一致收斂函數(shù)列與課件

1、一致收斂函數(shù)列與13.2 一致收斂函數(shù)列與一致收斂函數(shù)列與 函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的性質(zhì)函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的性質(zhì)一一 一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)一致收斂函數(shù)列的性質(zhì) 二二 函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)一致收斂函數(shù)列與一一. 一致收斂函數(shù)列的解析性質(zhì)一致收斂函數(shù)列的解析性質(zhì) 1 函數(shù)及限與序列極限交換定理函數(shù)及限與序列極限交換定理0l i mnnnxxfxfxfxa 000limlim(lim limlim lim)nnxxnnxxxx nnaf xfxfx存在即000000,()().xUxxxUxUxxxxx 討論單側(cè)極限是 只要把以上定理中的與分別改為或與或即可一致收斂函數(shù)列與2.連續(xù)性定理連續(xù)性定理

2、一致收斂函數(shù)列與| )()(| )()(| )()(| | )()(|0000 xfxfxfxfxfxfxfxfnnnn估計上式右端三項. 由一致收斂 , 第一、三兩項 一致收斂函數(shù)列與註註 定理定理表明: 對于各項都連續(xù)且一致收斂 )(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx即極限次序可換 . 3. 可積性定理可積性定理 lim( )lim( ).bbnnaannfxdxfx dx一致收斂函數(shù)列與一致收斂函數(shù)列與12, 0211()22,210,1nnnnnxxnfxnxxnnxn,2,1n一致收斂函數(shù)列與 0 ,1sup()()nnxfxfx 1100100,20lim0

3、2nnnnnfx dxfx dxnfx dxn由 于因 此一致收斂函數(shù)列與 1,.nnfxf x這樣當(dāng)時,雖然不一致收斂于但可積性定理的結(jié)論仍成立 1100,10.2nnnnfxfxfxfx但當(dāng)時不一致收斂于且也不收斂于一致收斂函數(shù)列與4. 可微性定理可微性定理 lim( )lim( ).nnnnddfxfxdxdx一致收斂函數(shù)列與（ 對第二項交換極限與積分次序） 一致收斂函數(shù)列與亦即求導(dǎo)運算與極限運算次序可換. 一致收斂函數(shù)列與二二 函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)1.逐項求極限定理逐項求極限定理 01, limnnnnxxuxUxnuxa在內(nèi)一致收斂011limnnxxnnuxa一致收斂函

4、數(shù)列與2.連續(xù)性定理定理定理13.1213.12證證 設(shè)設(shè)xx ,0為為 ba,上上任任意意點點由由)()()(),()()(000 xrxsxsxrxsxsnnnn 一致收斂函數(shù)列與)()()()(00 xrxrxsxsnnnn (1)()()()()()(000 xrxrxsxsxsxsnnnn 級級數(shù)數(shù) 1)(nnxu一一致致收收斂斂于于)(xs，對對0 ，必必 自自然然數(shù)數(shù))( NN ，使使得得當(dāng)當(dāng)Nn 時時,對對 ba,上上的的一一切切x都都有有3)( xrn(2).3)(0 xrn同樣有同樣有一致收斂函數(shù)列與故故)(xsn(Nn )在在點點0 x連連續(xù)續(xù)，(3)0 當(dāng)當(dāng) 0 xx時

5、總有時總有 3)()(0 xsxsnn由由(1)、(2)、(3)可見可見,對對任任給給0 ，必必有有0 ，當(dāng)當(dāng) 0 xx時，有時，有.)()(0 xsxs)(xsn是是有有限限項項連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)之之和和，所所以以)(xs在在點點0 x處處連連續(xù)續(xù)，而而0 x在在ba,上上是是任任意意的的，因因此此)(xs在在ba,上上連連續(xù)續(xù)一致收斂函數(shù)列與定理定理13.1313.13 如果級數(shù)如果級數(shù) 1)(nnxu的各項的各項)(xun在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上都連續(xù)上都連續(xù), ,且且 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上一上一致收斂于致收斂于)(xs, ,則則)(xs在在 ba, 上可以逐項積分上可以

6、逐項積分, ,即即 xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21 xxndxxu0)(其其中中bxxa 0, , 并并且且上上 式式右右 端端的的 級級數(shù)數(shù) 在在 ba, 上上也也一一致致收收斂斂. .(4)3.逐項求積定理逐項求積定理一致收斂函數(shù)列與證證 級級數(shù)數(shù) 1)(nnxu在在ba,一一致致收收斂斂于于)(xs, 由定理由定理 1, )(xs，)(xrn都在都在ba,上連續(xù)，上連續(xù)，所以積分所以積分 xxdxxs0)(， xxndxxr0)(存在存在,從而有從而有 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxndxxr又由級 數(shù)的一 致收 斂

7、性又由級 數(shù)的一 致收 斂性,對任 給正數(shù)對任 給正數(shù) 必 有必 有)( NN 使得當(dāng)使得當(dāng)Nn 時時,對對ba,上的一切上的一切x,都都有有.)(abxrn 一致收斂函數(shù)列與 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(0().xxba根據(jù)極限定義，有根據(jù)極限定義，有 nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即即 100)()(ixxixxdxxudxxs由于由于N只依賴于只依賴于 而于而于xx ,0無關(guān)，無關(guān)，所以級數(shù)所以級數(shù) 10)(ixxidxxu在在ba,上一致收斂上一致收斂.于于是是，當(dāng)當(dāng)Nn 時時有有一致收斂函數(shù)列與定理定理

8、13.1413.14 如果級數(shù)如果級數(shù) 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上收斂上收斂于和于和)(xs，它的各項，它的各項)(xun都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù))(xun ，并且級數(shù)，并且級數(shù) 1)(nnxu在在 ba, 上一致收斂，上一致收斂，則級數(shù)則級數(shù) 1)(nnxu在在 ba, 上也一致收斂，且可逐上也一致收斂，且可逐項求導(dǎo)，即項求導(dǎo)，即 )()()()(21xuxuxuxsn(5)4.逐項求導(dǎo)定理逐項求導(dǎo)定理一致收斂函數(shù)列與注意注意: :級數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項求導(dǎo)級數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項求導(dǎo).例如，級數(shù)例如，級數(shù) 22222sin22sin1sinnxnxx在任何區(qū)間在任