微分中值定理與導數(shù)的應用習題

1、第四章 微分中值定理與導數(shù)的應用習題§4.1 微分中值定理1 填空題（）函數(shù)在上使拉格朗日中值定理結論成立的是（）設，則有 3 個實根，分別位于區(qū)間中2 選擇題（）羅爾定理中的三個條件:在上連續(xù)，在內可導，且，是在內至少存在一點，使成立的（ B ） A 必要條件 B充分條件 C 充要條件 D 既非充分也非必要條件（）下列函數(shù)在上滿足羅爾定理條件的是（ C ）A. B.    C.     D. （）若在內可導，且是內任意兩點，則至少存在一點，使下式成立（ B ）A B 在之間C D 3證明恒等式：證明： 令，則，所以為一常數(shù)設，又因為

2、，故 4若函數(shù)在內具有二階導數(shù)，且，其中 ，證明:在內至少有一點，使得證明：由于在上連續(xù),在可導,且，根據(jù)羅爾定理知，存在， 使 同理存在，使 又在上符合羅爾定理的條件，故有，使得5 證明方程有且僅有一個實根證明：設，則，根據(jù)零點存在定理至少存在一個， 使得另一方面，假設有，且，使，根據(jù)羅爾定理，存在使，即，這與矛盾故方程只有一個實根6 設函數(shù)的導函數(shù)在上連續(xù)，且，其中是介于之間的一個實數(shù) 證明： 存在, 使成立.證明： 由于在內可導，從而在閉區(qū)間內連續(xù)，在開區(qū)間內可導又因為，根據(jù)零點存在定理，必存在點，使得 同理，存在點，使得因此在上滿足羅爾定理的條件，故存在， 使成立7. 設函數(shù)在上連續(xù),

3、 在內可導. 試證:至少存在一點, 使 證明： 只需令，利用柯西中值定理即可證明.8證明下列不等式（）當時，證明： 設，函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，且, 故, 即 ()因此， 當時，（）當 時，證明：設，則函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理得條件，有因為，所以，又因為，所以，從而 §4.2 洛畢達法則1 填空題（） （） 0 （）= （）1選擇題（）下列各式運用洛必達法則正確的是（ B ）A B   C    不存在D =（） 在以下各式中，極限存在，但不能用洛必達法則計算的是（ C ）A B C   D 3 求下

4、列極限（） 解： =（）解： = （） 解：（） 解：（） 解：，（） 解：（） 解：（） 解： =（） 解： 因為，所以=1§4.3函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性1 填空題（） 函數(shù)的單調增加區(qū)間是，單調減少區(qū)間（）若函數(shù)二階導數(shù)存在，且，則在上是單調 增加 （）函數(shù)在內單調增加，則（）若點（1，3)為曲線的拐點，則，曲線的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為 2 單項選擇題（）下列函數(shù)中，（ A ）在指定區(qū)間內是單調減少的函數(shù).A. B. C. D. （）設，則在區(qū)間內（ B ）A. 單調增加，曲線為凹的 B.  單調減少，曲線為凹的  C.  單調減少，曲線為

5、凸的 單調增加，曲線為凸的（）在內可導, 且,當 時, ,則( D )A. 任意 B. 任意C. 單調增 D. 單調增（）設函數(shù)在上二階導數(shù)大于0, 則下列關系式成立的是（ B ）A. B. C. D. 2 求下列函數(shù)的單調區(qū)間（）解：，當時，,所以函數(shù)在區(qū)間為單調增加； 當時，所以函數(shù)在區(qū)間為單調減少（）解：，當，或時，,所以函數(shù)在區(qū)間為單調增加；當時，所以函數(shù)在區(qū)間為單調減少（）解： ，故函數(shù)在單調增加3 證明下列不等式（）證明： 對任意實數(shù)和, 成立不等式證明：令，則， 在內單調增加.于是, 由 , 就有 , 即 （）當時, 證明：設， ，由于當時，, 因此在單調遞增, 當 時, , 故

