2019-2020學(xué)年山東省煙臺市招遠市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1 1頁共 1616 頁2019-2020 學(xué)年山東省煙臺市招遠市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1 1 已知數(shù)列2，廠-14,19,2、.6,，則12是它的A A 第28項B B.第29項C C 第30項D D 第 3131 項【答案】B B【解析】 由數(shù)列的前幾項可得其一個通項公式，由此可求12是它的第29項 【詳解】已知數(shù)列2,3,14,19,2、6,，則數(shù)列的一個通項公式為an、4 n 15,5n 1,則12. 5n 1, n 29故選 B.B.【點睛】本題考查由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，屬基礎(chǔ)題. .2 2 正項等比數(shù)列an中，a?a5100，則lg a?Ig（）

2、A A 1B B.1C C 2D D 0 0【答案】C C【解析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)和等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】在等比數(shù)列an中，a?a5100，由等比數(shù)列的基本性質(zhì)可得因此，lga3lg a4lg a3a4Ig100 2. .故選：C.【點睛】本題考查利用等比數(shù)列基本性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題3 3 已知a,b,c R，且a b,ab 0，則下列不等式一定成立的是（）11A A a3b3B B.ac2be2C C.11D D .a2b2a b【答案】A A玄3玄4a?a5100,第2 2頁共 1616 頁【解析】試題分析：由函數(shù)y x3在 R R 上是增函數(shù)可知

3、 A A 項正確；B B 項e = 0時不正確;第3 3頁共 1616 頁C C 項a1,b1時不正確；D D 項a1,b1時不止確【考點】 不等式性質(zhì)4 4 若abc口a m0,且-a則m的取值范圍是（)b mbA A mRB B.m0C C.m 0D D.bm 0【答案】 D D【解析】 利用作差法可求得出amam b0,可得出m m b0, 解該bmbb bm不等式即可得出結(jié)果【詳解】可得m m b 0,解得b m 0. .故選：D.D.【點睛】力，屬于基礎(chǔ)題15 5 .若a 0,b 0,則不等式ba的解集為 ()x1門c 11 1A A .,00-B B .bab a1111C C.,

4、-U-,D D .,00-baab1b和a，將兩個不等式的解集取交集可得出結(jié)果X,bx 1小b即為0，解此不等式得xx1因此，不等式b a的解集為本題考查利用同時也涉及了一元二次不等式的求解,考查運算求解能【答案】C C【解析】1分別解不等式-x【詳解】1ax 1Q a 0,0,解此不等式得x 0或x -；a1又Qb 0，不等式一x-或x 0.bm b第4 4頁共 1616 頁x第5 5頁共 1616 頁故選：C.【點睛】【答案】C C故選個特殊數(shù)列的求和公式.這個題的大意是：一匹良馬和一匹駑馬由長安出發(fā)至齊地, 安與齊地相距 30003000 里（1 1 里=500=500 米），良馬第一天

5、走 193193 里，以后每天比前一天多走1313 里駑馬第一天走 9797 里，以后每天比前一天少走半里良馬先到齊地后，馬上返回 長安迎駑馬，問兩匹馬在第幾天相遇（）（）A A . 1414 天B B . 1515 天C C . 1616 天D D . 1717 天【答案】C C本題考屬于基礎(chǔ)題6 6 .已知數(shù)列an的前n項和Sn2n 1“2 2 .則a1a2L2anA A.4(2n1)2n 12C C4(4n1)3n 14(42)3【解析】T當(dāng)n1時,ai2，當(dāng)nn 1nan2222n首項印2a12a24n，公比2an414n4 4n1Sn7 7 .設(shè)a0. .那么,的最小值是（B B.【

6、答【解【詳爲(wèi)2. .所以,4a242a4. .選 C.C.8 8 .三國時期著名的數(shù)學(xué)家劉徽對推導(dǎo)特殊數(shù)列的求和公式很感興趣,創(chuàng)造并發(fā)展了許多算法，展現(xiàn)了聰明才智.他在九章算術(shù)盈不足”章的第1919 題的注文中給出了一第6 6頁共 1616 頁【解析】記良馬每天所走路程構(gòu)成的數(shù)列為anan ，駑馬每天所走路程構(gòu)成的數(shù)列為第7 7頁共 1616 頁bn，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，求出通項公式，進而可求出結(jié)果【詳解】記良馬每天所走路程構(gòu)成的數(shù)列為an，駑馬每天所走路程構(gòu)成的數(shù)列為bn,11195由題意可得：an193 13(n 1) 180 13n，97 -(n 1)22 2設(shè)，經(jīng)過n天，兩匹馬相遇；則有n(

