，則線第5頁共 17 頁1【解析】拋物線的準線為l :x,過代B作準線的垂線，垂足為E,G,AB的中43點為M，過M作準線的垂線，垂足為MH，則可利用幾何性質(zhì)得到MH3，故可2得M到y(tǒng)軸的距離【詳解】1

7、拋物線的準線為|：x,過A, B作準線的垂線，垂足為E,G，AB的中點為M,4過M作準線的垂線，垂足為MH,所以AE BG AF BF 3，33 1 5又MH為梯形的中位線，所以MH ,故M到y(tǒng)軸的距離為一一，故選 C.22 4 4【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題7.正四棱錐 SABCD 底面邊長為 2,高為 1, E 是邊 BC 的中點，動點 P 在四棱錐表面上運動，并且總保持 PE 丄 AC,則動點 P 的軌跡的周長為（）A .1.2B. 2、3C .2 2D.2,3【答案】B【解析】略2 28 .設(shè)點 P 為雙曲線21（ a 0, b 0）右支上的動點，過點 P 向兩條漸近線

8、作a b值范圍是（）【答案】B【解析】結(jié)合已知條件得到垂足始終在第一、第四象限內(nèi)，則可以得到傾斜角的范圍，再利用離心率的計算方法求出結(jié)果【詳解】 根據(jù)題意，因為點 P 為雙曲線右支上的動點，過點 P 向兩條漸近線作垂線，垂足分別因為代B是該拋物線上的兩點，故AE AF , BG BF垂線，垂足分別為A, B,若點 AB 始終在第一、第四象限內(nèi)，則雙曲線離心率e 的取A . (1,B. (1 ,2C. , +m)D . b. 2 , +m)第6頁共 17 頁為 A,B,若點 AB 始終在第一、第四象限內(nèi)，則有漸近線y - x的傾斜角不大于45,即-1,則aa故答案為：1第 5 頁共 17 頁二、

9、填空題【答案】6【答案】1【解析】結(jié)合已知條件運用向量的數(shù)量積運算法則即可求出結(jié)果【詳解】因為點E,F分別是邊BC,AD的中點，uuu則AEuuu 1 uurAF2(AB AC)2ADuuiu 1 uuu 1 uuu uuiu（AB AD 241的每條邊和對角線的長都等于2,所以原式 丄（24uuu uuuAC AD）,又因為空間四邊形 ABCD2 cos60 2 2 cos60 ) 1.故選B【點2,2ab2a1b, 2，又e 1,則1 e遼.本題考，解答時要結(jié)合題目中的已知條件，并能熟練運用2 2a b2ab2b,考查了理解能力和轉(zhuǎn)化能a9.若拋物線2px的焦點與雙曲線62y_31的右焦點

10、重合，貝 U P 的【解析】 試題分析：根據(jù)題意，由于雙曲線x2a26,b23,c2a2+b29 c 3右焦點坐標為（3,0）,因此可知拋物線2小y 2px的焦點（p,0）C-3,0） - 3 p 6,故答案為 62 2【考點】考查了拋物線與雙曲線的性質(zhì).點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用雙曲線的右焦點坐標得到拋物線的焦點坐標,然后得到參數(shù) p 的值，屬于基礎(chǔ)題.10 .已知空間四邊形ABCD 的每條邊和對角線的長都等于2,點 E , F 分別是邊 BC ,uuuAD 的中點，AF的值為c雙曲線的離心率為e-aac2離心率計算推導(dǎo)公式e-a故答案為：1第 5 頁共 17 頁第9頁共 17 頁【點睛】

11、本題考查了向量數(shù)量積的運算，解題過程中運用向量的加法運算進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為空間四邊形邊之間的關(guān)系，然后再結(jié)合題意計算出結(jié)果，需要掌握解題方法11.已知 A (- 1 , 0), B (1, 0)兩點，過動點 M 作 x 軸的垂線，垂足為 N，若uuuuouuir uuu| MN |2AN NB，當(dāng)0時，動點 M 的軌跡可以是 _ (把所有可能的序號都寫上)圓；橢圓；雙曲線；拋物線【答案】【解析】 設(shè)點M的坐標，得到N點坐標，利用條件中| MN |2uuir uuuAN NB計算出關(guān)于動點M的軌跡方程，然后再進行判斷軌跡圖形【詳解】uuuu c設(shè)M (x, y)則N (x,0)，由題意| MN |

