用切片法討論牟合方蓋 (2)

1、 July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 1用切片法討論牟合方蓋用切片法討論牟合方蓋蜀南竹海 July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 2牟合方蓋牟合方蓋就是兩個半徑相同的直交圓柱面所圍就是兩個半徑相同的直交圓柱面所圍成的立體。成的立體。教材中一般是利用二重積分計算其體積。教材中一般是利用二重積分計算其體積。本課件用截面的面積的定積分來計算其體積。本課件用截面的面積的定積分來計算其體積。還用數(shù)學(xué)軟件還用數(shù)學(xué)軟件Maple制作了有關(guān)動畫。制作了有關(guān)動畫。最后比較牟合方蓋與另一個立體的體積。最后比較牟合方蓋與另一個立體的體積。 July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)

2、學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 3求兩直交圓柱面求兩直交圓柱面222xyR222xzR所圍成的立體的體積所圍成的立體的體積 July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 4牟合方蓋牟合方蓋 July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 5with(plots):R:=1:x_axis:=plot3d(u,0,0,u=0.1.5,v=0.0.01,thickness=3):y_axis:=plot3d(0,u,0,u=0.1.3,v=0.0.01,thickness=3):z_axis:=plot3d(0,0,u,u=0.1.3,v=0.0.01,thickness=3):zuob

3、iaoxi:=display(x_axis,y_axis,z_axis):zhumian1:=plot3d(R*cos(t),R*sin(t),z,z=0.R*sin(t),t=0.Pi/2,color=yellow):quxian1:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),R*sin(t),t=0.Pi/2,color=red,thickness=5):quxian2:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.Pi/2,color=blue,thickness=5):zhumian2:=plot3d(R*cos(t),y,R*sin(t),y

4、=0.R*sin(t),t=0.Pi/2,color=green):display(zhumian1,zhumian2,zuobiaoxi,quxian1,quxian2,scaling=constrained,orientation=28,53);22zRx July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 6牟合方蓋牟合方蓋 劉徽在他的劉徽在他的九章算術(shù)注九章算術(shù)注中，提出一個獨特的方法來中，提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接求球體的體積，而是先計算另一計算球體的體積：他不直接求球體的體積，而是先計算另一個叫個叫牟合方蓋牟合方蓋的立體的體積。的立體的體積。 在這個立體里面

5、，可以內(nèi)切一個半徑和原本圓柱體一樣在這個立體里面，可以內(nèi)切一個半徑和原本圓柱體一樣大小的球體，劉徽并指出，由于內(nèi)切圓的面積和外切正方形大小的球體，劉徽并指出，由于內(nèi)切圓的面積和外切正方形的面積之比為的面積之比為:4，所以牟合方蓋的體積與球體體積之比，所以牟合方蓋的體積與球體體積之比亦應(yīng)為亦應(yīng)為:4。 可惜的是，劉徽并沒有求出牟合方蓋的體積，所以可惜的是，劉徽并沒有求出牟合方蓋的體積，所以亦不知道球體體積的計算公式。亦不知道球體體積的計算公式。 July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 7下面用截面來研究牟合方蓋下面用截面來研究牟合方蓋 July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

6、徐小湛牟合方蓋 8xy222xyR222xzRz222xzR222xyR222xzR July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 9從從 x 軸正向看去軸正向看去yz July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 10with(plots):R:=1:f:=x-sqrt(R2-x2):a:=-R:b:=R:xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1.b+1,thickness=3,color=black):yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1.b+1,thickness=3,color=black):zzou:=spacecurve(

7、0,0,z,z=a-1.b+1,thickness=3,color=black):K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K:zhengfangxingi:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue):zhengfangbani:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),color=grey,style=patchnogri

8、d):qumian1i:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian2i:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian3i:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow):qumian4i:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow)od:zhengfangxing:=display(seq(zhengfangxingi,i=0.K),insequ

9、ence=true):zhengfangban:=display(seq(zhengfangbani,i=0.K),insequence=true):qumian1:=display(seq(qumian1i,i=0.K),insequence=true):qumian2:=display(seq(qumian2i,i=0.K),insequence=true):qumian3:=display(seq(qumian3i,i=0.K),insequence=true):qumian4:=display(seq(qumian4i,i=0.K),insequence=true):display(x

10、zou,yzou,zzou,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained);動畫的Maple程序 July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 11with(plots):R:=1:f:=x-sqrt(R2-x2):a:=-R:b:=R:xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=black):yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=bl

11、ack):zzou:=spacecurve(0,0,z,z=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=black):yuan1:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.2*Pi,thickness=3,color=red):yuan2:=spacecurve(R*cos(t),0,R*sin(t),t=0.2*Pi,thickness=3,color=red):xi:=1*R:zhengfangxing:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f

12、(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue):zhengfangban:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),color=grey,style=patchnogrid):qumian1:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian2:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian3:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=

13、yellow):qumian4:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow):display(xzou,yzou,zzou,yuan1,yuan2,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained,orientation=60,73); July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 12xy222xyR222xzRz July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 13with(plots):R:=1:f:=

14、x-sqrt(R2-x2):a:=-R:b:=R:xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1.b+1,thickness=3,color=black):yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1.b+1,thickness=3,color=black):zzou:=spacecurve(0,0,z,z=a-1.b+1,thickness=3,color=black):zhumian1:=plot3d(R*cos(t),R*sin(t),z,t=0.2*Pi,z=a-1.b+1,style=wireframe,color=blue):zhumian2:=plot3d(

15、R*cos(t),y,R*sin(t),t=0.2*Pi,y=a-1.b+1,style=wireframe,color=brown):K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K:zhengfangxingi:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue):zhengfangbani:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),

16、color=grey,style=patchnogrid):qumian1i:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green,style=patchnogrid):qumian2i:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green,style=patchnogrid):qumian3i:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow,style=patchnogrid):qumian4i:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-

17、f(x).f(x),color=yellow,style=patchnogrid)od:zhengfangxing:=display(seq(zhengfangxingi,i=0.K),insequence=true):zhengfangban:=display(seq(zhengfangbani,i=0.K),insequence=true):qumian1:=display(seq(qumian1i,i=0.K),insequence=true):qumian2:=display(seq(qumian2i,i=0.K),insequence=true):qumian3:=display(s

18、eq(qumian3i,i=0.K),insequence=true):qumian4:=display(seq(qumian4i,i=0.K),insequence=true):display(xzou,yzou,zzou,zhumian1,zhumian2,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained);動畫的Maple程序 July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 14下面來求牟合方蓋的體積下面來求牟合方蓋的體積 July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 15222 Rx底222222( )224()A xRxRxRx截面面積22316( )4()3RRRRVA x dxRx dxR立體體積222 Rx高這與用這與用二重積分二重積分計算的結(jié)果相同計算的結(jié)果相同見同濟見同濟高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)六版，下冊六版，下冊 143頁，例頁，例4xx垂直于垂直于x軸的截面是軸的截面是一個正方形：一個正方形：222xyR222xzR July 2, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛牟合方蓋 16牟合方蓋牟合方蓋的體積的