數(shù)學期望的計算方法及其應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學期望的計算方法及其應(yīng)用摘要：在概率論中，數(shù)學期望是隨機變量一個重要的數(shù)字特征，它比較集中的反映了隨機變量的某個側(cè)面的平均性，而且隨機變量的其他數(shù)字特征都是由數(shù)學期望來定義的，因此對隨機變量的數(shù)學期望的計算方法的研究與探討具有很深的實際意義。本論文著重總結(jié)了隨機變量的數(shù)學期望在離散型隨機變量分布與連續(xù)型隨機變量分布下的一些常用的計算方法，如利用數(shù)學期望的定義和性質(zhì)，利用不同分布的數(shù)學期望公式等等，并通過一些具體的例子說明不停的計算方法在不同情況下的應(yīng)用，以達到計算最簡化的目的。本文還通過介紹了一些隨機變量數(shù)學期望的計算技巧，并探討了各種簡化計算隨機變量數(shù)學期望的方法

2、，利用一些特殊求和與積分公式，利用數(shù)學期望定義的不同形式，利用隨機變量分布的對稱性、重期望公式以及特征函數(shù)等，并通過例題使我們更加了解和掌握這些計算技巧，已達到學習該內(nèi)容的目的。關(guān)鍵詞：離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 數(shù)學期望 計算方法ABSTRACT：第一節(jié) 離散型隨機變量數(shù)學期望的計算方法及應(yīng)用1.1 利用數(shù)學期望的定義，即定義法 定義：設(shè)離散型隨機變量分布列為則隨機變量的數(shù)學期望E(X)=注意：這里要求級數(shù)絕對收斂，若級數(shù)不收斂，則隨機變量的數(shù)學期望不存在例1 某推銷人與工廠約定，永川把一箱貨物按期無損地運到目的地可得傭金10元，若不按期則扣2元，若貨物有損則扣5元，若既不按期又有損壞則

3、扣16元。推銷人按他的經(jīng)驗認為，一箱貨物按期無損的的運到目的地有60把握，不按期到達占20，貨物有損占10，不按期又有損的占10。試問推銷人在用船運送貨物時，每箱期望得到多少？解 設(shè)表示該推銷人用船運送貨物時每箱可得錢數(shù)，則按題意，的分布為 8 5 -60.6 0.2 0.1 按數(shù)學期望定義，該推銷人每箱期望可得10×0.68×0.25×0.16×0.17.5元1.2 公式法對于實際問題中的隨機變量，假如我能夠判定它服從某重點性分布特征（如二項分布，泊松分布，超幾何分布等），則我們就可以直接利用典型分布的數(shù)學期望公式來求此隨機變量的期望。（1） 二點分布

4、：，則（2） 二項分布：，則（3） 幾何分布：,則有（4） 泊松分布：，有（5） 超幾何分布：,有例2 一個實驗競賽考試方式為：參賽者從6道題中一次性隨機抽取3道題,按要求獨立完成題目.競賽規(guī)定：至少正確完成其中2題者方可通過,已知6道備選題中參賽者甲有4題能正確完成,2題不能完成；參賽者乙每題能正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響. 分別求出甲、乙兩參賽者正確完成題數(shù)的數(shù)學期望.解 設(shè)參賽者甲正確完成的題數(shù)為,則服從超幾何分布,其中,設(shè)參賽者乙正確完成的題數(shù)為,則,1.3 性質(zhì)法利用數(shù)學期望的性質(zhì)求期望，主要性質(zhì)有： 其中為隨機變量，為常數(shù)。例3 某工程隊完成某項工程的時間(單位：

