極值點偏移的常見解法.docx

1、極值點偏移的常見解法作者：錢春林來源：中學(xué)課程輔導(dǎo)高考版2018年第09期在二次函數(shù)/(x)中，若/(xo=0,當/(羽)=/(x2)=X4-X2=2xo這時極值點勾在工】口2的中間.若極值點務(wù)不在X1,X2的中間.而有Xi+X22西.或XI+命V2初，則稱極值點發(fā)生偏移.產(chǎn)生偏移是由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖象沒有軸對稱性.如下圖所示.此類問題在近幾年高考及各種?？贾?，作為熱點經(jīng)常以壓軸題的形式給出，對同學(xué)們的能力要求比較高，這里介紹幾種常見的應(yīng)對方法.一、構(gòu)造對稱函數(shù)例1(2010天津理)已知函數(shù)/(1)=及(衛(wèi)R)如果xt尹女，且/(勾)=/(及)，證明：羽+刀2.解析:

2、法一：/(x)=(l-x)e-S易得在(-oo,l)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減工-8時,/(&)-*8,/(0)=0,X+8時,/XQf0,函數(shù)/()在衛(wèi)=1處取得極大值/,且/(1)=土，由/(X1)=/(X2)X17X2不妨設(shè)XlVl2.則必有owe,構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(14-x)-/(l-x),x(0,1,則尸00=，(1+)+/(1)=有(一1)0,所以FGr)在x6(0,l上單調(diào)遞增,FGr)F(O)=0,也即/(H-x/(l-x)對工(0,1恒成立.rtlOxil/(1一(1一益)=/3)=/(正)，即/(2一刀)/(恐)，又因為2一與，及(1,+8),且/&)在(1,

3、+8)上單調(diào)遞減，所以2刀2.法二:欲證與+急2,即證x22-xm由法一知0xilx2,故2一，力6(1,+8),又因為/Cr)在(l,+oo)上單調(diào)遞減故只需證/(x2)/(2一與)，又因為/(X!)=/(XZ),故也即證/()/(2-),構(gòu)造函數(shù)H(x)=/(x)-/(2-x),xe0.1),則等價于證明H(x)0,則HGr)在xe(O,l)上單調(diào)遞增.所以H(x)H=0,即已證明H(x)2亦成立.小結(jié):用對稱化構(gòu)造的方法解極值點偏移問題大致分為以下三步：1. 求導(dǎo)，獲得/Cr)的單調(diào)性、極值情況，作出/(x)的圖象，由/(刀)=六及)得，0的取值范圍(數(shù)形結(jié)合)；2. 構(gòu)造輔助函數(shù)(對結(jié)

4、論X!+乃()氐.構(gòu)造F(x)=/(x)-/(2xo-x)i對結(jié)論m2(V)M.構(gòu)造FCr)=/Cr)-/(乎),求導(dǎo)，限定范闈(刀或乃的范闈)，判定符號,獲得不等式；3. 代入xi(或12)的范囹，利用f3)=f3)及/(工)的單調(diào)性證明最終結(jié)論.二、利用對數(shù)平均不等式對數(shù)平均不等式:若0,差0,且刀尹芯.則例2已知函數(shù)/(工)=乎+Q的圖象在點(1,JC/(I)處的切線方程為y=jr-.(1) 求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 當V務(wù))時，比較xx+xt與2e的大小.解析：(l)u=h6=0略；(2)從前往后分析試題./Cr)=題；C定義域(0,+8).求導(dǎo)/()=上瘁，令/(X)=0,得x

5、=e.易知(0,e)為增.(e,+8)為減;f(工)在x=e處取得極大值，也是最大值/(e)=+；若/(xj)=y(x2),(xx?),則必有OOieXit/(Xl)=/(X2)_工】+及+1lnxiInr；XX2刀.并設(shè)尋=心1).對數(shù)平X均不等式可化為號鋁，導(dǎo)出兩個不等式(j(2)x-y21nr.本題中證明:rtl/(x.)=/(x2)得，骸=骸=蝦1=XX2Xl=inx2-lnx,v*,由對數(shù)平均不等式號冬XzX2X)eL得，亨e,故.+z2e得證.例3已知函數(shù)/(=1-4-(2-).(1) 討論/(工)的單調(diào)性；(2) 設(shè)0,證明：當0ViV時,/(+工)有兩個極值點X,初，且Jti6

6、2.證明：欲證mzAe2,即證1回+1心,2,若心韋兩個極值點，乃，即函數(shù)/(x)=0有兩個零點X1，乃.又Z(x)=lar?nx,于是，有解IInzafnjcz=0之得,_Inxt=Inx：=Im+心?XXtX+%另一方面.InrzInj-j=7?i(x2).從而可得，1心+心2lrtr2larix+xzxzJT1于是Inr；4-lfit26+與)(1心2Inn)XiX(1+勺n蘭互一1X，又。設(shè)，虧.則，】,(3)若函數(shù)的圖象與a軸交于A,13兩點，線段AB中點的橫坐標為小.證明：/()0.解析：(1)(2)略，(3)由/(xi)=/(x2)=0lnxilnx2+2(xixz)=a(xix

7、i4-x)xz)因此.Inxi4-lrw；_(1+，)血Z-1,1,要證Inzi+Inr22,即證:+1(】+/)ln/-I2,(/1).即:當1時，有Inz設(shè)函數(shù)XQ=ln/輝F1.則h(t)皇火。,由，(了)=2人(1)=0,于是出/1時，布1血氣宜口/.Inxi+lru-22成立.即刀乃/.所以例5已知函數(shù)f（.x）=x-ae有兩個不同的零點工i,定,求i正：與+幻2.解析:思路1：函數(shù)/Gr）的兩個零點，等價于方程xe-=a的兩個實根，從而這一問題與例1完全等價，例1的方法都可以用；思路2：也可以利用參數(shù)a這個媒介去構(gòu)造出新的函數(shù).解答如下：因為函數(shù)/Cr）有兩個零點X!,及,x=ae

8、x*（1）X2=ae，2（2）由（1）+（2）得:刀+i2=a（e】+ez）,要證明X）+互2,只要證明a（e】+K）2,由（1）一（2）得：一宏=。（512）,即a=辛辛，即證：3-孩）治20（刀-初狠一；二2,不妨設(shè)ziz2，記t=x及，則r0,efl.因此只要證明：z-捋2OL籍?0,再次換元令=11=1心，即證總_2紜1）0,Vx（h4-00）.構(gòu)造新函數(shù)F（Q=1心-紡1）,F（1）=0,求導(dǎo)廣（為=土一展序=茶器0,得FCr）在（l,4-oo）遞增，所以FCz）0,因此原不等式刀+互2獲證.小結(jié):這種解法充分利用了表達式中，12齊次關(guān)系這一特征，構(gòu)造了關(guān)于的新函數(shù),而含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元，初的基礎(chǔ)上，又多了一個參數(shù).故思路很