12、2uuu uuuoAN NB計算可得y(x 1)(1 x),化簡得x2y2，又因為20,即得x2 1,當(dāng)0 時,其軌跡方程是雙曲線；當(dāng)0且1時其軌跡方程是橢圓；當(dāng)1時其軌跡方程是圓，綜上動點M的軌跡可以是圓、橢圓、雙曲線故答案為：【點睛】本題考查了動點軌跡問題，求解過程中依據(jù)已知條件進行先求出軌跡方程，然后再進行判斷,解答題目得方法是依據(jù)題意設(shè)出點坐標進行化簡，注意分類討論112 .過點M (?,1)的直線 I 與圓 C： (x- 1)2+y2= 4 交于 A、B 兩點，C 為圓心，當(dāng)/ ACB最小時，直線 I 的方程為_ .【答案】2x- 4y+3 = 0【解析】要/ ACB 最小則分析可得

13、圓心 C 到直線 I 的距離最大，此時直線 I 與直線CM垂直，即可算出CM的斜率求得直線 l 的方程【詳解】由題得，當(dāng) / ACB 最小時，直線 l 與直線CM垂直，此時kCMkcMkl1,故kl丄,又直線 I 過點M(，1),所以l : y 1 l(x -),即2 22 22x 4y 3 0故答案為：2x 4y 30第10頁共 17 頁第11頁共 17 頁，過定點的直線與圓相交于兩點求最值的問題一般為同時也考查了線線垂直時斜率之積為-1,以及用點斜式寫出直線方程的方法2X13 斜率為1的直線I與橢圓4【答案】口0【解析】 設(shè)出直線I的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，利用弦長公式求得弦長的表

14、 達式，進而求得弦長的最大值 .【詳解】【點睛】 本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線和橢圓相交所得弦長最大值的求法,屬于中檔題14 .如圖，正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 2,點 P 在正方形 ABCD 的邊界及其內(nèi)部運動平面區(qū)域W由所有滿足45|A1P|46的點P組成，則W的面積是_；四面體 P-A1BC 的體積的最大值是 _y21相交于A, B兩點，則AB的最大值為_設(shè)直線方程為yX b，代入橢圓方程并化簡得5x28bx 4b240,8b5，X14b242 264b20 4b2416b800,AB乘.AB 16b280當(dāng)bV 25，0時,4 105圓心到定點與直線

15、垂直時取得最值T本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系max第12頁共 17 頁【答案】43【解析】結(jié)合題意先找到滿足條件J5APJ6的平面區(qū)域，然后計算出其面積；要求四面體的體積的最大值，已知高是固定的，當(dāng)?shù)酌婷娣e最大時就可以求得體積最大 【詳解】 連接AP，在正方體中可知AIAAP，則三角形AiAp為直角三角形，又因為AA2，J5APJ6,可計算得1 AP J2,又因為點P在正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部運動，則平面區(qū)域W是以點A為圓心，半徑為1和2之間交正方形ABCD的1圓環(huán),所以平面區(qū)域W的面積是1(-、2)212;由題意可知當(dāng)點P在邊4441 14AD上時，四面體P ABC的體積最大值是2 2

16、 2.3234故答案為：一；443【點睛】本題考查了立體幾何中的動點軌跡問題，求解時需要理清題意，計算求出滿足題意的結(jié)果在求四面體的最值時可以轉(zhuǎn)化頂點和底面，找到確定值和變量，然后再求最值.三、解答題15 .已知復(fù)數(shù) z 滿足 izJ2, z 的實部大于 0, z2的虛部為 2.(1)求復(fù)數(shù) z;(2)設(shè)復(fù)數(shù) z, z2, z- z2之在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為的值【答案】(1) 1 + i; ( 2)- 2.【解析】(1)先設(shè)出復(fù)數(shù) z 的表達式，結(jié)合已知條件中z-.2,實部大于 0,和z2的虛部 為2，列出zxCTuur uuuUULTA, B, C,求（OA OB）OC第13頁共 17 頁

