構(gòu)造凸函數(shù)與不等式證明

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上構(gòu)造凸函數(shù)與不等式證明董永春(成都戴氏高考中考肖家河總校數(shù)學(xué)組, 四川成都，)0 引言近年來(lái)，一些常見(jiàn)的具有條件與的輪換、對(duì)稱不等式，由于和諧之美，且每一變量相等時(shí)不等式取等號(hào)這一共性，被很多數(shù)學(xué)愛(ài)好者推廣，在很多期刊都可見(jiàn)到，凸函數(shù)性質(zhì)的文章也很多，筆者發(fā)現(xiàn)大多是有重疊的，如果一再的推廣這類不等式已經(jīng)意義不大。筆者2 3 4 5前期也進(jìn)行了一些研究與推廣，經(jīng)過(guò)總結(jié)，發(fā)現(xiàn)變?cè)蜑槎ㄖ担姨卣骱瘮?shù)的二階導(dǎo)存在，就可以借助凸函數(shù)理論進(jìn)行簡(jiǎn)單的機(jī)械證明。這樣我們可以把目光投向別的不等式。本文將分三部分，先給出一些著名不等式，再借助凸函數(shù)理論證明一系列的競(jìng)賽題，力圖解決更一般

2、的不等式族，最后從變?cè)獋€(gè)數(shù)、次數(shù)進(jìn)行加權(quán)推廣。1 凸函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)準(zhǔn)備文 8用凸函數(shù)理論證明了詹生不等式（1），算術(shù)-幾何-調(diào)和平均不等式（2）（3），楊氏(Young)不等式（5），霍爾德（Holder-Cauchy）不等式（6）,柯西-施瓦茲（Cauchy-Schwartz）不等式等一系列著名不等式。本文不打算給出文 9的證明，只給出一些研究結(jié)論：（1）非負(fù)實(shí)數(shù)x1 ， x2 ， xn滿足=s >0,若f(x)在(0,s)是嚴(yán)凸函數(shù),則F(， ， )F（x1 ， x2 ， xn）F（n，0，0，,0）若為嚴(yán)凹則不等號(hào)反向. （2）非負(fù)實(shí)數(shù)x1 ， x2 ， xn，（3）（4）（5）（

3、令，）得（6）（，）（7）2 利用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式例1 設(shè)，且，求證: （第3屆加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）分析 構(gòu)造函數(shù)，知為凸函數(shù)，例2 已知>0,求證：（1998數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題845）分析 構(gòu)造特征函數(shù)，0,則=(,下同)例3 若>0,滿足，求證： （1976年英國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）分析 構(gòu)造特征函數(shù),>0,則=例4 若>0,滿足,求證：（1982年西德數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）分析 構(gòu)造特征函數(shù)，此不等式與例2、例3無(wú)本質(zhì)區(qū)別，例5 a, b,c為滿足a+b+c=1的非負(fù)實(shí)數(shù)，則（2008年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）分析 構(gòu)造函數(shù)=，即可。例6 a, b,c為滿足a+b+c=1的非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：（

4、1），（2），（3）（安振平系列）分析 分別構(gòu)造函數(shù)，則，=（可把此x看成平均）知<0. 0, 0即可,此證法更簡(jiǎn)潔、明了。例8 ，則 （2008年德國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）分析 構(gòu)造函數(shù)，則，<0即可。例9 ，則分析 構(gòu)造函數(shù)即可。例10 已知a、b、c、d、e為實(shí)數(shù)，且，求e的最大值分析 構(gòu)造函數(shù)，知為凸函數(shù)，易知e的最大值為時(shí)取得。3 利用凸函數(shù)理論推廣、加強(qiáng)不等式以上不等式如有需要，均可以從變?cè)獋€(gè)數(shù)、變?cè)螖?shù)、參數(shù)個(gè)數(shù)等方面進(jìn)行加權(quán)推廣，以筆者前期的拙作2 3 4 5為例，進(jìn)行演示。例8 a, b,c為滿足a+b+c=1的非負(fù)實(shí)數(shù)，則+15可推廣為：（1）若>0, =1，+（變

5、元個(gè)數(shù)）（2）設(shè),.,且=1,n則+ ，（變?cè)螖?shù)）（3）設(shè),.,且=1,n則+ （加權(quán)推廣）（4）設(shè),.，,且=1,n則+ 證明過(guò)程借助凸函數(shù)理論，參見(jiàn)文2 3 4 5 。4 結(jié)束語(yǔ)以上一系列不等式，共性就是輪換、對(duì)稱，且變量之和為定值，且特征函數(shù)的二階導(dǎo)存在，完全可以簡(jiǎn)化證明，進(jìn)而去探索不可構(gòu)造函數(shù)的循環(huán)不等式與其他不等式。參考文獻(xiàn):1 謝平民凸函數(shù)與不等式M初等數(shù)學(xué)叢論4，1990 (10).2 董永春，對(duì)幾個(gè)代數(shù)不等式研討的再探討J中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011 (4). 3 董永春，關(guān)于一對(duì)姊妹不等式的再思考J中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(1-2)4 董永春，對(duì)一個(gè)猜想的否定J中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010(1-2) 5 董永春，對(duì)一個(gè)猜想的改進(jìn)J，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，（4）6陳文燈，黃先開(kāi)，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）M北京：世界圖書(shū)出版公司北京公司2004；349-3517倪雪華，函數(shù)的凹凸性在不等式中的應(yīng)用J高