7、a1務(wù))n(b1 bn)6ooo，即22195 n.n(9722)2一260002整理得5n2227n 4800，當(dāng)n 16滿足題意，因此兩匹馬在第 1616 天相遇. .故選 C C【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于?？碱}0,a160,從而可得前n項和Sn的最大值為S15.【詳解】等差數(shù)列an中，S10S20,S20S10a11a12La205(ai5a16)0,a15a160,又a1310,n(193 180 13n)29 9在等差數(shù)列an中，印31 , SoS20,則數(shù)列an的前n項和Sn的最大值為(A A S5【答案】A AC C $5$5

8、或色6D D S7【解析】 由S10S20可得S20S10a11a12La205(印5印6)0，再根據(jù)a131可得ai5第8 8頁共 1616 頁二a150,a160，即數(shù)列的前1515 項為正值，從第 1616 項開始為負值.數(shù)列a的前n項和Sn的最大值為S5故選 A A 【點睛】求等差數(shù)列前 n n 項和最大值的方法：(1)根據(jù)題意求出前n項和Sn的表達式，然后根據(jù)二次函數(shù)的知識求解；2 2)根據(jù)題意求出等差數(shù)列中正負項的分界點，根據(jù)正項和負項的位置進行判斷，即和Sn有最小值的解為(答案】解得：1 t 2，故選 A.A.二、多選題b取特殊值可判斷各選項的正誤詳解】在等差數(shù)列中， 若a10,

9、d0，則前n項和Sn有最大值； 若若a10,d0，則前n項1010 若不等式x22ax a0，對x R恒成立，則關(guān)于t的不等式2tat2a2tA A 1 tB Bt1C C2 t 2D D解析】 試題分析：Q不等式2ax a 0，對x R恒成立，24a24a 00a那么：關(guān)于t的不等式a2t 1at22t1，等價于：22t 1 t22t 3 0，即：t2t22t考點】 1 1 . .一元二次不等式；2.2.指數(shù)函數(shù)1111 如果c滿足c b a且ac0，那么下列選項中一定成立的是A AabacB Bc b a 0C C cb2ab2D D ac a答案】 ABAB解析】 根據(jù)cb a且ac0可

10、得出a 0且c 0，利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合對Qcb a且ac 0，0且c 0. .對于A A 選項，b0，由不等式的性質(zhì)可得ab ac， A A 選項正確；B B 選項，b a 0且c 0,由不等式的性質(zhì)可得c b a 0，B選項正確;第 5 5 頁 共 1616 頁對于第1111頁共 1616 頁對于 C C 選項，若b 0,則cb2ab2, C C 選項錯誤;對于 D D 選項，Q a 0且c 0,則ac 0且a c 0，可得ac a c 0, D D 選項錯 誤 故選：AB.AB.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題、Sn3n 391212 .已知兩個等差數(shù)列an

11、和bn的前n項和分別為Sn和Tn，且，則Tnn 3an使得一為整數(shù)的正整數(shù)n的值為（）bnA A .2B B.3C C.4D D.14【答案】ACDACD可得出n 1為15的正約數(shù)，由此可得出正整數(shù)n的可能取值【詳解】2n1a1a2n 1S2n122n 1anan由題意可得，則T2n12n1b1b2n 12n 1bnbn2anS?n 13 2n1393n 18153 -5bnT2n 12n13n 1n 1an由于一為整數(shù)，則n 1為15的正約數(shù)，貝y n 1的可能取值有3、5、15,bn因此，正整數(shù)n的可能取值有2、4、14. .故選：ACD.ACD.【點睛】本題考查兩個等差數(shù)列前n項和比值的