17、方程求解出復(fù)數(shù) z 的表達式.(2)由(1 )求出復(fù)數(shù) z 的表達式，即可得到 z,z2,z z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點坐標，進而第14頁共 17 頁求出結(jié)果.【詳解】(1) 設(shè)復(fù)數(shù) z=x+yi,x、y R;由|z|2,得 x2+y2=2;又 z 的實部大于 0 即 x0,z2=x2- y2+2xyi 的虛部為 2xy=2,所以 xy=1;解得 x= 1,y= 1;所以復(fù)數(shù) z=1 + i;(2) 復(fù)數(shù)z 1 i,則z2(1 i)22i,z z21 i 2i 1 i;則 A (1,1) ,B ( 0,2) ,C (1,- 1);uur uun umr所以(OA OB) OC (1,3) (1,1

18、) 11 3(1)2.【點睛】本題考查了求復(fù)數(shù)的表達式及復(fù)數(shù)的幾何意義，解題時的方法是設(shè)出復(fù)數(shù)的表達式，按照題意得到方程組進行求解，本題較為基礎(chǔ).16 .如圖在 AOB 中，/ AOB =90 AO=2 , OB=1, AOC 可以通過 AOB 以直線 AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且 OB 丄 OC,點 D 為斜邊 AB 的中點.(2) 求直線 OB 與平面 COD 所成角的正弦值.【答案】(1)1; (2)5.35【解析】(1)以O(shè)為原點,OC為x軸,OB為y軸，OA為 z 軸,建立空間直角坐標系，求出異面直線OB與CD的坐標表示，運用公式求出其夾角的余弦值 CX第15頁共 17 頁(2)先求出平面C

19、OD的法向量，然后運用公式求出直線OB與平面COD所成角的正弦【詳解】(1)以 0 為原點,OC 為 x 軸,0B 為 y 軸,OA 為 z 軸,建立空間直角坐標系,【點睛】0（0,0,0）,B（ 0,1,0）,C（ 1,0,0）,A（ 0,0,2）,D1（0, ,1）,2uuuuuu1OB（0,1,0） ,CD（- 1,）,20,.uumuuuOB CDtuuu CD2_141異面直線 OB 與 CD 所成角的余弦值為-3murmur（0,1,0） ,OC（ 1,0,0） ,ODumr（2）OB1容)，設(shè)平面 COD的法向量n(x,y,z),ruuu/n OC貝Vruuu/n OD12y，取

20、y 2,得n（0,2,- 1）,z 0設(shè)直線 OB 與平面COD 所成角為 0,則直線 OB 與平面uuurOBnsin 0-tuuurOB nCOD 所成角的正弦值為：則 cos 0第16頁共 17 頁本題考查了求異面直線所成角問題以及線面角的正弦值問題，求解過程中建立空間直角坐標系，運用空間向量知識來求解，需要熟記運算公式并計算正確 17.已知三棱錐P ABC（如圖 1）的平面展開圖（如圖 2）中，四邊形ABCD為邊 長為 邁 的正方形， ABE 和厶 BCF 均為正三角形，在三棱錐P ABC中：（I）證明：平面PAC平面ABC;（n ）求二面角A PC B的余弦值；CM1 2（川）若點M

21、在棱PC上，滿足,一，一，點N在棱BP上，且CP3 3BN一BM AN，求 的取值范圍.BPm/JIM2【答案】（I ）見解析；（n）_2；（川）列丄，23BP 4 5【解析】試題分析：第一問取AC中點0，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得PO AC，根 據(jù)題中所給的邊長，利用勾股定理求得PO OB，利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到結(jié)果；第二問根據(jù)題中所給的條件建立空間直角坐標系，寫出相應(yīng)的點的坐標，求得面的法向量，禾U用法向量所成角的余弦值得出結(jié)果；第三問利用向量間的關(guān)系，利用向量垂直的條件，利用向量的數(shù)量積等于0，得出所求的比值 與 的關(guān)系式，利用函數(shù)的有關(guān)知識求得結(jié)果（I ）方法

