8-4空間中的垂直關(guān)系

1、 8-4空間中的垂直關(guān)系一、選擇題1平面垂直于平面(、為不重合的平面)成立的一個(gè)充分條件是()A存在一條直線l，l，lB存在一個(gè)平面，C存在一個(gè)平面，D存在一條直線l，l，l分析本題主要考查立體幾何及簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí)由充分條件的含義可知本題就是要從四個(gè)選項(xiàng)中尋求使平面平面成立的一個(gè)條件答案D解析對(duì)于選項(xiàng)A，l，l；對(duì)于選項(xiàng)B，；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)，成立時(shí)，平面，的關(guān)系是不確定的；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)l，l成立時(shí)，說(shuō)明在內(nèi)必存在一條直線m，滿足m，從而有成立2(2011·浙江理，4)下列命題中錯(cuò)誤的是()A如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存

2、在直線垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面答案D解析本題主要考查空間中的線面、面面關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)于A、內(nèi)存在直線平行于與的交線，故內(nèi)必存在直線平行于，正確；對(duì)于B，由于不垂直于，內(nèi)一定不存在直線垂直于，否則，正確；對(duì)于C，由平面與平面垂直的性質(zhì)知正確，故D不正確，選D.3(文)(教材改編題)“直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直”是“直線與平面垂直的”()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件答案B解析由直線與平面垂直的定義知，為必要不充分條件(理)設(shè)平面，l，直線a，直線b，且a不與l垂直，b不與l垂直，則a與

3、b()A可能垂直，不可能平行B可能平行，不可能垂直C可能垂直，也可能平行D不可能垂直，也不可能平行答案B解析當(dāng)al，bl時(shí)，ab.假設(shè)ab，如下圖，過(guò)a上一點(diǎn)作cl，則c.bc.又ba，b，bl，與已知矛盾4在正四面體PABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC答案C解析D、F分別為AB、CA中點(diǎn)，DFBC.BC面PDF，故A正確又PABC為正四面體，P在底面ABC內(nèi)的射影O在AE上PO面ABC.PODF.又E為BC中點(diǎn)，AEBC，AEDF.又POAEO，DF面PAE，故B正確又PO

4、面PAE，PO面ABC，面PAE面ABC，故D正確四個(gè)結(jié)論中不成立的是C.5定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)P，PB，C是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且PCAC.那么，動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是()A一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)B一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)D半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)答案B解析連接BC，PB，ACPB.又PCAC，ACBC.C在以AB為直徑的圓上除去A、B兩點(diǎn)故選B.6(2012·北京海淀區(qū)期末)已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面下列命題中不正確的是()A若m，n，則mnB若mn，m，則nC若m，m，則D若m，m，則答案A解析選項(xiàng)A中，直線m與直線n也可能異面，因

5、此A不正確二、填空題7設(shè)x，y，z是空間不同的直線或平面，對(duì)于下列四種情形，使“xz且yzxy”為真命題的是_(只填序號(hào))x，y，z均為直線；x，y是直線，z是平面；z是直線，x，y是平面；x，y，z均為平面答案解析中，x與y的位置關(guān)系可以為相交、平行或異面，故為假命題；由線面垂直的性質(zhì)定理知，為真命題；中，x，y也可相交8在ABC中，ACB90°，AB8，ABC60°，PC平面ABC，PC4，M是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為_(kāi)答案2解析如下圖，PC平面ABC，MC面ABC，PCMC.故PM.又MC的最小值為2，PM的最小值為2.三、解答題9(文)(2011·

6、陜西文，16)如下圖，在ABC中，ABC45°，BAC90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90°.(1)證明：平面ADB平面BDC；(2)若BD1，求三棱錐DABC的表面積解析(1)折起前AD是BC邊上的高當(dāng)ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由(1)知，DADB，DBDC，DCDA，DBDADC1，ABBCCA，從而SDABSDBCSDCA×1×1，SABC×××sin60°，三棱錐DABC的表面積S×3

7、.(理)(2011·全國(guó)大綱卷理，19)如下圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，ABBC2，CDSD1.(1)證明：SD平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成的角的大小解析解法一：(1)取AB中點(diǎn)E，連接DE，則四邊形BCDE為矩形，DECB2，連接SE，則SEAB，SE，又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE為直角即SDSE.由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.SD與兩條相交直線AB、SE都垂直所以SD平面SAB.(2)由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE.作SFDE，垂足為F，則SF平面ABCD，SF.作F

8、GBC，垂足為G，則FGDC1，連接SG，則SGBC.又BCFG，SGFGG，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG.作FHSG，H為垂足，則FH平面SBC.FH，即F到平面SBC的距離為.由于EDBC，所以ED平面SBC，E到平面SBC的距離d也為.設(shè)AB與平面SBC所成的角為，則sin，arcsin.解法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)D(1,0,0)，則A(2,2,0)、B(0,2,0)又設(shè)S(x，y，z)，則x>0，y>0，z>0.(1)(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)，由|得，故x1.由|1得

9、y2z21，又由|2得x2(y2)2z24，即y2z24y10，故y，z.于是S(1，)，(1，)，(1，)，(0，)，·0，·0.故DSAS，DSBS，又ASBSS，所以SD平面SAB.(2)設(shè)平面SBC的法向量a(m，n，p)，則a，a，a·0，a·0，又(1，)，(0,2,0)，故取p2得a(，0,2)，又(2,0,0)，cos，a.故AB與平面SBC所成的角為arcsin.一、選擇題1如下圖(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分別是邊G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體(如下圖(2)所示)