12、計算，涉及數(shù)的整除性質(zhì)的應(yīng)用， 考查計算能力,屬于中等題 1313 .若a、b、c R，且ab bc ca 1，則下列不等式成立的是（）【解析】由等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式得出an3n18bnn 13二三，進而n 1第1212頁共 1616 頁第1313頁共 1616 頁111貢222C C.23D D.a b c 1a b c【答案】BDBD【解析】利用基本不等式得出a2b22ab,b2c22bc，c2a22ca，三個不.3，3.3 2 .3，【點睛】本題考查利用基本不等式判斷不等式的正誤，考查計算能力與推理能力，屬于中等題三、填空題1414 .設(shè)X0,y10，且2-2，則x2 y的

13、最小值為X y【答案】92【解析】由題意得出11，將代數(shù)式1 1x 2y與相乘，展開后利用基本不2xy2x y等式可求得x 2y的最小值 等式全加可判斷出D D 的正誤，取_3可判斷C的正誤. .綜合可得出3結(jié)論 【詳由基本不等式可得a2b22ab，b22bc，c2a22ca，上述三個不等式全部相加得2 ab bc ca 2，b22c 1,當(dāng)且僅當(dāng)c時,等號成立,b2abbcca 3，a b c、3或因C C 選項錯誤，B B、D D 選項正確 故選:BD.BD.第1414頁共 1616 頁【詳解】X 13X第 8 8 頁共 1616 頁1 2c11 ,QX 0,y 0，且一-2 ,1,X y

14、2xy由基本不等式可得x 2yx 2y11Xy 52卩y599，當(dāng)且2xy yx 2、y X223僅當(dāng)x y時，等號成立,29因此，x 2y的最小值為 . .2故答案為:【點睛】6,n【答案】3n2n1,n情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起3XX 11616 已知關(guān)于x的不等式1的解集為，12,，則不等式1的解X 13X集為_ . .本題考查利用基本不等式求最值，涉及1的妙用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題1515 數(shù)列 3n3n 滿足，2 2 3 311 1歹332n2n 1 1，寫出數(shù)列an的通項公式1 1【解析】因為一a12a22221 1 .歹32戸L1歹331班3n12nan

15、2n1， 所以11, ,兩式相減得2“ 13n 12，即an2n1,n 2，又-313,2所以316，因此6,n3nn 12 ,n點睛: 給出Sn與3n的遞推關(guān)系求3n，常用思路是：一是利用3nSnSn 1,n 2轉(zhuǎn)化為3n的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n的關(guān)系，再求3n. .應(yīng)用關(guān)系式an時2時，定要注意分n 1,n2兩種X 13X第 8 8 頁共 1616 頁【答案】， U U2,3XX 1【解析】由題意可知2是方程1的根，求出3的值，代入不等式1，化簡第1717頁共 1616 頁變形后解此不等式可得出結(jié)果【詳解】1則2a 1，解得a -，2x 12x

16、2x2代入不等式1得1，即0,解此不等式得x 0或x 2. .axxxx 1因此，不等式1的解集為,0,0 U U 2,2,. .ax故答案為：,0,0 U U 2,2,. .【點睛】本題考查利用分式不等式的解集求參數(shù)，同時也考查了分式不等式的求解，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題 1717 .已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、1616、L，其中第一項是20，接下來的兩項是20、21，再接下來的三項是20、21、22、，依此類推，記此數(shù)列為an，則a2019_,S2019_【答案】426458【解析】 將已知數(shù)列分組，使得每一組的第一項為20，第n n N組的最后一項

17、為2n 1，計算出截止到第k組最后一項的項數(shù)之和，確定a2019所在組的序數(shù)以及所在組的項數(shù)，可歸納得出a2019的值，并進一步求得So19的值 【詳解】將已知數(shù)列分組，使得每一組的第一項為20,即第一組：20;第二組：20、21； 第三組：20、21、22；L;第k k N組：20、21、故所有項的項數(shù)之和為12已知關(guān)于x的不等式,12,，則2是方程空1的根,x 122、L、2k1. .k k 13 L k2第1818頁共 1616 頁當(dāng)k 63時，63一邑丄2016，故a2oi9應(yīng)位于第64組第三項，所以a2oi9224. .2第k組所有項之和為1 2 22L 2k 1 1_22k1,1