5、月)是一個隨機變量，它的分布列為 （1）試求該工程隊完成此項任務(wù)的平均月數(shù)；（2）社該工程隊所獲利潤為,單位為萬元。試求工程隊的平均利潤。解（1）根據(jù)題意，我們可求平均月數(shù)為：月（2）由（1）知，則可得 1.5 利用逐項微分法這種方法是對于概率分布中含有參數(shù)的隨機變量而言的，我們可以通過逐項求微分的方法求解出隨機變量的數(shù)學期望，關(guān)鍵步驟是對分布列的性質(zhì)兩邊關(guān)于參數(shù)進行求導，從而解出數(shù)學期望。例5 設(shè)隨機變量，求。解 因為，故 其中 則 （1）對（1）式兩邊關(guān)于求導得 根據(jù)數(shù)學期望的定義知：且知因此上式可以寫成：從而解得 1.6 利用條件數(shù)學期望公式法條件分布的數(shù)學期望稱為條件數(shù)學期望，它主要應(yīng)

6、用于二維隨機變量。在為二維離散隨機變量場合下，其計算公式為：或例6 設(shè)二維離散隨機變量的聯(lián)合分布列為012301234500.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05試求和解 要求，首先得求同理可得 用同樣的方法，我們可得1.7 利用重期望公式法重期望是在條件期望的基礎(chǔ)之下產(chǎn)生的，是的函數(shù)，對的不同取值，條件期望的取值也在變化，因此我們可以把看作一個隨機變量。重期望的公式是,此公式的前提是存在。如果是一個離散隨機變量，則重期望公式可改寫成為例7 口袋中有編

7、碼為的個球，從中任取一球，若取到1號球，則得1分，且停止摸球；若取得號球，則得分，且將此球放回，重新摸球。如此下去，試求得到的平均總分數(shù)。解 記為得到的總分數(shù)，為第一次取到的球的號碼，則又因為，而當時， 所以由此解得 第二節(jié) 連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的計算方法及應(yīng)用連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義和含義完全類似于離散隨機變量的，只要在離散隨機變量的數(shù)學期望定義中用密度函數(shù)代替分布列，用積分是代替和式，即得到連續(xù)場合下數(shù)學期望的定義。2.1 定義法設(shè)連續(xù)隨機變量有密度函數(shù)，如果積分 有限（收斂），則稱 為的數(shù)學期望。若 無限（不收斂），則說的數(shù)學期望不存在。例8 設(shè)隨機變量服從均勻分布，求它的數(shù)學期

8、望。解 由于，則它的密度函數(shù)為 則根據(jù)定義它的數(shù)學期望為 可見，均勻分布的數(shù)學期望位于區(qū)間的中點，即均勻分布具有對稱性，下一節(jié)中我們將介紹利用分布圖像的對稱性來求數(shù)學期望。例9 密度函數(shù)為 的分布稱為柯西分布。其數(shù)學期望不存在，這是因為積分 無限。2.2 特殊積分法連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望為，在計算連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望時，常常會用到一些特殊的求積分的性質(zhì)和方法，如基函數(shù)在對稱區(qū)間的積分值為0，還有第一換元積分等，都會給我們的計算帶來簡便。例10 設(shè)隨機變量，證明證 在的積分表達始終做變換可得 由于上式右端第一個積分的被積函數(shù)為奇函數(shù)，鼓起積分為0，第二個積分恰為，故得2.3 利用特征函數(shù)特

9、征函數(shù)的定義：設(shè)是一個隨機變量，稱 , ，為的特征函數(shù)，設(shè)連續(xù)隨機變量有密度函數(shù)，則的特征函數(shù)為 根據(jù)上式，我們可以求出隨機變量分布的特征函數(shù)，然后利用特征函數(shù)的性質(zhì)：求出數(shù)學期望，即例11 設(shè)隨機變量，求解 因為隨機變量，則的特征函數(shù)為其一階導數(shù)為則由特征函數(shù)的性質(zhì)得注：此題關(guān)鍵是球正態(tài)分布的特征函數(shù)，我們可以先求出標準正態(tài)分布的特征函數(shù)，在利用特征函數(shù)的性質(zhì)求出正態(tài)分布的特征函數(shù)。2.4 逐項微分法這種方法同樣適用于密度函數(shù)中含有參數(shù)的連續(xù)型隨機變量分布，也是對兩邊對參數(shù)求導數(shù)來解出數(shù)學期望。例12 設(shè)隨機變量服從指數(shù)分布即，求解 因為，則的密度函數(shù) 則由， 得 對兩邊關(guān)于參數(shù)求導得 從而

