概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、基本公式要掌握 首先必須會(huì)計(jì)算古典型概率，這個(gè)用高中數(shù)學(xué)的知識(shí)就可解決，如果在解古典概率方面有些薄弱，就應(yīng)該系統(tǒng)地把高中數(shù)學(xué)中的概率知識(shí)復(fù)習(xí)一遍了，而且要將每類(lèi)型的概率求解問(wèn)題都做會(huì)了，雖然不一定會(huì)考到，但也要預(yù)防萬(wàn)一，而且為后面的復(fù)習(xí)做準(zhǔn)備。 第一章內(nèi)容：隨機(jī)事件和概率，也是后面內(nèi)容的基礎(chǔ)，基本的概念、關(guān)系一定要分辨清楚。條件概率、全概率公式和貝葉斯公式是重點(diǎn)，計(jì)算概率的除了上面提到的古典型概率，還有伯努利概型和幾何概型也是要重點(diǎn)掌握的。 第二章是隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的概念、性質(zhì)要理解，常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量及其概率分布：0-1分布、二項(xiàng)分布B(n,p)、幾何分布、超幾何分布

2、、泊松分布P();連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度的概念;均勻分布U(a,b)、正態(tài)分布N(,2)、指數(shù)分布等，以上它們的性質(zhì)特點(diǎn)要記清楚并能熟練應(yīng)用，考題中常會(huì)有涉及。 第三章多維隨機(jī)變量及其分布，主要是二維的。大綱中規(guī)定的考試內(nèi)容有：二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度，隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性，常用二維隨機(jī)變量的分布，兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布。 第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征，這部分內(nèi)容掌握起來(lái)不難，主要是記憶一些相關(guān)公式，以及常見(jiàn)分布的數(shù)字特征。大數(shù)定律和中心極限定理這部分也是在理解的基礎(chǔ)上以記憶為主，再配合做相關(guān)的練

3、習(xí)題就可輕松搞定。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)這部分的考查難度也不大，首先基本概念都了解清楚。2分布、t分布和F分布的概念及性質(zhì)要熟悉，考題中常會(huì)有涉及。參數(shù)估計(jì)的矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法，驗(yàn)證估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性是要重點(diǎn)掌握的。單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的區(qū)間估計(jì)是考點(diǎn)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章隨機(jī)事件及其概率§1.1 隨機(jī)事件一、給出事件描述，要求用運(yùn)算關(guān)系符表示事件：二、給出事件運(yùn)算關(guān)系符，要求判斷其正確性：§1.2 概率古典概型公式：P（A）=實(shí)用中經(jīng)常采用“排列組合”的方法計(jì)算補(bǔ)例1：將n個(gè)球隨機(jī)地放到n個(gè)盒中去，問(wèn)每個(gè)盒子恰有1個(gè)球的概率是多少？解：設(shè)A：“每個(gè)盒子恰有1個(gè)球

4、”。求：P(A)=？所含樣本點(diǎn)數(shù)：所含樣本點(diǎn)數(shù)：補(bǔ)例2：將3封信隨機(jī)地放入4個(gè)信箱中，問(wèn)信箱中信的封數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少？解：設(shè)Ai ：“信箱中信的最大封數(shù)為i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=？所含樣本點(diǎn)數(shù)：A1所含樣本點(diǎn)數(shù)：A2所含樣本點(diǎn)數(shù)： A3所含樣本點(diǎn)數(shù)：注：由概率定義得出的幾個(gè)性質(zhì)：1、0<P（A）<12、P()=1，P() =0§1.3 概率的加法法則定理：設(shè)A、B是互不相容事件（AB=），則： P（AB）=P（A）+P（B）推論1：設(shè)A1、 A2、 An 互不相容，則P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2) +