18、2因此，2 1 263S2o192 1221 L26311 2 463 7 26458.1 2故答案為：4;26458. .【點睛】本題主要考查歸納推理，將數(shù)據(jù)進行分組是解答的關(guān)鍵，同時也考查了分組求和，考查推理能力與計算能力，屬于中等題 四、解答題（1 1）求數(shù)列a an的通項公式;和 Q Qn.nnI答案】（1）an32）冇列an是首項為 3 3、公比為 3 3 的等比數(shù)列，即求解通項公式;(2 2)由(1 1)可得bn3(2 n 1)，得到1 1 1 1 1，利用裂項法，即可求解.bnbn 19 2n 1 2n 118 2n 1 2n 1【詳解】(1 1)當(dāng)n 1時，得a29,由2Sn3

19、an 1，得2Sn 13 an(n2),兩式相減得2(SnSn 1) an 1an，又SnSn1an，an13an(n2),an 1又a23a1,a. 13a“(n N )，顯然外0,3,an1818 .已知數(shù)列a an的前 n n 項和為 S Sn,且滿足a13，2Sn3an 1. .（2 2）若等差數(shù)列b bn的前 n n 項和為 T Tn，且T1a1,T3a3,f f1 1求數(shù)列bb- -的前 n n 項1【解析】（1 1）根據(jù)數(shù)列的通項an與Sn的關(guān)系,化簡求得an 13an(n N），得到數(shù)第1919頁共 1616 頁即數(shù)列an是首項為 3 3、公比為 3 3 的等比數(shù)列， an3

20、3n13n；(2)設(shè)數(shù)列bn的公差為d，則有bl3,由Tja3得3b13d 27，解得d 6, bn1 1又bnbn 19 2n 1 2n 1【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及通項公式、以及裂項法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在裂 項法”之后求和時，弄錯項數(shù)導(dǎo)致錯解，能較好的考查邏輯思維能力及基本計算能力等. .ax1919 .解關(guān)于x的不等式1.x 22 2【答案】當(dāng)a 0時x 2;當(dāng)0a1時2 x;當(dāng)a 1時x 2;a 1a 12當(dāng)a 1時x或x 2; ; a=0a=0 時，不等式的解集為?a 1【解析】 根據(jù)題意，分

21、 3 3 種情況討論：，a=0a=0 時，不等式變形為：0 0 1 1,，當(dāng) a=1a=1 時，不等式為x 1 1,，a a0且 a al 時，不等式變形為 (a a- 1 1) x+2x+2 (x x- 2 2)0 0,x 2分別求出不等式的解集，綜合即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分 3 3 種情況討論：1，a=0a=0 時，不等式變形為：0 01 1,解集為？，2，當(dāng) a=1a=1 時，不等式為一備1 1,解可得 x x2 2,解集為(2 2, +；3，aOaO 且 alal 時，不等式變形為 (a-a- 1 1) x+2x+2 (x x-2 2) 0 0,I I2方程 (a a- 1 1

22、) x+2x+2 (x x- 2 2) =0=0 有 2 2 個根，2 2 和廠，2 _當(dāng) a a 1 1 時，不等式的解集為(- R, ) ) U (2 2, + +R);1-a2當(dāng) 0 0v a av 1 1 時，不等式的解集為(2 2, );3 (n 1) 63(2 n 1)，1 1 118 2n1 2n 1丄1 11831 12n 1 2n 1丄1丄=18 2n 19 2n 1第2020頁共 1616 頁2當(dāng) a av 0 0 時，不等式的解集為(-,2 2);1-3綜合可得：當(dāng) a av 0 0 時，不等式的解集為( L2)；a=0a=0 時，不等式的解集為？，當(dāng) O Ov a av

23、 1 1 時，不等式的解集為(2,2, ;1-a當(dāng) a=1a=1 時，不等式的解集為(2 2, +；當(dāng) a a 1 1 時，不等式的解集為(- 汽丄)U (2 2, + +R).1-a【點睛】本題考查分式不等式的解法，注意對a a 進行討論，做到不重不漏一般分式不等式的解法步驟為：先將不等號的一邊化為0 0,再分式化整式，轉(zhuǎn)化為二次，結(jié)合二次函數(shù)的圖像得到解集 22020 .已知關(guān)于x的不等式2x 1 m(x 1)(1)是否存在實數(shù)m，使不等式對任意的x R恒成立？并說明理由.(2) 若對于m 2,2不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.【答案】(1 1)不存在實數(shù)m，使不等式恒成立；(2 2)x