10、，使G1、G2、G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，這樣，下面結(jié)論成立的是()ASG平面EFGBSD平面EFGCGF平面SEF DGD平面SEF答案A解析(1)直接法在圖(1)中，SG1G1E，SG3G3F，在圖(2)中，SGGE，SGGF，SG平面EFG.(2)(排除法)GF即G3F不垂直于SF，可以否定C；GSD中，GSa(正方形邊長(zhǎng))，GDa，SDa，SG2SD2GD2，SDG90°，從而否定B和D.2(文)a、b為不重合的直線，為不重合的平面，給出下列4個(gè)命題：a且abb；a且abb；a且abb；a且a.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案A解析b或b；b或b；a或a.(理)棱

11、長(zhǎng)都為2的直平行六面體ABCDA1B1C1D1中，BAD60°，則對(duì)角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成角的正弦值為()A.B.C.D.答案C解析過(guò)點(diǎn)A1作直線A1MD1C1，交C1D1延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，可得A1M平面DD1C1C，A1CM就是直線A1C與面DD1C1C所成的角由于所有棱長(zhǎng)均為2，及A1D1C1120°，得A1MA1D1sin60°，又A1C4，sinA1CM，故應(yīng)選C.二、填空題3已知P是ABC所在平面外一點(diǎn)，O是點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影(1)若P到ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則O是ABC的_(2)若平面PAB、PBC、PCA與平面所成的角相等，且O在ABC的

12、內(nèi)部，則O是ABC的_(3)若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是ABC的_答案(1)外心(2)內(nèi)心(3)垂心4如下圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí)，平面MBD平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)答案DMPC(或BMPC)解析由定理知，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時(shí)，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.三、解答題5(文)(2011·新課標(biāo)文，18)如下圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(

13、2)設(shè)PDAD1，求棱錐DPBC的高解析(1)證明：因?yàn)镈AB60°，AB2AD，由余弦定理得BDAD.從而B(niǎo)D2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.又PA平面PAD，故PABD.(2)如下圖，作DEPB，垂足為E，已知PD底面ABCD，則PDBC.由(1)知BDAD，又BCAD，所以BCBD.故BC平面PBD，BCDE.則DE平面PBC.由題設(shè)知PD1，則BD，PB2.根據(jù)DE·PBPD·BD，得DE.即棱錐DPBC的高為.(理)(2011·湖北文，18)如下圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，

14、側(cè)棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在側(cè)棱AA1上，點(diǎn)F在側(cè)棱BB1上，且AE2，BF.(1)求證：CFC1E；(2)求二面角ECFC1的大小解析解法一：(1)由已知可得CC13，CEC1F2，EF2AB2(AEBF)2，EFC1E，于是有EF2C1E2C1F2，CE2C1E2CC，所以C1EEF，C1ECE.又EFCEE，所以C1E平面CEF.又CF平面CEF，故CFC1E.(2)在CEF中，由(1)可得EFCF，CE2，于是有EF2CF2CE2，所以CFEF，又由(1)知CFC1E，且EFC1EE，所以CF平面C1EF.又C1F平面C1EF，故CFC1F.于是EFC1即為二面角ECFC1的平面角，由(1)知C

15、1EF是等腰直角三角形，所以EFC145°，即所求二面角ECFC1的大小為45°.解法二：建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,3)，E(0,0,2)，F(xiàn)(，1，)(1)(0，2，)，(，1，)，·0220，CFC1E.(2)(0，2,2)，設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，由m，m，得即可取m(0，1)設(shè)側(cè)面BC1的一個(gè)法向量為n，由n，n，及(，1,0)，(0,0,3)，可取n(1，0)設(shè)二面角FCFG的大小為，由于為銳角，所以cos，所以45°，即所求的二面角的大小為

16、45°.6.如下圖，在四棱錐SABCD中，側(cè)棱SASBSCSD，底面ABCD是菱形，AC與BD交于O點(diǎn)(1)求證：AC平面SBD；(2)若E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持PEAC，試寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，并證明你的結(jié)論分析本題考查了線線垂直和線面垂直關(guān)系的判定方法，旨在對(duì)推理論證能力、空間想象力和探究能力的考查第(1)問(wèn)要證線面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理，只要證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可；第(2)問(wèn)要探究保持線線垂直的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，只要找出與AC垂直且過(guò)E點(diǎn)的平面即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡解析(1)底面ABCD是菱形，O為中心ACBD，又SASC，ACSO，而S

17、OBDO，AC平面SBD.(2)取棱SC的中點(diǎn)M，CD的中點(diǎn)N，連接MN，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡即是線段MN.證明如下：連接EM、EN，E是BC的中點(diǎn)，M是SC的中點(diǎn)，EMSB，同理ENBD，AC平面SBD，ACSB，ACEM.同理ACEN，又EMENE，AC平面EMN，因此，當(dāng)P點(diǎn)在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有ACPE，P點(diǎn)不在線段MN上時(shí)，不可能有ACPE.點(diǎn)評(píng)由于考試說(shuō)明中對(duì)立體幾何部分整體要求的下降，故高考對(duì)立體幾何考查的難度不會(huì)太高但在空間位置關(guān)系的證明上，還是會(huì)一如既往地重點(diǎn)考查，并且在方式上會(huì)尋求突破和創(chuàng)新，變傳統(tǒng)證明為判斷型、探究型問(wèn)題，增加了難度，體現(xiàn)了能力立意，復(fù)習(xí)中需引起足夠重視7如下圖1，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60°，E是BC的中點(diǎn)將ABE沿AE折起后如下下圖2，使平面ABE平面ADCE，設(shè)F是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn)(1)求證：AEBD；(2)求證：平面PEF平面AECD；(3)判斷DE能否垂直于平面ABC，并說(shuō)明理由解析：(1)證明：設(shè)AE中點(diǎn)為M，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60