5、P(An) 推論2：設(shè)A1、 A2、 An 構(gòu)成完備事件組，則P(A1+A2+.+ An)=1推論3： P（A）=1P（）推論4：若BA，則P(BA)= P(B)P(A)推論5（廣義加法公式）：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，有P(AB)=P(A)+P(B)P(A B)補(bǔ)充對(duì)偶律：§1.4 條件概率與乘法法則條件概率公式：P(A/B)=（P(B)0）P(B/A)= （P(A)0）P（AB）=P（A/B）P（B）= P（B / A）P（A）有時(shí)須與P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）中的P（AB）聯(lián)系解題。全概率與逆概率公式：全概率公式： 逆概率公式： （注意全概率公式和逆概率公式的題型：

6、將試驗(yàn)可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）§1.5 獨(dú)立試驗(yàn)概型事件的獨(dú)立性： 貝努里公式（n重貝努里試驗(yàn)概率計(jì)算公式）：課本P24另兩個(gè)解題中常用的結(jié)論1、定理：有四對(duì)事件：A與B、A與、與B、與，如果其中有一對(duì)相互獨(dú)立，則其余三對(duì)也相互獨(dú)立。2、公式：第二章 隨機(jī)變量及其分布一、關(guān)于離散型隨機(jī)變量的分布問(wèn)題1、求分布列：確定各種事件，記為x寫(xiě)成一行； 計(jì)算各種事件概率，記為p k寫(xiě)成第二行。得到的表即為所求的分布列。注意：應(yīng)符合性質(zhì)1、（非負(fù)性） 2、（可加性和規(guī)范性）補(bǔ)例1：將一顆骰子

7、連擲2次，以x 表示兩次所得結(jié)果之和，試寫(xiě)出x的概率分布。解：所含樣本點(diǎn)數(shù)：6×6=36所求分布列為：1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36pk12111098765432x補(bǔ)例2：一袋中有5只乒乓球，編號(hào)1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以x表示取出3只球中最大號(hào)碼，試寫(xiě)出x的概率分布。解：所含樣本點(diǎn)數(shù)：=106/103/101/10p k543x所求分布列為：2、求分布函數(shù)F(x)：分布函數(shù)二、關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布問(wèn)題：xR，如果隨機(jī)變量x的分布函數(shù)F（x）可寫(xiě)成F（x）=，則x為連續(xù)型。稱(chēng)概率密度函數(shù)。解題中應(yīng)該知道的幾

8、個(gè)關(guān)系式： 第三章 隨機(jī)變量數(shù)字特征一、求離散型隨機(jī)變量x 的數(shù)學(xué)期望Ex =？數(shù)學(xué)期望（均值） 二、設(shè)x 為隨機(jī)變量，f(x)是普通實(shí)函數(shù)，則=f(x)也是隨機(jī)變量，求E=?xx1x2xkpkp1p2pk= f(x)y1y2yk以上計(jì)算只要求這種離散型的。補(bǔ)例1：設(shè)x的概率分布為：x1012pk求：，的概率分布；。解：因?yàn)閤1012pk=x12101=x21014所以，所求分布列為：=x12101pk和：=x21014pk當(dāng)=x1時(shí)，E=E（x1）=2×+(1)×+0×+1×+×=1/4當(dāng)=x2時(shí)，E=E x2=1×+0×

9、+1×+4×+×=27/8三、求x 或的方差Dx =？ D=？實(shí)用公式=其中，= =補(bǔ)例2：x202pk0.40.30.3求：E x 和D x 解：=2×0.4+0×0.3+2×0.3=0.22=（2）2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8=2=2.8（0.2）2=2.76第四章 幾種重要的分布（6個(gè)）常用分布的均值與方差（解題必備速查表）名稱(chēng)概率分布或密度期望方差參數(shù)范圍0-1分布二項(xiàng)分布n pn p q0<P<1q=1p正態(tài)分布任意>0泊松分布>0指數(shù)分布&g