10、解得2.5 條件數(shù)學期望公式在連續(xù)型隨機變量場合下，條件數(shù)學期望同樣適用，其計算公式為 例13 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 試在解 由題意知， 2.6 利用重期望公式在是一個連續(xù)隨機變量時，重期望公式可改寫成為例14 設(shè)電力公司每月可以供應(yīng)某工廠的電力服從上的均勻分布，而該工廠每月實際需要的電力服從上的均勻分布。如果工廠能從電力公司得到足夠的電力，則每電可以創(chuàng)造30萬元的利潤，若工廠得不到足夠的電力，則不足部分由工廠通過其他途徑解決，由其他途徑得到的電力每獲利10萬元，失球該廠每個月的平均利潤。解 從題意知，每月供應(yīng)電力,而工廠實際需要電力。若設(shè)工廠每月的利潤為萬元，則按題意可得 在給定時

11、，僅是的函數(shù)，于是當時，的條件期望為當時，的條件期望為然后用的分布對條件期望再作一次平均，即得所以該廠每月的平均利潤為433萬元第三節(jié) 隨機變量數(shù)學期望的計算技巧3.1 利用數(shù)學期望的性質(zhì)，化整為零當一個隨機變量的分布列較為復雜時，若直接求它的數(shù)學期望會很困難，我們可以通過將它轉(zhuǎn)化成比較常見的簡單的隨機變量之和來解決。主要是利用數(shù)學期望的性質(zhì)來時問題簡單化。例15 設(shè)一袋中裝有只顏色各不相同的球，每次從中任取一只，有放回地摸取次，以表示在次摸球中摸到球的不同顏色的數(shù)目，求解 直接寫出的分布列較為困難，其原因在于：若第種顏色的球被取到過，則此種顏色的球又可被取到過一次、二次次，情況較多，而其對立

12、事件 “第種顏色的球沒被取到過”的概率容易寫出為為此令這些相當于是計數(shù)器，分別記錄下第種顏色的球是否被取到過，而是取到過的不同顏色總數(shù)，所以由可得 所以 例16 設(shè)，求解 由題意知， 方法一：根據(jù)數(shù)學期望的定義有 方法二：令表示貝努力試驗中的出現(xiàn)的次數(shù)，則相互獨立而且同分布，均服從3.2 利用二重積分的極坐標變換求解這種方法只是用于二維連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的求解。例17 設(shè)隨機變量相互獨立，且均服從分布，求的數(shù)學期望。解 由題意知的密度函數(shù)為可得 令 則可得3.3 巧用特殊求和公式例18 對一批產(chǎn)品進行檢驗,如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認為這批產(chǎn)品合格,如在尚未超過第件時已檢查到不合格品

13、即停止繼續(xù)檢查,且認為這批產(chǎn)品為不合格.設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大,可以認為每次檢查查到不合格品的概率都是,問平均每批要檢查多少件？解 設(shè)表示每批所需檢驗的產(chǎn)品數(shù)，那的分布列是注：這里主要用到的求和公式是3.4利用分布圖象的對稱性6 當分布列或密度函數(shù)具有對稱性時，隨機變量數(shù)學期望的取值集中位置就是對稱中心或?qū)ΨQ軸，我們可以利用對稱性使比較復雜的問題簡單化。尤其，當隨機變量服從均勻分布時，它的數(shù)學期望取值為它的對稱中心，即；當隨機變量服從正態(tài)分布時，我們由它的圖象知是它的對稱軸，故它的數(shù)學期望取值為例19 若正的獨立隨機變量，服從相同的發(fā)布，是證明證明 由分布的對稱性知 同分布，故 例20 設(shè)在區(qū)間上隨機地取個點，以表示相距最遠的兩點間的距離，求解 由題意知，個點把區(qū)間分成了段，它們的長度依次記為，根據(jù)對稱性，每個都有相同的概率分布和數(shù)學期望，且，故，又因為個點中相距最遠