24、|-丄7x1 32 22【解析】試題分析：(1 1)由原不等式等價于mx 2x (1 m) 0若對于任意x恒成立, 列出不是，即可得到結(jié)論；(2 2)設(shè)f(m) (x21)m (2x 1)，當(dāng)m 2,2時，f (m)0恒成立，列出不等式組，即可求解實數(shù)x的取值范圍.試題解析：(1 1)原不等式等價于mx22x (1 m) 0若對于任意x恒成立, 必須m 0,解得m,0,所以不存在實數(shù)m，使不等式恒成立.(2 2)設(shè)f (m) (x21)m (2x 1),當(dāng)m 2,2時，f (m)0恒成立，f (2)0,剛2x22x 10,必須即f( 2)0, 2x22x 3 0,1713 x的范圍是x |x第

25、2121頁共 1616 頁2 2【考點】一元二次不等式的求解及應(yīng)用.第2222頁共 1616 頁2121 經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)某公路汽車的車流量車的平均速度v（千米/ /時）之間的函數(shù)關(guān)系為yv 0. .v 3v 1600（1 1） 在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量是多少（精確到0.1千輛/ /時）？（2 2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/ /時，則汽車的平均速度應(yīng)該在什么范圍內(nèi)？【答案】（1 1 ）當(dāng)v 40時，車流量最大，最大車流量為11.1（千輛/ /時）；（2 2）25,64920y -【解析】（1 1）將函數(shù)解析式變形為，門1600

26、，利用基本不等式可求得結(jié)果，3v -v由等號成立求得對應(yīng)的v值，即可得解；（2 2）解不等式2920710即可求得v的取值范圍，進而可得解. .v23v 1600【詳解】920920920y - - ”-（1 1） 依題意316003 2160083，當(dāng)且僅當(dāng)v 40等號成立，3vv920最大車流量y11.1（千輛/ /時）；83（2） 由條件得 二一920v10，整理得 v v289v89v 16001600 0 0 ,解得25 v 64. .v23v 1600故汽車的平均速度應(yīng)該在25,64范圍內(nèi). .【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，同時也考查了分式不等式的求解，考查運算求解能力，屬于中

27、等題 1352222 .已知函數(shù)f xCOSX，且數(shù)列an滿足X2*an 1annf一3 n N3（0若數(shù)列an是等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式；（2 2）若對任意的n N*，都有ann20成立，求a1的取值范圍 【答案】(1 1)ann 1； (2 2)1,9y（千輛/ /時）與汽第2323頁共 1616 頁【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由已知條件得出an 1an2n 3，由n 1和n 2可得出關(guān)于a1和d的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的通項公式可第2424頁共 1616 頁求得an；(2 2)推導(dǎo)出anan 12 n 2，可知數(shù)列a.中的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成以2為公 差

28、的等差數(shù)列，以此求出數(shù)列an的通項公式，然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，2結(jié)合ann0恒成立，利用參變量分離法可求得ai的取值范圍 【詳解】因此，數(shù)列an的通項公式為ana1兩式相減得an 1an 12，差的等差數(shù)列(1(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意得32，故an1an2n 3，則a2a1亍a3a22c53d 7，解得d 1，ai(2(2)由(1 1)知，當(dāng)n 2時，an 1an2n，anan 12(n1)3，數(shù)列a2n是以a2為首項，2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列a2n1是以a1為首又Q a1a25a2a1,當(dāng)n為偶數(shù)a2當(dāng)n為奇數(shù)ai2 n 1a1. .n 1ann 3a1, n為奇數(shù)印川為偶數(shù).o因為對任0成立,當(dāng)n為奇數(shù)a*n2n 1ai0恒成立,2a1n n 1在n為奇數(shù)時恒成立,a11即,同理當(dāng)n為偶數(shù)時，如n2n 3印n20恒成立,2a1nn 3在n為偶數(shù)時恒成立,ai9. .綜上所述,a1的取值范圍是1,9. .第2525頁共 1616 頁【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解，同時也考查了利用數(shù)列不等式恒成立求參數(shù),分類討論思想的應(yīng)用與運算求解能力，屬于中等題1n項的均倒數(shù)”為一.n立， 試求實數(shù)m的取值范圍;存在，求出k值，否則說明理由 S，n 1可求得數(shù)列an的通項公式;SnSm, n 2，利用裂項法可求