10、t;0均勻分布解題中經(jīng)常需要運(yùn)用的E x 和D x 的性質(zhì)（同志們解題必備速查表）E x的性質(zhì)D x 的性質(zhì)第八章 參數(shù)估計(jì)§8.1 估計(jì)量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)（以下可作填空或選擇） 若總體參數(shù)的估計(jì)量為，如果對(duì)任給的>0，有，則稱(chēng)是的一致估計(jì)； 如果滿(mǎn)足，則稱(chēng)是的無(wú)偏估計(jì)； 如果和均是的無(wú)偏估計(jì)，若，則稱(chēng)是比有效的估計(jì)量。§8.3 區(qū)間估計(jì)：幾個(gè)術(shù)語(yǔ)1、設(shè)總體分布含有一位置參數(shù)，若由樣本算得的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量及，對(duì)于給定的（0<<1）滿(mǎn)足：則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間（，）是的100（1）的置信區(qū)間，和稱(chēng)為的100（1）的置信下、上限，百分?jǐn)?shù)100（1）稱(chēng)為置信度（置信水平）。一、求總

11、體期望（均值）E x 的置信區(qū)間1、總體方差已知的類(lèi)型據(jù)，得1，反查表（課本P260表）得臨界值；= 求d= 置信區(qū)間（-d，+d）補(bǔ)簡(jiǎn)例：設(shè)總體隨機(jī)取4個(gè)樣本其觀測(cè)值為12.6，13.4，12.8，13.2，求總體均值的95%的置信區(qū)間。解：1=0.95，=0.05（U）=1=0.975，反查表得：U=1.96=0.3，n=4 d=0.29所以，總體均值的=0.05的置信區(qū)間為： （d，d）=（130.29，130.29）即（12.71，13.29）2、總體方差未知的類(lèi)型（這種類(lèi)型十分重要！務(wù)必掌握?。?jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；確定=和 求d= 置信

12、區(qū)間（-d，+d）注：無(wú)特別聲明，一般可保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，下同。二、求總體方差的置信區(qū)間據(jù)和自由度n1（n為樣本數(shù)），查表得臨界值： 和確定=和上限 下限置信區(qū)間（下限，上限）典型例題： 補(bǔ)例1：課本P166之16 已知某種木材橫紋抗壓力的實(shí)驗(yàn)值服從正態(tài)分布，對(duì)10個(gè)試件作橫紋抗壓力試驗(yàn)得數(shù)據(jù)如下（單位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469試對(duì)該木材橫紋抗壓力的方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（0.04）。解：=0.04，又n=10，自由度n1=9查表得，=19.7=2.53=457.5=+=1240.28上限=4412.06下限=566.63所以，所求該批木材橫紋抗壓

13、力的方差的置信區(qū)間為（566.63，4412.06）第九章 假設(shè)檢驗(yàn)必須熟練掌握一個(gè)正態(tài)總體假設(shè)檢驗(yàn)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)一般思路：1、提出待檢假設(shè)H02、選擇統(tǒng)計(jì)量3、據(jù)檢驗(yàn)水平，確定臨界值4、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值5、作出判斷檢驗(yàn)類(lèi)型：未知方差，檢驗(yàn)總體期望(均值)根據(jù)題設(shè)條件，提出H0:= (已知)；選擇統(tǒng)計(jì)量；據(jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；由樣本值算出？和？從而得到；作出判斷典型例題：對(duì)一批新的某種液體的存貯罐進(jìn)行耐裂試驗(yàn)，抽查5個(gè)，得到爆破壓力的數(shù)據(jù)（公斤/寸2 ）為：545，545，530，550，545。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)爆破壓認(rèn)為是服從正態(tài)分布的，而過(guò)去該種液體存貯罐的平均爆破壓力為549公斤/寸2 ，問(wèn)這種新罐的爆破壓與過(guò)去有無(wú)顯著差異？（=0.05）解：H0:= 549選擇統(tǒng)計(jì)量=0.05，n1=4，查表得：=2.776又=543 s2=57.5=1.77<2.776接受假設(shè)，即認(rèn)為該批新罐得平均保爆破壓與過(guò)去的無(wú)顯著差異。檢驗(yàn)類(lèi)型：未知期望(均值)，檢驗(yàn)總體方差根據(jù)題設(shè)條件，提出H0:= (已知)；選擇統(tǒng)計(jì)量；據(jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P264表）得臨界值：和；由樣本值算出？和？從而得到；若<<則接受假設(shè)，否則拒絕!補(bǔ)例：某廠生產(chǎn)銅絲的折斷力在正常情