一次函數(shù)一次方程和一元一次不等式基礎(chǔ)知識講解

1、一次函數(shù)、一次方程和一元一次不等式（基礎(chǔ)）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1能用函數(shù)的觀點認(rèn)識一次函數(shù)、一次方程與一元一次不等式之間的聯(lián)系，能直觀地用圖形（在平面直角坐標(biāo)系中）來表示方程的解及不等式的解，建立數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化的思想2能運用一次函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的不等式問題及實際問題【要點梳理】要點一、一次函數(shù)與一元一次方程 一次函數(shù)（0，為常數(shù)）.當(dāng)函數(shù)0時，就得到了一元一次方程，此時自變量的值就是方程0的解.所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某一個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線（0，為常數(shù)），確定它與軸交點的橫坐標(biāo)的值.要點二、一次函數(shù)與一元一次不等式由于任

2、何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為0或0或0或0（、為常數(shù)，0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應(yīng)的自變量的取值范圍. 要點詮釋：求關(guān)于的一元一次不等式0（0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線0）上方部分的所有點的橫坐標(biāo)的范圍.要點三、一元一次方程與一元一次不等式我們已經(jīng)學(xué)過，利用不等式的性質(zhì)可以解得一個一元一次不等式的解集，這個不等式的解集的端點值就是我們把不等式中的不等號變?yōu)榈忍枙r對應(yīng)方程的解.要點四、如何確定兩個不等式的大小關(guān)系（，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值

3、時的自變量取值范圍直線在直線的上方對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)范圍【典型例題】類型一、一次函數(shù)與一元一次方程1、若直線與軸交于（5，0）點，那么關(guān)于的方程的解為_.【答案】【解析】0的解是直線與軸交點橫坐標(biāo).【總結(jié)升華】當(dāng)函數(shù)時，就得到了一元一次方程0，此時自變量的值就是方程0的解.舉一反三：【變式1】如圖，已知直線，則關(guān)于的方程的解_.【答案】4；提示：根據(jù)圖形知，當(dāng)1時，4，即時，4方程的解4【變式2】如圖，直線分別交軸和軸于點A、B，則關(guān)于的方程0的解為_.【答案】；提示：方程0的解其實就是當(dāng)時一次函數(shù)與軸的交點橫坐標(biāo)由圖知：直線與軸交于點（2，0），即當(dāng)2時，0.類型二、一次函數(shù)與一元一次不等式2

4、、（2015樂山模擬）如圖，直線y=kx+b交坐標(biāo)軸于A（3，0）、B（0，1）兩點，則不等式kxb0的解集為（）Ax3Bx3Cx3Dx3【思路點撥】求kxb0的解集，即為kx+b0，就是求函數(shù)值大于0時，x的取值范圍【答案】A；【解析】解：要求kxb0的解集，即為求kx+b0的解集，從圖象上可以看出等y0時，x3故選：A【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)與不等式的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用解決此類問題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個關(guān)鍵點（交點、原點等），做到數(shù)形結(jié)合舉一反三：【高清課堂：393614 一次函數(shù)與一元一次不等式，例2】【變式】如圖，直線與坐標(biāo)軸的兩個交點分別為A（2，0）和B（0，3）

5、，則不等式30的解集是（）A0B0C2D2【答案】A；提示：從圖象上知，直線的函數(shù)值隨的增大而增大，與軸的交點為B（0，3），即當(dāng)0時，3，所以當(dāng)0時，函數(shù)值33、直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解為（ ）A B C D無法確定【答案】B；【解析】從圖象上看的解，就是找到在的上方的部分圖象，看這部分圖象自變量的取值范圍.當(dāng)時，故選B.【總結(jié)升華】本題考察了用數(shù)形結(jié)合的方法求解不等式的大小關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出表示兩條直線的交點的橫坐標(biāo)，再根據(jù)在上方的圖象表示的函數(shù)值大，下方的圖象表示的函數(shù)值小來解題.舉一反三：【變式】直線：與直線：在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如

6、圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（）A1 B1C2D2【答案】B；提示：與直線：在同一平面直角坐標(biāo)系中的交點是（1，2），根據(jù)圖象得到1時不等式成立4、畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象求： (1)方程210的解； (2)不等式210的解集； (3)當(dāng)3時，的取值范圍； (4)當(dāng)33時，的取值范圍【思路點撥】可用兩點法先畫出函數(shù)的圖象，方程210的解從“數(shù)”看就是自變量取何值時，函數(shù)值是0，從“形”看方程210的解就相當(dāng)于確定直線與軸的交點，故圖象與軸交點的橫坐標(biāo)就是方程210的解同理：圖象在軸上方所有點的橫坐標(biāo)的集合就構(gòu)成不等式210的解集【答案與解析】解：列表：010在坐標(biāo)系內(nèi)描點(0，1)和，并過

7、這兩點畫直線，即得函數(shù)的圖象如圖所示(1)由圖象可知：直線與x軸交點， 方程210的解為；(2)由圖象可知：直線被軸在點分成兩部分，在點右側(cè)，圖象在軸的上方故不等式210的解集為；(3)過點(0，3)作平行于軸的直線交直線于點M，過M點作軸的垂線，垂足為N則N點坐標(biāo)為(1，0)；從圖象上觀察，在點(1，0)的左側(cè)，函數(shù)值3，則當(dāng)3時，自變量的取值范圍是1；(4)過(0，3)作軸的平行線交直線于點P，過P作軸的垂線，垂足為H，則點H的坐標(biāo)為(2，0)觀察圖象，在(2，0)的右側(cè)，在(1，0)的左側(cè)，函數(shù)值33 當(dāng)33時，自變量的取值范圍是21【總結(jié)升華】仔細(xì)體會一次函數(shù)與一元一次方程及一元一次不

8、等式之間的內(nèi)在聯(lián)系： (1)一元一次方程(是已知數(shù))的解就是直線上這點的橫坐標(biāo)；(2)一元一次不等式(，是已知數(shù)，且)的解集就是直線上滿足那條線段所對應(yīng)的自變量的取值范圍；(3)一元一次不等式(或)(是已知數(shù))的解集就是直線上滿足(或)那條射線所對應(yīng)的自變量的取值范圍.舉一反三：【變式】（2015秋蒙城縣校級月考）畫出函數(shù)y=2x+6的圖象，利用圖象：（1）求方程2x+6=0的解；（2）求不等式2x+60的解；（3）若2y2，求x的取值范圍【答案】解：圖象為：（1）觀察圖象知：該函數(shù)圖象經(jīng)過點（3，0），故方程2x+6=0的解為x=3；（2）觀察圖象知：當(dāng)x3時，y0，故不等式2x+60的解為x3；（3）當(dāng)2y2時，4x2類型三、用一次函數(shù)的性質(zhì)解決不等式的實際問題5、（1）如圖，是函數(shù)的圖象，它與軸的交點坐標(biāo)是（3，0），則方程0的解是_；不等式0的解集是_.（2）如圖：OC，AB分別表示甲、乙兩人在一次賽跑中各自的路程S（米）和時間t（秒）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象寫出一個正確的結(jié)論_.【答案】（1）；（2）根據(jù)圖象的性質(zhì)可以得到，兩個兩個函數(shù)的交點意義是當(dāng)9秒時，兩個人跑的路程相等，即兩個人相遇；或者從圖象上看出乙的速度比甲的速度快乙的速度比甲的速度快；（答案不唯一）【解析】（1）從圖象上得到函數(shù)的增減性及與軸的交點的橫坐標(biāo)，即能求得方程0的