22、1:設(shè)AC的中點為O，連接BO,PO.由題意PA PB PC2,PO 1,AO BO CO 1第17頁共 17 頁因為在PAC中，PA PC,O為AC的中點所以PO AC, 因為在POB中，PO 1,OB 1,PB2設(shè)AC的中點為O，連接BO,PO.設(shè)AC的中點為O，連接PO，因為在PAC中，PA所以POOB因為ACOB O,AC,OB所以PO平面ABC因為PO平面PAC所以平面PAC平面ABC方法 2:平面ABCB所以POAC,因為PAPB PC,PO PO PO,AO所以POA也POB也POC所以POAPOBPOC 90所以POOB因為ACOB O,AC, OB平面ABC所以PO平面ABC

23、因為PO平面PAC所以平面PAC平面ABCCOPC,因為在PAC中，PA PC,O為AC的中點方法 3:BO第18頁共 17 頁所以PO AC設(shè)AB的中點Q，連接PQ，OQ及OB因為在OAB中，OA OB，Q為AB的中點所以O(shè)Q AB.因為在PAB中，PA PB，Q為AB的中點由OB平面APC，故平面APC的法向量為LUV由BC1, 1,0，uuvPC1,0, 1設(shè)平面PBC的法向量為Vnx,y,z，則nuuvBC 0 xy0由nuuvPC得：0 x z0所以PQAB.因為PQOQQ，PQ,OQ平面OPQ所以AB平面OPQ因為OP平面OPQ所以O(shè)PAB因為ABACA，AB, AC平面ABC所以

24、PO平面ABC因為PO平面PAC所以平面PAC平面ABCPO平面ABC,OB AC,(U)由O 0,0,01,0,0,P 0,0,1如圖建立空間直角坐標系，則UJVOB 0,1,0第19頁共 17 頁令x1，得y 1，z 1， 即v1,1,1第20頁共 17 頁cos n,OBvOV1,33所以一面角APCB的余弦值為3uuvuuv,01,則（川）設(shè)BNBPuuuv uuv ujuvuuvuuvBMBCCMBCCP1, 1,01,0,1uuv uuviuvuuvuuvANABBNABBP1,1,00, 1,1由二面角A PC B是銳二面角,1 , 1,1,1uuuvBMuuvAN是關(guān)于入的單調(diào)

25、遞增函數(shù),時,所以BNBP1 24518 .如圖, 在平面直角坐標系xOy中，已知直線 I： x y2=0,拋物線 C: y2=2px( p 0).求拋物線 C 的方程;（2）已知拋物線 C 上存在關(guān)于直線 I 對稱的相異兩點 P 和 Q.求證：線段 PQ 的中點坐標為（2 p, p）；求 p 的取值范圍.【答案】（1）- ； （2）證明見解析 .【解析】（1）先確定拋物線焦點，再將點代入直線方程；（2）利用拋物線點之間關(guān)系第21頁共 17 頁進行化簡，結(jié)合中點坐標公式求證；利用直線與拋物線位置關(guān)系確定數(shù)量關(guān)系:2 24p 4(4 p 4p)0，解出 p 的取值范圍【詳解】(1)拋物線C :

26、y22px(p 0)的焦點為(號,0)由點(,0)在直線l：x y 2 0上，得衛(wèi)020，即p 4.2 2所以拋物線 C 的方程為y28X.(2)設(shè)P( X1, yi), Q(x2, y2)，線段 PQ 的中點M(x0，y0)因為點 P 和 Q 關(guān)于直線I對稱，所以直線I垂直平分線段 PQ， 于是直線 PQ 的斜率為1，則可設(shè)其方程為y x b.2由y px消去X得y22py 2pb 0(*)y x b因為 P 和 Q 是拋物線 C 上的相異兩點，所以yiy2,(2 p)24( 2pb) 0，化簡得p 2b 0.因為M(2 p, p).在直線y因此p的取值范圍為(0,-).3【考點】 直線與拋

27、物線位置關(guān)系【名師點睛】從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)禾憫已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用函數(shù)的值 域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.19 .(本小題滿分 14 分)一種畫橢圓的工具如圖 1 所示門是滑槽氐上的中點，短桿 ON 可繞 O 轉(zhuǎn)動，從而方程 ()的兩根為y12p p22pb，從而y%y?2p.因為M(x0,y。)在直線I上，所以Xo2 p.因此，線段 PQ 的中點坐標為(2P, p).所以p (2 p) b，即b 22p.由知p 2b 0,于是p 2(22p)0,所以在利用代數(shù)法解決范圍問題時常從以下五個方面考慮:(1 )利用判別式