6、在單調遞增, 當 時, 有.故當時, 因此（）當 時，證明：設, ，當，所以在單調遞增, 當 時, , 故在單調遞增, 從而當 時, 有. 因此當 時，4 討論方程(其中為常數(shù))在內有幾個實根解：設 則在連續(xù), 且，由，得為內的唯一駐點在上單調減少，在上單調增加 故為極小值，因此在的最大值是,最小值是（） 當或時,方程在內無實根； （） 當時,有兩個實根；（） 當時，有唯一實根5 試確定曲線中的a、b、c、d，使得處曲線有水平切線，為拐點，且點在曲線上解： ,，所以解得： 6求下列函數(shù)圖形的拐點及凹或凸的區(qū)間（） 解： , ,令,得，當時不存在當或時, ,當或時, 故曲線在上是凸的, 在區(qū)間和

7、上是凹的，曲線的拐點為 （）拐點及凹或凸的區(qū)間解： ，當時，不存在；當時， 故曲線在上是凸的, 在上是凹的，是曲線的拐點, 7利用凹凸性證明: 當時, 證明：令, 則, 當時, , 故函數(shù)的圖形在上是凸的, 從而曲線在線段（其中）的上方，又, 因此,即§4.4 函數(shù)的極值與最大值最小值1 填空題（）函數(shù)取極小值的點是（） 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為 2選擇題（） 設在內有二階導數(shù)，問還要滿足以下哪個條件，則必是的最大值？（C ）A 是的唯一駐點 B 是的極大值點C 在內恒為負 D不為零（） 已知對任意滿足，若，則（B）A. 為的極大值 B. 為的極小值C. 為拐點 D. 不是極

8、值點, 不是拐點（）若在至少二階可導, 且,則函數(shù)在處( )A 取得極大值 B 取得極小值 C 無極值 D 不一定有極值3 求下列函數(shù)的極值（）解：由，得，所以函數(shù)在點取得極小值（）解：定義域為，令得駐點，當時，當時，因此為極大值4 求的在上的最大值與最小值解：由，得, 而, 所以最大值為132，最小值為75 在半徑為的球內作一個內接圓錐體，問此圓錐體的高、底半徑為何值時，其體積最大解：設圓錐體的高為, 底半徑為,故圓錐體的體積為，由于，因此 ，由，得，此時由于內接錐體體積的最大值一定存在,且在的內部取得. 現(xiàn)在在內只有一個根,故當, 時, 內接錐體體積的最大6. 工廠與鐵路線的垂直距離為,

9、點到火車站的距離為. 欲修一條從工廠到鐵路的公路, 已知鐵路與公路每公里運費之比為，為了使火車站與工廠間的運費最省, 問點應選在何處？解: 設, 與間的運費為, 則 （）， 其中是某一正數(shù) 由 , 得. 由于, , , 其中以為最小, 因此當AD=km時, 總運費為最省7 寬為的運河垂直地流向寬為的運河. 設河岸是直的,問木料從一條運河流到另一條運河去,其長度最長為多少?解： 問題轉化為求過點的線段的最大值. 設木料的長度為, ，木料與河岸的夾角為，則，且 , 則 ，由得, 此時，故木料最長為§4.5 函數(shù)圖形的描繪求的漸近線.解：由 ，所以為曲線的鉛直漸近線因為 所以為曲線的斜漸近

10、線第四章 綜合練習題1填空題（） 0 （） 函數(shù)在區(qū)間內單調減少，在區(qū)間內單調增加（） 曲線的漸近線是（） 1 2 求下列極限（） 解：（） 解：=3 求證當時， 證明： 令, 則 , 當時, ，故在單調增 當時，有，即 4 設在上可導且，證明：存在點使.證明： 設, 則，且由拉格朗日中值定理知, 存在，使, 即5 設函數(shù)在上連續(xù),在內具有二階導數(shù)且存在相等的最大值, 且, , 證明： 存在,使得證明： 設分別在取得最大值， 則, 且 令當時, , 由羅爾定理知, 存在, 使, 進一步由羅爾定理知, 存在，使，即當時, ,，由零點存在定理可知，存在，使 由于，由前面證明知, 存在，使，即6 設,證明方程有且僅有一個正的實根證明：設當，顯然只有一個正的實根下考慮時的情況先證存在性：因為在內連續(xù)，且，由零點存在定理知，至少存在一個，使，即至少有一個正的實根再證唯一性：假設有，且，使，根據(jù)